1、 2007 年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析 一、选择题： (本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 ) (1) 当 0x 时，与 x等价的无穷小量是 (A) 1 xe . (B) 1ln1 xx . (C) 11x. (D) 1 cos x . B 【 分析 】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案 . 【 详解 】 当 0x 时，有 1 ( 1) xxe e x ； 11 1 2xx ； 2111 cos ( ) .22x x x
2、 利用排除法知应选 (B). (2) 曲线 1 ln(1 )xyex ，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. D 【 分析 】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【 详解 】 因为01lim ln(1 )xxex ，所以 0x 为垂直渐近线； 又 1lim ln(1 ) 0xxex ， 所以 y=0 为水平渐近线； 进一步， 21 ln(1 ) ln(1 )lim lim limxxx x xy e ex x x x = lim 11xxxee ， 1lim 1 lim ln(1 ) xxxy x e xx = limln(1
3、 ) xxex = limln (1 ) lim ln(1 ) 0x x xe e x e ， 于是有斜渐近线： y = x. 故应选 (D). (3) 如图，连续函数 y=f(x)在区间 3， 2， 2， 3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间 2， 0， 0， 2的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设 0( ) ( ) .xF x f t dt则下列结论正确的是 (A) 3(3) ( 2)4FF . (B) 5(3) (2)4FF . (C) )2(43)3( FF . (D) )2(45)3( FF . C 【 分析 】 本题考查定积分的几何意义，应注意 f(x)在不 同
4、区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。 【 详解 】 根据定积分的几何意义，知 F(2)为半径是 1 的半圆面积： 1(2) 2F ， 考研数学助手您考研的忠实伴侣F(3)是两个半圆面积之差： 221 1 3(3 ) 1 ( ) 2 2 8F = 3 (2)4F ， 0330 )()()3( dxxfdxxfF )3()(30 Fdxxf 因此应选 (C). (4) 设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是 (A) 若0 ()limx fxx存在，则 f(0)=0. (B) 若0 ( ) ( )limx f x f xx 存在，则 f(0)=0. (C) 若0 ()lim
5、x fxx存在，则 (0)f 存在 . (D) 若0 ( ) ( )limx f x f xx 存在，则 (0)f 存在 D 【 分析 】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况 下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。 【 详解 】 (A),(B)两项中分母的极限为 0，因此分子的极限也必须为 0，均可推导出 f(0)=0. 若0 ()limx fxx存在，则00( ) (0 ) ( )(0 ) 0 , (0 ) l i m l i m 00xxf x f f xff xx ，可见 (C)也正确，故应选 (D). 事实上，可举反例： ()f x x 在 x=0 处连续，且 0 ( ) (
6、 )limx f x f xx =0lim 0xxxx 存在，但 ()f x x 在 x=0 处不可导。 (5) 设函数 f (x)在 (0, ) 上具有二阶导数，且 ( ) 0.fx 令 ),2,1)( nnfu n , 则下列结论正确的是 (A) 若 12uu ，则 nu 必收敛 . (B) 若 12uu ，则 nu 必发散 . (C) 若 12uu ，则 nu 必收敛 . (D) 若 12uu ，则 nu 必发散 . D 【 分析 】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。 【 详解 】 设 f(x)= 2x , 则 f (x)在 (0, ) 上具有二阶导数，且 12( ) 0,f x
7、 u u ，但2 nun 发散，排除 (C); 设 f(x)= 1x , 则 f(x) 在 (0, ) 上具有二阶导数，且12( ) 0,f x u u ，但 1 nu n 收敛，排除 (B); 又若设 ( ) lnf x x ，则 f(x)在 (0, ) 上具有二阶导数，且 12( ) 0,f x u u ，但 ln nun 发散，排除 (A). 故应选 (D). (6) 设曲线 : ( , ) 1( ( , )L f x y f x y 具有一阶连续偏导数 )，过第 II 象限内的点 M 和第 IV象限内的点 N， T 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧， 则下列小于零的是 (A) (
8、 , )T f x y dx. (B) ( , )T f x y dy. (C) ( , )T f x y ds. (D) ( , ) ( , )xyT f x y dx f x y dy. B 【 分析 】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。 【 详解 】 设 M 、 N 点的坐标分别为 1 1 2 2 1 2 1 2( , ), ( , ), ,M x y N x y x x y y. 先将曲线方程代 入积分表达式，再计算有： 21( , ) 0TTf x y d x d x x x ; 21( , ) 0TTf x y d y d y y y ; ( , ) 0TTf x y
9、ds ds s ; ( , ) ( , ) ( , ) 0xyf x y d x f x y d y d f x y . 故正确选项为 (B). (7) 设向量组 321 , 线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) 133221 , . (B) 133221 , . (C) 133221 2,2,2 . (D) 133221 2,2,2 . A 【详解】 用定义进行判定 :令 0)()()( 133322211 xxx ， 得 0)()()( 332221131 xxxxxx . 因 321 , 线性无关，所以 1312230,0,0.xxxxxx 又 0110011101 ， 故上述齐次
10、线性方程组有 非零解 , 即 133221 , 线性相关 . 类似可得 (B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的 . (8) 设矩阵211121112A , 000010001B , 则 A 与 B (A) 合同 , 且相似 . (B) 合同 , 但不相似 . (C) 不合同 , 但相似 . (D) 既不合同 , 又不相似 . B 【详解】 由 0| AE 得 A 的特征值为 0, 3, 3, 而 B 的特征值为 0, 1, 1,从而 A 与 B不相似 . 又 r(A)=r(B)=2, 且 A、 B 有相同的正惯性指数 , 因此 A 与 B 合同 . 故选 (B) . (9) 某人向
11、同一目标独立重复射击 ,每次射击命中目标的概率为 p(0p1), 则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为 (A) 2)1(3 pp (B) 2)1(6 pp . (C) 22 )1(3 pp (D) 22 )1(6 pp C 【详解】 “第 4 次射击恰好第 2 次命中 ”表示 4 次射击中第 4 次命中目标 , 前 3 次射击中有 1 次命中目标 , 由独立重复性知所求概率为： 2213 )1( ppC . 故选 (C) . (10) 设随机变量 ( , )服从二维正态分布，且 与 不相关， )()( yfxf YX 分别表示 ， 的概率密度，则在 y 的条件下， 的 条件概率
12、密度 )|(| yxf YX 为 (A) )(xfX (B) )(yfY (C ) )()( yfxf YX . (D) )( )(yf xfYX A 【详解】 因 ( , )服从二维正态分布，且 与 不相关，故 与 相互独立，于是 )|(| yxfYX = )(xfX . 因此选 (A) . 二、填空题 ： (11 16 小题，每小题 4 分，共 24 分 . 把答案填在题中横线上 ) (11) 1231 1 xe dxx= 121.2e 【 分析 】 先作变量代换，再分部积分。 【 详解 】 11 1213213211 2()tx ttxe d x t e d t te d txt = 1
13、111 21222 1 .2t t ttd e te e d t e (12) 设 f(u,v)为二元可微函数， ( , )yxz f x y ，则 zx = 112 ln .yxf yx f y y 【 详解 】 利用复合函数求偏导公式，有 zx = 112 ln .yxf yx f y y (13) 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 24 3 2 xy y y e 的 通 解 为3212 2.x x xy C e C e e 其中 21,CC 为任意常数 . 【 详解 】 特征方程为 2 4 3 0 ，解得 121, 3. 可见对应齐次线性微分方程 4 3 0y y
14、y 的通解为 312.xxy C e C e 设非齐次线性微分方程 24 3 2 xy y y e 的特解为 *2xy ke ，代入非齐次方程可得 k= 2. 故通解为 3212 2.x x xy C e C e e (14) 设曲面 :1x y z ，则 dSyx |)|(= 43.3 【 详解 】 由于曲面 关于平面 x=0 对称，因此 dSx=0. 又曲面 :1x y z 具有轮换对称性，于是 dSyx |)|( = dSy | = dSx | = dSz | = dSzyx |)|(|31 = dS31 23831 = 43.3 (15) 设矩阵0000100001000010A ,
15、则 3A 的秩为 1. 【详解】 依矩阵乘法直接计算得 00000000000010003A , 故 r( 3A )=1. (16) 在区间 (0, 1)中随机地取两个数 , 则两数之差的绝对值小于 21 的概率为 43 【详解】 这是一个几何概型 , 设 x, y 为所取的两个数 , 则样本空间 1,0|),( yxyx , 记 21|,),(|),( yxyxyxA . 故 SSAP A)( 43143 ， 其中 SSA, 分别表示 A 与 的面积 . 三、解答题 ： (17 24 小题，共 86 分 . ) (17) (本题满分 11 分 ) 求函数 2 2 2 2( , ) 2f x
16、y x y x y 在区域 22 ( , ) 4 , 0D x y x y y 上的最大值和最小值。 【 分析 】 由于 D 为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。 【 详解 】 因为 2( , ) 2 2xf x y x xy ， 2( , ) 4 2yf x y y x y ，解方程： 222 2 0,4 2 0xyf x xyf y x y 得开区域内的可能极值点为 ( 2,1) . 其对应函数值为 ( 2,1) 2.f 又当 y=0 时， 2( , )f x y x 在 22x 上的最大值为 4，最小值为 0. 当 22 4 , 0 , 2 2x y y
17、x ，构造拉格朗日函数 2 2 2 2 2 2( , , ) 2 ( 4 )F x y x y x y x y 解方程组 22222 2 2 0 ,4 2 2 0 ,4 0 ,xyF x xy xF y x y yF x y 得可能极值点： 53(0,2),( , )22 ，其对应函数值为 5 3 7(0 , 2 ) 8 , ( , ) .2 2 4ff 比较函数值 72,0,4,8,4 ，知 f(x, y)在区域 D 上的最大值为 8，最小值为 0. (18) (本题满分 10 分 ) 计算曲面积分 2 3 ,I x z d y d z z y d z d x x y d x d y 其中
18、为曲面 221 (0 1)4yz x z 的上侧。 【 分析 】 本题曲面 不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。 【 详解 】 补充曲面： 221 : 1, 04yxz ，取下侧 . 则 123I x z d y d z z y d z d x x y d x d y 123x zd y d z zy d zd x x y d x d y = ( 2 ) 3Dz z d x d y d z x y d x d y 其中 为 与 1 所围成的空间区域， D 为平面区域 22 14yx . 由于区域 D 关于 x 轴对称，因此
19、30D xydxdy . 又 ( 2 ) 3z z d x d y d z zd x d y = 11003 3 2 (1 ) .zDz d z d x d y z z d z 其中 zD 22:14yxz . (19) (本题满分 11 分 ) 设函数 f(x), g(x)在 a, b上连续，在 (a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值， f(a)=g(a), f(b)=g(b), 证明：存在 ( , )ab ，使得 ( ) ( ).fg 【 分析 】 需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。事实上 ，若令( ) ( ) ( )F x f x g x，则问题转化为证明 ( )
20、 0F , 只需对 ()Fx 用罗尔定理，关键是找到 ()Fx 的端点函数值相等的区间 (特别是两个一阶导数同时为零的点 )，而利用 F(a)=F(b)=0, 若能再找一点 ( , )c ab ，使得 ( ) 0Fc ，则在区间 , , , ac cb 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对 ()Fx 用罗尔定理即可。 【 证明 】 构造辅助函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x，由题设有 F(a)=F(b)=0. 又 f(x), g(x)在 (a, b)内具有相等的最大值 , 不妨设存在 21 xx , ),(, 21 baxx 使得 12 , , ( ) m a x (
21、 ) , ( ) m a x ( )a b a bf x M f x g x M g x ， 若 21 xx ，令 1xc , 则 ( ) 0.Fc 若 21 xx ，因 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) 0 , ( ) ( ) ( ) 0F x f x g x F x f x g x ，从而存在 12 , ( , )c x x a b，使 ( ) 0.Fc 在区间 , , , ac cb 上分别利用罗尔定理知，存在 12( , ), ( , )a c c b，使得 12( ) ( ) 0FF. 再对 ()Fx 在区间 12 , 上应用罗尔定理，知存在 12( , ) ( , )a
22、b ，有 ( ) 0F ， 即 ( ) ( ).fg (20) (本题满分 10 分 ) 设幂级数0nnn ax在 ( , ) 内收敛，其和函数 y(x)满足 2 4 0 , ( 0 ) 0 , ( 0 ) 1 .y x y y y y (I) 证明：2 2 , 1, 2 , ;1nna a nn (II) 求 y(x)的表达式 . 【 分析 】 先将和函数求一阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系。 【 详解 】 (I)记 y(x)=0nnn ax, 则 1212, ( 1 ) ,nnnny n a x y n n a x 代入微分方程2 4 0,y xy y 有 22 1 0(
23、 1 ) 2 4 0 ,n n nn n nn n nn n a x n a x a x 即 20 0 0( 2 ) ( 1 ) 2 4 0 ,n n nn n nn n nn n a x n a x a x 故有 2( 2 ) ( 1 ) 2 4 0 ,n n nn n a n a a 即 2 2 , 1 , 2 , ;1nna a nn (II) 由初始条件 (0) 0, (0) 1yy知， 010, 1.aa 于是根据递推关系式2 2 ,1nnaan 有2 2 1 10, .!nnaa n故 y(x)=0nnn ax= 2 1 2 12001!nnnnna x xn= 2201 ( )
24、.! nxnx x xen (21) (本题满分 11 分 ) 设线性方程组 04,02,03221321321xaxxaxxxxxx 与方程 12 321 axxx 有公共解，求 a 的值及所有公共解 【分析】 两个方程有公共解就是 与 联立起来的非齐次线性方程组有解 . 【详解】 将 与 联立得非齐次线性方程组 : .12,04,02,03213221321321axxxxaxxaxxxxxx 若此非齐次线性方程组有解 , 则 与 有公共解 , 且 的解即为所求全部公共解 . 对 的增广矩阵 A 作初等行变换得 : 112104102101112aaaA11000)1)(2(0001100
25、111aaaaa. 于是 1 当 a=1 时，有 )()( ArAr =23，方程组 有解 , 即 与 有公共解 , 其全部公共解即为 的通解，此时 0000000000100101A ， 此时 方程组 为齐次线性方程组，其 基础解系为 : 101 , 所以 与 的全部公共解为101k ， k 为任意常数 . 2 当 a =2 时，有 )()( ArAr =3，方程组 有唯一解 , 此时 0000110010100001A ，故方程组 的解为 : 011, 即 与 有唯一公共解 : 为 123011xxxx . (22) (本题满分 11 分 ) 设 3 阶对称矩阵 的特征值 ,2,2,1 3
26、21 T)1,1,1(1 是 的属于 1 的一个特征向量 ,记 EAAB 35 4 其中 E 为 3 阶单位矩阵 . (I) 验证 1 是矩阵 的特征向量，并求 B 的全部特征值 与 特征向量 (II) 求矩阵 【分析】 根据特征值的性质可立即得 B 的特征值 , 然后由 B 也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的 特征向量 . 【详解】 (I) 由 11 A 得 1112 AA , 进一步 113 A , 115 A ， 故 1351 )4( EAAB 11315 4 AA 111 4 12 ， 从而 1 是矩阵 的属于特征值 2 的特征向量 . 因 EAAB 35 4 , 及 的 3 个特
27、征值 ,2,2,1 321 得 B 的 3 个特征值为 1,1,2 321 . 设 32, 为 B 的属于 132 的两个线性无关的特征向量 , 又 为对称矩阵，得 B 也是对称矩阵 , 因此 1 与 32, 正交 , 即 0,0 3121 TT 所以 32, 可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解： 0)1,1,1(321xxx, 其基础解系为 : 011 , 101 , 故可取2 = 011 , 3 = 101 . 即 B 的全部特征值的特征向量为 : 1111k, 10101132 kk, 其中 01k ,是不为零的任意常数 , 32,kk 是不同时为零的任意常数 . (II) 令 )
28、,( 321 P =101011111 , 则 1121BPP ， 得 1112 PPB =10101111111221112111131 =10201211221112111131011101110 . (23) (本题满分 11 分 ) 设二维随机变量 (X, Y)的概率密度为 2 , 0 1 , 0 1 ,( , )0,x y x yf x y 其 它 .(I) 求 YXP 2 ； (II) 求 Z + 的概率密度 )(zfZ . 【详解】 (I) YXP 2 yx dxdyyxf2 ),( 12210 )2(y dxyxdy 247 . ( II) 先求 Z 的分布函数 : zyxZ
29、d x d yyxfZYXPzF ),()()(当 Z0 时 , 0)( zFZ ; 当 10 z 时 , 1),()( DZ dxdyyxfzF yzz dxyxdy 00 )2( 32 31zz ； 当 21 z 时 , 2),(1)( DZ d xd yyxfzF 11 1 )2(1 yzz dxyxdy 3)2(311 z ； 当 2z 时 , 1)( zFZ . 故 Z + 的概率密度 为 )(zfZ = )(zFZ .,0,21,)2(,10,222其他zzzzz(24) (数 1, 3)(本题满分 11 分 ) 设总体 X 的概率密度为 .,0,1,)1(21,0,21),(其他
30、xxxf 其中 参数 (0 1)未知 , nXXX 21, 是来自总体 X 的简单随机样本 , X 是样本均值 (I) 求参数 的矩估计量 ； (II) 判断 24X 是否为 2 的无偏估计量 ,并说明理由 . 【详解】 (I) dxxxfXE ),()( dxxdxx 10 )1(22 .412)1(414 令 X412 , 其中 ni iXnX 11 ， 解方程得 的矩估计量为 : = 212 X . (II) )()(4)(4)4( 222 XEXDXEXE )()(4 2 XEnXD , 而 dxxfxXE ),()( 22 dxxdxx 1 202 )1(22 .616132 )()()( 22 XEXEXD 22 )4121(61613 485121121 2 ， 故 )4( 2XE )()(4 2 XEnXD nnnnnn 12 53133 13 2 2 , 所以 24X 不是 2 的无偏估计量 .
