1、2019/10/9,1,概率论与数理统计,主讲人： 杨荣奎 四川大学数学学院,Probability & Statistics,2019/10/9,2,第一章 概率论基础知识,?,概率论是研究什么的？,概率论研究随机现象并揭示其统计规律性的科学,某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。,2019/10/9,3,分析,若提供200KW，当然机床能正常工作，但浪费 若提供120kW,电力又较少了一些 利用后面讲的二项分布及中心极限定理可算出，提供141kW就够了,1
2、.1样本空间与随机事件,2019/10/9,4,1.1.1 随机试验,1.可以在相同条件下重复进行；2.试验结果不止一个，且可以预知一切 可能的结果的取值范围；3.试验前不能确定会出现哪一个结果。,随机试验的三个特点:,2019/10/9,5,例:考虑试验E1：将一枚硬币抛掷两次，,(H,T)：,(T,H):,(T,T)：,(H,H):,可能结果为:,=(H,H), (H,T),(T,H), (T,T),可见，该随机试验 的所有可能的结果 构成一个集合：,我们称该集合为这 个随机试验的样本 空间。,2019/10/9,6,1.1.2样本空间sample space,表示一个试验的所有可能结果组
3、成的集合，称 为样本空间. 而这个随机试验的每个基本结果称为样本点，记作.,样本点,2019/10/9,7,随机事件-样本空间的子集 .,例：掷一颗骰子，观察出现的点数,= 1,2,3,4,5,6,样本空间：,B = 1,3,5,B发生当且仅当B中的样本点1，3，5中的某一个出现.,事件B就是 的一个子集,2019/10/9,8,从集合的角度看,2019/10/9,9,随机事件,基本事件:只含有一个样本点的事件,记为,两个特殊事件: 必然事件 、不可能事件.,2019/10/9,10,1.1.3 事件的关系及运算,1.事件的包含与相等,A 发生必然导致 B 发生,例如: A=1，B=1，3，5
4、,A1,An中至少一个发生,2019/10/9,11,A,B同时发生,3.,1.1.3 事件的关系及运算,例如：A=1，3，5；B=2，4，6，则AB=,说明AB同时发生是不可能事件；,2019/10/9,12,4.,A发生而B不发生,A B =,5. A与B互不相容（或互斥）,1.1.3 事件的关系及运算,B,2019/10/9,13,6. A 的对立事件,1.1.3（续）,须满足：,注意对立事件与互斥的区别,综上得一般结论：,2019/10/9,14,1.1.3 事件的关系及运算,7. A1, A2,An 构成 完备事件组,完备事件组将样本空间分为有限个 互不相容的事件的和。,2019/1
5、0/9,15,运算律：(Page4), 交换律, 结合律, 分配律, 对偶律,2019/10/9,16,例1.1,检查产品质量时，从一批产品中任意抽取 5件进行检查，设事件,请用集合表示下列事件：,（1）完备事件组； （2）发现两件或三件次品； （3）最多两件次品； （4）至少一件次品；,2019/10/9,17,例1.2,事件A,B,C分别表示一同学高数、线代、 概率三门课程成绩优秀,请用事件的关系 运算表示(1)仅有线代优秀;,(2)高数,概率至少一门优秀而线代不优秀;,(3)至少两门优秀;(4)恰有两门优秀;,解: (1),(2),2019/10/9,18,例1.2,(3)至少两门优秀,
6、(4)恰有两门优秀;,2019/10/9,19,例1.3,解： （1）n个零件全为正品；（2）至少有一个零件不是正品；（3）有且仅有一个零件不是正品。,例：一工人生产了n个零件，设Ai表示“第i个零件是 正品”（i=1,2,.n).试用文字叙述下列事件：(1) ,(2) ,(3),2019/10/9,20,我们关心某个随机事件A发生的可能性大小：,想法：用P(A)来度量，P(.)的取值 跟A有关，即：用一个与A有关函数 来定义。因此：P(.)是个集函数。下面考虑该集函数的应具有的性质。,1.2事件发生的概率,2019/10/9,21,1.2.1 频率及性质,定义1.1 在 次重复试验中，若事件
7、A发生 了 次，则称 为事件A发生的频数，称 为事件A发生的频率，记为,频率的性质 (1) 0 fn(A) 1； fn()1； fn( )=0,2019/10/9,22,频率及性质,大量实践表明：频率有波动性，但随着试 验次数增加，频率总稳定在某个值附近。,2019/10/9,23,设E是随机试验，是它的样本空间。对于每一个事件A赋予一个实数 P(A),称为事件A 的概率，如果它满足以下三条：,1.2.2概率的公理化定义,2019/10/9,24,概率的性质,一般地，若,2019/10/9,25,小结论:,概率的性质,2019/10/9,26,6 （一般加法公式）,推广：,概率的性质,2019
8、/10/9,27,例1.6,A，B为两事件，已知,解：,2019/10/9,28,例1.6（续）,A，B为两事件，已知,接,2019/10/9,29,例1.7,2019/10/9,30,求解例1.7,2019/10/9,31,求解例1.7(续）,2019/10/9,32,1.3.1 古典概型,（1）试验只有有限个可能结果; （2）每次试验中，每个样本点出现的可能性相同；,在古典概型中，若 中有n个样本点，事件A中有k个样本点，则,2019/10/9,33,两个基本的摸球模型,口袋中有N只球，其中m个红球，余下是白球,他们除颜色以外没有差别，现随机从中摸球n次并观察摸出球的颜色，计算恰好摸到k个
9、红球的概率。,考虑如下两种情况:,(1)有放回摸球 (2)不放回摸球,2019/10/9,34,（1）有放回抽样 样本空间中的样本点总数一共有Nn,取出的 n 个球 究竟哪 k 个是红球 Cnk,m个红球中 取 k 个mk,(N-m)中取出 n k 个 (N-m)n k,概率论中称为是二项分布的概率公式,2019/10/9,35,（2）无放回抽样,我们感兴趣的是：n个中有k个红球,概率论中称为是超几何分布的概率公式,2019/10/9,36,例1.8(有放回抽样模型),某市电话由8位数字组成，且头一个数字是 8. (1)设A表示“一电话号码有连续四个数字 是5，6，7，8”，求P(A); (2
10、)设B表示“一电话号码八个数字互不相同 且不含4”，求P(B).,解：这是有放回抽球模型，后面七个数字的选取方法共有107种。,2019/10/9,37,例8(续),2019/10/9,38,例8(续2),2019/10/9,39,例9(抽签问题，无放回抽样),2019/10/9,40,例9(续),这个例子表明抽签的结果与抽签顺序无关,2019/10/9,41,例1.10,30只元件中有27只一等品，3只二等品。 随机将30只元件均分装入三盒，求： （1）每盒有一只二等品的概率； （2）有一盒有3只二等品的概率；,解： （1）3只二等品均分到三个盒子有：,1,2,3,3x2x1种可能性。,余下
11、的27只应该平 均分到3个盒子中；,2019/10/9,42,第2个问题，首先从3个盒子中任选一个 出来放3只二等品，这个盒子的另7只从 余下的27个一等品中选；,例1.10,2019/10/9,43,1.3.2 几何概型,例1.11 随机在单位圆内掷一点M,求M点 到原点距离小于1/4的概率.,1,1/4,解：,2019/10/9,44,几何概率的计算,作为一般的欧氏区域，m(A),作为A的测度（一维是长度，2维是面 积等）就得到几何概率计算方法：,如果把,2019/10/9,45,例1.12,某货运码头仅能容一船卸货，而甲、乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时，设甲、乙两船在24小时内
12、随时可能到达，求它们中任何一船都不需要等待码头空出的概率。,解：,2019/10/9,46,Y=x+1,Y=x-2,解：,2019/10/9,47,例1.13蒲丰问题,1777年，法国数学家蒲丰取一根针，量出它的长度，然后在纸上画上一组间距相等的平行线，这根针的长度是这些平行线的距离的一半。把这根针随机地往画满了平行线的纸面上投去。小针有的与直线相交，有的落在两条平行直线之间，不与直线相交。这次实验共投针2212次，与直线相交的有704次，22127043.142。得数竟然是的近似值。这就是著名的蒲丰投针问题。,2019/10/9,48,平行线的距离a，针的长度l，求针与平行 线相交的概率。,
13、怎样描述针与直线相交的情况？,X表示针的中点与最近的一条平行线的距离,2019/10/9,49,例1.13蒲丰问题,2019/10/9,50,取a=2L，投针N次，如果有k次与直线 相交，则的近似值为N/k,例1.13蒲丰问题,2019/10/9,51,零概率事件不一定不发生,在0,1区间上任意取一个随机数,则这个随机数恰好等于0.5的概率是多少?,0,1,0.5,P=点(0.5)的长度/0,1区间的长度 =0,2019/10/9,52,1.4.1 条件概率,例1.14 一个家庭中有两个小孩,已知其中 一个是女孩,问另一个也是女孩的概率是多 少?(假定生男生女是等可能的),解: 由题意,样本空
14、间为:,设B=其中一个是女孩,A=两个女孩,则 B=(M,F),(F,M),(F,F),A=(F,F),因此,要求的是:,P(A|B)=1/3,2019/10/9,53,定义1.3 （P.16）,设A，B是两个事件，且,则称,为事件B发生的条件下事件A的条件概率。,易知,条件概率具有如下性质:,2019/10/9,54,条件概率的性质,2019/10/9,55,例1.15 (条件概率计算),历史资料表明，某地区从某次特大洪水发生以后在30年内发生特大洪水的概率为80%，在40年内发生特大洪水的概率为85%,问该现在已30年未发生特大洪水，未来10年内发生特大洪水的概率为多少？,解：设A为“从某
15、次特大洪水后30年无洪水”，B为“该地区从某次特大洪水后40年内无特大洪水”，由于AB=B，则所求概率为：,2019/10/9,56,例1.15 (续),2019/10/9,57,1.4.2 乘法公式,2019/10/9,58,例1.16,2019/10/9,59,例1.16,2019/10/9,60,例1.17(乘法公式应用),2019/10/9,61,1.4.3 全概率与贝叶斯公式,例1.18 一在线计算机系统,有3条输入线, 其性质如下表:,通讯线,通讯量份额,无误差的讯息份额,1,2,3,0.4,0.35,0.25,0.9998,0.9999,0.9997,(1)求一随机选择的进入讯号
16、无误差地被 接受的概率;,2019/10/9,62,例1.18 (续),解: 设事件B:“一讯号无误差地被接受”,Ai：“讯号来自于第i条通讯线”，i=1,2,3,由题意，问题转化为，已知：,2019/10/9,63,例1.18 (续),我们的做法是把样本 空间分割成了3个不相 交的部分，这样，事件 B也被分割成3部分：,利用乘法 公式可得,2019/10/9,64,例1.18 (续),原问题简化为，已知：,2019/10/9,65,例1.18 (续),(2)已知一讯号是有误差地被接受,则这一 讯号最有可能来自哪条通讯线路?,解：由（1），已知P(B)=0.99981，想,（本质是一个条件概率
17、）,2019/10/9,66,例1.18(续),最有可能来自第一条通讯线路,2019/10/9,67,定理1.1 全概率与Bayes公式,设Ai是样本空间的完备事件组,P(Ai)0,即,2019/10/9,68,例1.19,一盒中装有12个球,其中8个是新球,第一次 比赛从盒中任取两球,使用后放入盒中,第二 次比赛时再从盒中任取两球,求:,(1)第2次取出两个新球的概率,(2)已知第2次取出两个新球,而第一次 仅取出1个新球的概率.,解:把第1次取球的所有可能情况,作为样本 空间的划分,Ai:第1次取出i个新球,i=0,1,2,2019/10/9,69,例1.19(续),第1步: P(A0)=
18、?, P(A1)=?, P(A2)=?,第2步: P(B|A0)=?, P(B|A1)=?, P(B|A2)=?,第3步: 写公式:,第4步: 利用Bayes公式计算第2问;,2019/10/9,70,例1.19 (续),一盒中装有12个球,其中8个是新球,第一次 比赛从盒中任取两球,使用后放入盒中,第二 次比赛时再从盒中任取两球,(1)令Ai:第一次取出i个新球,i=0,1,2,同理,(2)令B:第二次取出2个新球,计算P(B|Ai),2019/10/9,71,例1.19 (续),=0.2893,(2)已知第2次取出两个新球,而第一次 仅取出1个新球的概率.,=0.5333,2019/10/
19、9,72,商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？,课堂练习,解:设B:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.A0, A1, A2分别表示事件每箱含0，1，2只次品.,2019/10/9,73,已知: P(A0)=0.8, P(A1)=0.1, P(A2)=0.1,由Bayes公式:,2019/10/9,74,医学统计分析，人群中患某种疾病的人数 占总人数的0.5%，一种血液化验以95%的 概率将患有此病的人检查出阳性，但也以 1%的概率将不
20、患此病的人检查出阳性。 现设某人检查出阳性，问他确实患有此病 的概率？,例1.20样本空间的另一种划分方式,将人群划分为:(有病的)A和(没有病)A B=“检查为阳性”,2019/10/9,75,续,2019/10/9,76,1.5 事件的独立性,定义1.4,设A,B是随机试验E的两个事件，若,则称事件A，B 相互独立,性质:,2019/10/9,77,证明事件的独立性,B,A,2019/10/9,78,1.5.1 事件的独立性,两两独立与相互独立,定义1.5：设A1，A2，An(n=2)是n 个事件，如果Ai，Aj是其中任意两个事件， (ij)有P(AiAj)= P(Ai)P(Aj) 则称这
21、n个事件两两独立。,2019/10/9,79,注意相互独立与两两独立的区别,定义1.6 设A1，A2，An(n=2)是n个事件，如果,则称n个事件A1，A2，An相互独立。,2019/10/9,80,例如:三个事件的独立,若三个事件A、B、C满足： P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 则称事件A、B、C两两相互独立；,若在此基础上还满足：P(ABC)P(A)P(B)P(C), 则称事件A、B、C相互独立。,2019/10/9,81,利用事件的独立性计算概率,例1.22敌机俯冲时,被一门高射机枪击中的概率是0.05 ,现集中100门高射机
22、枪, 求击中目标的概率。,解: 假设Ai:第i门击中,则所求事件为A,2019/10/9,82,独立性在可靠理论中的应用,(1) 串联系统,2019/10/9,83,独立性在可靠理论中的应用,(2) 并联系统,2019/10/9,84,例1.23 该系统由5个元件组成,每个元件独立地工作,正常工作的概率为r,求该系统的可靠性.,独立性在可靠理论中的应用,1,2,3,4,5,解:,2019/10/9,85,例1.23(续),2019/10/9,86,例1.23(续),2019/10/9,87,1.5.2贝努利概型,将随机试验重复进行n次,若每次的结果 互不影响(独立),每次试验结果只有两个 :“
23、成功”与“失败”，即A与A，且满足 0P(A)1，这样的试验叫n重贝努利 试验。,定理1.3 n重贝努利试验中,事件A发生k 次的概率为:,2019/10/9,88,例1.25,从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.,解:假设遇到红灯次数为X,所求的概率为,2019/10/9,89,定理1.4 多项概率公式,n 重独立试验中,每次试验可能的结果是,且,则,在n 次试验中各发生,次的概率为,其中,2019/10/9,90,例1.27,2019/10/9,91,求解例1.27,2019/10/9,92,练习(2006),2019/10/9,93,练习,
