1、知识点一 三元一次方程(组),例1 下列方程是三元一次方程的是 .(填序号) x+y-z=1;4xy+3z=7; +y-7z=0;6x+4y-3=0.,解析 是;不是,4xy的次数为2;不是, 不是整式;不是,方程中只 有2个未知数.,答案 ,例2 下列方程组中是三元一次方程组的是 ( ) A. B. C. D.,解析 A项含有4个未知数;B项中2yz的次数为2;D项中y+ =4不是整式方 程.故选C.,答案 C 点拨 理解三元一次方程组的定义要注意以下几点:(1)方程组中的每一 个方程都是一次方程;(2)一般地,如果三个一次方程合起来共有三个未知 数,它们就能组成一个三元一次方程组.,知识点
2、二 三元一次方程组的解法,例3 解方程组:,解析 2-,得x+8z=11. 3+,得10x+7z=37. 与联立,得 解这个方程组,得 把x=3,z=1代入,得y=2. 所以原方程组的解为 点拨 当方程组中某两个方程的某个未知数的系数成整数倍关系时,通 常用加减消元法消去这个未知数.,题型一 灵活求解三元一次方程组 例1 解方程组:(1) (2),解析 (1)+,得2(x+y+z)=10,即x+y+z=5. 由-,得z=4.由-,得x=-1.由-,得y=2. 所以原方程组的解为 (2)由,得xyz=345. 设x=3k(k0),y=4k,z=5k,代入, 得3k+4k+5k=36,解得k=3.
3、 所以x=9,y=12,z=15. 所以原方程组的解为,点拨 第(1)题采用整体消元的方法得到方程组的解,这是一种比较简单 的求解方法,也可以先用方程消去y,把所得到的方程和组成二元 一次方程组求解.形如第(2)题,当方程组中未知数以比例形式出现时,可 设1份为k,再根据其比例确定各未知数,然后将其代入方程组中的一个合 适方程中,求出k的值,从而求出各未知数的值,此种方法称为参数法.,题型二 三元一次方程组的简单应用 例2 在y=ax2+bx+c中,当x=-1时,y=2;当x=2时,y=8;当x=5时,y=158. (1)求a,b,c的值; (2)求当x=-2时,y的值.,解析 (1)根据题意
4、,得 解这个方程组,得 (2)由(1)得y=8x2-6x-12.当x=-2时,y=8(-2)2-6(-2)-12=32. 点拨 本题实质上仍是一个解三元一次方程组的问题,式子y=ax2+bx+c 是以后要学的二次函数的解析式,转化为解三元一次方程组是解决后面 许多数学问题的有效方法.,题型三 三元一次方程组在实际问题中的应用 例3 某汽车公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36吨到外地 销售(每辆汽车按规定满载,且每辆汽车只能装同一种蔬菜,每种蔬菜不 少于1车),相关数据如下表,应该如何安排,可使公司获得利润18 300元?,解析 设装运甲、乙、丙三种蔬菜的车辆分别为x辆、y辆、z辆,由
5、题意 得解得 答:当装运甲、乙、丙三种蔬菜的车辆分别为15辆、3辆、2辆时,可使公 司获得利润18 300元. 点拨 本题考查了三元一次方程组在实际生活中的应用.解题的关键是 找出等量关系,并列出方程组.,知识点一 三元一次方程(组) 1.下列方程是三元一次方程的是 ( ) A.x+y-z=1 B.4xy+3z=7 C. +y-7z=0 D.6x+4y-3=0,答案 A A是;B不是,4xy为二次项;C不是, 不是整式;D不是,方程中只 有2个未知数.,2.下列方程组不是三元一次方程组的是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 选项D的xyz=1中“xyz”的次数是3,故D中方程组不符合三
6、元 一次方程组的定义.故D中的方程组不是三元一次方程组.,3.若(a-1)x+5yb+1+2z2-|a|=10是一个关于x,y,z的三元一次方程,那么a= ,b= .,答案 -1;0,解析 a-10,b+1=1,2-|a|=1,a=-1,b=0.,知识点二 三元一次方程组的解法 4.解方程组 若用代入消元法解方程组,第一步应把 化为 ,代入 中,消去 ,组成二元一次方程 组;如果用加减消元法解这个方程组,第一步应用 ,消去 ,与组成二元一次方程组.,答案 ;y=11-3x;y;-;z,5.若 则x+y+z= .,答案 12,解析 三个方程相加,即可得出x+y+z=12.,6.解方程组: (1)
7、 (2),解析 (1)解法一:由+,得2x+2y+2z=90,即x+y+z=45. -,得z=18,-,得x=12,-,得y=15. 因此,原方程组的解为 解法二:由+-,得2y=30,即y=15. 由+-,得2x=24,即x=12. 由+-,得2z=36,即z=18. 因此,原方程组的解为 解法三:由,得x=27-y.,把代入,得z+27-y=30,即z-y=3. 由与组成方程组,得 解这个方程组,得 把y=15代入,得x=12. 因此,原方程组的解为 (2)-,得x-2y=-8. -,得y=9. 把y=9代入,得x-9=1,所以x=10.,把x=10,y=9代入,得10+9+z=26 ,
8、解得z=7. 所以原方程组的解为,1.下列方程中三元一次方程的个数为 ( ) z+3y+x=0;3a+b=4c; -3y+2z=3m(m为常数);xyz-y+3z=5. A.1 B.2 C.3 D.4,答案 B 根据三元一次方程的定义来判断,中 不是整式,中xyz的 次数为3,所以不是三元一次方程;只有是三元一次方程.故选B.,2.下列方程组中,是三元一次方程组的是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 因为A选项和C选项中都有四个未知数,而D选项中的含未知 数的项的最高次数是二次,所以A、C、D都不是三元一次方程组,故选B.,3.解三元一次方程组 时,要使运算简便,应采取的消元的方法 是
9、 ( ) A.先消去x B.先消去y C.先消去z D.以上说法都不正确,答案 D 可以同时消去两个未知数,故选D.,4.如果方程组 的解是 则a= ,b= ,c= .,答案 2;3;1,解析 把 代入方程组得 解得,5.解方程组:,解析 -得-y=5,y=-5 . 把y=-5代入,得z=-11, 再将z=-11代入得x=-7, 所以方程组的解为,1.以 为解建立一个三元一次方程,不正确的是 ( ) A.3x-4y+2z=3 B. x-y+2z=-2 C.x+y-z=-2 D. - -z=1,答案 C 把x=3,y=1,z=-1分别代入四个选项验算.,2.已知三元一次方程组 经过步骤-和4+消
10、 去未知数z后,得到的二元一次方程组是 ( ) A. B. C. D.,答案 A -得4x+3y=2;4+得7x+5y=3.,3.有甲、乙、丙三种商品,如果购甲种商品3件、乙种商品2件、丙种商 品1件共需315元,购甲种商品1件、乙种商品2件、丙种商品3件共需285 元,那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 元.,答案 150,解析 设甲种商品每件x元,乙种商品每件y元,丙种商品每件z元. 根据题意,得 两方程相加得4x+4y+4z=600, 所以x+y+z=150.即共需150元.,4.解下列三元一次方程组: (1) (2),解析 (1) +,得3x-3y=15, 即x-y=5, -,得x+2
11、y=11, -,得3y=6, 解得y=2, 把y=2代入,得x=7. 再把x=7,y=2代入,得z=-2.,所以原方程组的解为 (2) -2,得5y=5, 解得y=1, +,得8x-5y=7, 把y=1代入,解得x= , 再把x= ,y=1代入,得z=-1.,所以原方程组的解为,1.(2015山东聊城阳谷期中)若(2x-4)2+(x+y)2+|4z-y|=0,则x+y+z等于 ( ) A.- B. C.2 D.-2,答案 A (2x-4)2+(x+y)2+|4z-y|=0, 解得 x+y+z=2-2- =- .,2.解方程组: (1) (2),解析 (1) 把代入得2y+2z=10,即y+z=
12、5, 把代入得3y+3z-y=9,即2y+3z=9, 3-得y=6, 把y=6代入得z=-1, 把y=6,z=-1代入得x=5, 则方程组的解为,(2) +得3x+4y=18, -得y=3, 把y=3代入得x=2, 把x=2,y=3代入得z=1, 所以方程组的解为,3.在等式y=ax2+bx+c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a、b、c的值.,解析 根据题意,得 -,得a+b=1, -,得4a+b=10. 与组成二元一次方程组 解得 把a=3,b=-2代入,得c=-5. 所以a、b、c的值分别为3、-2、-5.,4.某单位职工在植树节时去植树,甲、乙、丙
13、三个小组共植树50棵,乙组 植树的棵数是甲、丙两组的和的 ,甲组植树的棵数恰是乙组与丙组的 和,求每组各植树多少棵.,解析 设甲组植树x棵,乙组植树y棵,丙组植树z棵,根据题意,得 解得 答:甲组植树25棵,乙组植树10棵,丙组植树15棵.,一、选择题 1.(2016河南师大附中月考,3,)下列说法不正确的是 ( ) A.方程3x+2y+z=20有唯一一个解 B.若x,y,z是非负数,则三元一次方程3x+5y+2z=0只有一个解 C.方程4a+b+2c=7是三元一次方程 D.方程组 是三元一次方程组,答案 A 方程3x+2y+z=20有无数个解,故选A.,2.(2016辽宁抚顺一中期末,6,)
14、若|x-3y+5|+|3x+y-5|+|x+y-3z|=0,则 ( ) A. B. C. D.,答案 B 由题意可得三元一次方程组 +3,得10x-10=0,解得x=1.把x=1代入,得y=2.再把x=1,y=2代入,得 z=1.,解析 +,得5x+2y=16, -,得2x-2y=-2, +,得7x=14,解得x=2. 把x=2代入,得y=3. 把x=2,y=3代入,得z=1. 所以方程组的解为,(2014河南南街中学期中,22,)解方程组,解析 把分别代入, 得 解得 把y=2代入,得x=8,所以方程组的解为,填空题 (2015山东滨州中考,18,)某服装厂专门安排210名工人进行手工衬 衣
15、的缝制,每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成.如果每人每天 能够缝制衣袖10个,或衣身15个,或衣领12个,那么应该安排 名工 人缝制衣袖,才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套.,答案 120,解析 设应该安排x名工人缝制衣袖,y名工人缝制衣身,z名工人缝制衣 领,才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套, 依题意有 解得 故应该安排120名工人缝制衣袖,才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领 正好配套.,(2012贵州黔东南中考,18,)解方程组 (6分),如图8-4-1是一个有三条边的算法图,每个“”里有一个数,这个数等 于它所在边的两个“”里的数之和,请你通过计算确定三个“”里 的数之和,并且确定三个“”里应填入的数.图8-4-1,所以三个“”里的数之和为71,三个“”里应填入的数按上下左右 的顺序依次为50,33,-12.,1.已知x-3y+3z=0,4x-3y-3z=0,求 的值.,解析 把z看成常数,可得 解得 = = = .,2.根据三元一次方程组的解法试解所给的四元一次方程组.,解析 +得2(x+y)=2, 所以x+y=1. +得2x=2,所以x=1. 将x=1代入得y=0. -得-2u=-4,所以u=2. -得2z=2,所以z=1. 所以,
