1、信号与系统,第一章 绪论,2019/10/9,1,信号与系统课程简介,1、课程地位,信号与系统课程是各高等院校电子信息工程及通信工程等专业的一门重要的基础课程和主干课程。该课程也是通信与信息系统以及信号与信息处理等专业研究生入学考试的必考课程。,2、主要研究的内容及实验安排,该课程主要讨论确定性信号和线性时不变系统的基本概念与基本理论、信号的频谱分析，以及研究确定性信号经线性时不变系统传输与处理的基本分析方法。从连续到离散、从时域到变换域、从输入输出分析到状态变量分析，共八章。,2019/10/9,2,1、信号与系统（第三版） 郑君里 高等教育出版社,参考书目,2、Signals & Syst
2、ems (Second edition) Alanv.Oppenheim清华大学出版社,2019/10/9,3,第1章 信号与系统基本概念,1.6 线性时不变系统分析方法概述,1.1 引论,1.2 信号分类和典型信号,1.3 信号的运算,1.4 信号的分解,1.5 系统模型及其分类,2019/10/9,4,1.1 引论,信号：一种物理量（电、光、声）的变化。,消息：待传送的一种以收发双方事先约定的方式组成的符号，如语言、文字、图像、数据等。,信息：所接收到的消息中获取的未知内容，即传输的信号是带有信息的。,电信号：与消息（语言、文字、图像、数据）相对应的变化的电流或电压，或电容上的电荷、电感中
3、的磁通等。,2019/10/9,5,系统：一组相互有联系的事物并具有特定功能的整体。,系统可分为物理系统和非物理系统。如：电路系统、通信系统、自动控制系统、机械系统、光学系统等属于物理系统；而生物系统、政治体制系统、经济结构系统、交通系统、气象系统等属于非物理系统 。,每个系统都有各自的数学模型。两个不同的系统可能有相同的数学模型，甚至物理系统与非物理系统也可能有相同的数学模型。将数学模型相同的系统称为相似系统。,2019/10/9,6,2019/10/9,7,1.2 信号分类和典型信号,对于各种信号，可以从不同角度进行分类。,1、确定性信号与随机性信号对于确定的时刻，信号有确定的数值与之对应
4、，这样的信号称为 确定性信号。不可预知的信号称为随机信号。,2、周期信号与非周期信号在规则信号中又可分为周期信号与非周期信号。所谓周期信号就是依一定时间间隔周而复始，而且是无始无终的信号。时间上不满足周而复始特性的信号称为非周期信号。,1.2.1 信号的分类,2019/10/9,8,3、连续时间信号与离散时间信号如果在所讨论的时间间隔内，对于任意时间值（除若干不连续点外），都可给出确定的函数值，这样的信号称为连续时间信号。在时间的离散点上信号才有值与之对应，其它时间无定义，这样的信号称为离散时间信号。,2019/10/9,9,4 特殊形式,一、指数信号指数信号的表达式为,2019/10/9,1
5、0,1.2.2 典型信号,正弦信号和余弦信号二者仅在相位上相差 ，统称为正弦信号，一般写作,2019/10/9,11,二、正弦信号,三、复指数信号如果指数信号的指数因子为一复数，则称为复指数信号，其表示式为,四、Sa(t)函数（抽样函数）所谓抽样函数是指sin t与 t 之比构成的函数，以符号 Sa(t)表示,2019/10/9,12,的性质：,（1） 是偶函数，在 t 正负两方向振幅都逐渐衰减。,（2）,2019/10/9,13,在信号与系统分析中，经常要遇到函数本身有不连续点或其导数与积分有不连续点的情况，这类函数统称为奇异函数或奇异信号。,一、单位斜变信号,斜变信号指的是从某一时刻开始随
6、时间正比例增长的信号。其表示式为,1.2.3 奇异信号,2019/10/9,14,二、单位阶跃信号,2019/10/9,15,如果开关S在t = t0 时闭合，则电容上的电压为u(t - t0) 。波形如下图所示：,解：由于S、E、C 都是理想元件，所以，回路无内阻，当S 闭合后，C上的电压会产生跳变，从而形成阶跃电压。即：,2019/10/9,16,工程实例,u(t)的性质：单边特性，即：,某些脉冲信号可以用阶跃信号来表示。,2019/10/9,17,所以，矩形脉冲G(t)可表示为,因为,2019/10/9,18,或：,2019/10/9,19,三、单位冲激信号,我们先从物理概念上理解如何产
7、生冲激函数,演示,2019/10/9,20,1. 的定义方法,（1）用表达式定义,这种定义方式是狄拉克提出来的，因此， 又称为狄拉克（Dirac）函数。,同理可以定义 ，即,2019/10/9,21,(2) 用极限定义,我们可以用各种规则函数系列求极限的方法来定义 。,例如:（a）用矩形脉冲取极限定义,演示,2019/10/9,22,（b）用三角脉冲取极限定义,演示,2019/10/9,23,2. 冲激函数的性质,综合式（2）和式（4），可得出如下结论：,冲激函数可以把冲激所在位置处的函数值抽取（筛选）出来。,（1）取样特性,2019/10/9,24,（2） 是偶函数，即,（3）,u(t)与
8、的关系：,2019/10/9,25,例：,四、冲激偶函数,冲激函数的微分（阶跃函数的二阶导数）将呈现 正、负极性的一对冲激，称为冲激偶函数，以 表示。,2019/10/9,26,2019/10/9,27,冲击偶的形成,（1）冲激偶是奇函数，即,（2）,（3）,冲激偶的性质,2019/10/9,28,、 、 和 之间的关系：,2019/10/9,29,1.3 信号的运算,两个信号的和（或差）仍然是一个信号，它在任意时刻的值等于两信号在该时刻的值之和（或差），即,或,两个信号的积仍然是一个信号，它在任意时刻的值等于两信号在该时刻的值之积，即,1.3.1 信号的相加运算,1.3.2 信号的乘法和数乘
9、运算,信号的数乘运算是指某信号乘以一实常数K，它是将原信号每一时刻的值都乘以K ，即,2019/10/9,30,1.3.3 信号的反褶、时移、尺度变换运算,（1）反褶运算,以 t = 0为轴反褶,（2）时移运算,t00时，f(t)在 t 轴上整体右移,t00时，f(t)在 t 轴上整体左移,2019/10/9,31,（3）尺度变换运算,压缩,扩展,2019/10/9,32,解法一：先求表达式再画波形。,2019/10/9,33,2019/10/9,34,解法二：先画波形再写表达式。,2019/10/9,35,1.3.4 信号的微分与积分运算,（1）微分运算,解：f(t) = t u(t) -
10、u(t-1),信号 f(t) 的微分 仍然是一个信号，它表示信号随时间变化的变化率。,2019/10/9,36,(2) 积分运算,解 : 1）当 t 0时，,信号 f(t) 的积分 ，也可写作 ，仍然是一个信号，它在 任意时刻的值等于从 到 t 区间内f(t)与时间轴所包围的面积。,2）当 时，,3）当 t 1 时，,例1-10 求下图所示信号f(t)的积分 ，并画出其波形。,2019/10/9,37,所以,1）当 t 0时，,2）当 时，,3）当 t 1 时，,2019/10/9,38,1.4 信号的分解,（1）任意信号分解为偶分量与奇分量之和,偶分量定义为,奇分量定义为,任意信号可分解为偶
11、分量与奇分量之和，即,2019/10/9,39,2019/10/9,40,（2）任意信号分解为脉冲分量,任意信号分解为冲激信号的迭加,当 t = 0 时，第一个矩形脉冲为,一个信号可近似分解为许多脉冲分量之和。这里又分为两种情况，一是分解为矩形窄脉冲分量，窄脉冲组合的极限就是冲激信号的迭加；另一种情况是分解为阶跃信号分量的迭加。,2019/10/9,41,当 t = 时，第 k+1个矩形脉冲为,将上述0 n个矩形脉冲迭加，就得到f(t)的表达式，即,当 时，,演示,2019/10/9,42,(3)任意信号分解成正交函数分量,如果用正交函数集表示一个信号，那么，组成信号的各分量就是相互正交的。,
12、例如，各次谐波的正弦与余弦信号构成的三角函数集就是正交函数集。任何周期信号f(t)只要满足狄里赫利条件，就可以由这些三角函数的线性组合来表示，称为f(t)的三角形式的傅里叶级数。同理， f(t)还可以展开成指数形式的傅里叶级数。,2019/10/9,43,系统的定义由若干个相互关联又相互作用的事物组合而成，具有某种或某些特定功能的整体。如通信系统、雷达系统等。系统的概念不仅适用于自然科学的各个领域，而且还适用于社会科学。如政治结构、经济组织等。 众多领域各不相同的系统都有一个共同点，即所有的系统总是对施加于它的信号(即系统的输入信号，也可称激励)作出响应，产生出另外的信号(即系统的输出信号，也
13、可称响应)。系统的功能就体现在什么样的输入信号产生怎样的输出信号,1.6 系统模型及其分类,1.6.1 系统的数学模型,对于同一物理系统，在不同条件之下，可得到不同形式的数学模型。,2019/10/9,45,对于不同的物理系统，可能有相同形式的数学模型。,2019/10/9,46,该系统可建立如下两种数学模型：,对于同一物理系统，而且在相同的工作条件之下，数学模型也不惟一。,2019/10/9,47,1.6.2系统的分类:,1).连续时间系统与离散时间系统,连续时间系统的数学模型是微分方程,离散时间系统的数学模型是差分方程,2).即时系统(无记忆系统)与动态系统(记忆系统),即时系统数学模型是
14、代数方程,如电阻电路.,动态系统数学模型是微分方程或差分方程,如RC,RL电路.,3).集总参数系统与分布参数系统,集总参数系统的数学模型是常微分方程,分布参数系统的数学模型是偏微分方程,4).线性系统与非线性系统,具有迭加性与均匀性(也称齐次性)的系统称为线性系统. 不满足叠加性或均匀性的系统称为非线性系统.,5).时变系统与时不变系统(非时变系统),时变系统:系统的参数随时间变化.,时不变系统:系统的参数不随时间而变化.,6).可逆系统与不可逆系统,可逆系统:不同的激励产生不同的响应. 不可逆系统:不同的激励产生相同的响应.,对于每个可逆系统都存一个“逆系统”,当原系统与此逆系统级联组合后
15、,输出信号与输入信号相同.,例: 可逆系统: r (t)=3e(t)其逆系统为: r(t)=e(t)/3.不可逆系统:,(当激励e(t)=1和e(t)=-1时,响应r(t)均为1.即不同激励产生相同响应.故为不可逆系统).,7). 单输入-单输出系统与多输入-多输出系统系统单输入-单输出系统:只接受一个激励信号，产生一个响应信号.,多输入-多输出系统：系统激励信号与响应信号多于一个.,1.7 线性时不变系统（LTI）,线性系统的定义：符合迭加性与均匀性的系统，称为线性系统。,(1) 线性特性,2019/10/9,51,将迭加性与均匀性结合起来，有,2019/10/9,52,满足迭加性。故此系统
16、为线性系统,例: 判断下列系统是否为线性系统：,(1) r(t)=te(t)；,(2) r(t)=e(t)+2,解 (1) ae(t) tae(t)=ate(t)=a r(t)，满足齐次性；,(2) ae(t) ae(t)+2 ae(t)+2=a r(t),不满足齐次性，故不是线性系统,e1(t)+e2(t) t e1(t)+e2(t)=t e1(t)+t e 2(t)=r1(t)+r2(t)，,2019/10/9,54,(1) r(t)=te(t)；,(2) r(t)=sine(t);,例: 判断下列系统是否为时不变系统：,解 (1)当e(t)=e1(t)时,r1(t)=te1(t),e(t
17、)=e2(t)=e1(t-t0)时, r2(t)=te2(t)=te1(t-t0),而 r1(t-t0)=(t-t0)e1(t-t0) 由于 r2(t) r1(t-t0),所以系统是时变的。,(2)当e(t)=e1(t)时,r1(t)=sine1(t),e(t)=e2(t)=e1(t-t0)时,r2(t)=sine2(t)=sine1(t-t0),而 r1(t-t0)=sine1(t-t0) 由于 r2(t) = r1(t-t0),所以系统是时不变的。,2019/10/9,56,（4）因果性,因果系统是指系统在t=t0时刻的响应只与t=t0和tt0时刻的输入有关.否则,为非因果系统.,例:,因
18、果系统: r(t)=e(t-1) (延时系统),非因果系统: r(t)=e(t+1) (超前系统),(t=0时刻响应r(0)=e(1),它由t=1时刻的激励决定,故为 非因果系统),非因果系统: r(t)=e(2t) (时域压缩系统),1.8 线性时不变系统分析方法概述,从系统数学模型求解方法来分：,从系统的数学描述方法来分：,2019/10/9,58,第2章 连续时间系统的时域分析,2.5 零输入响应与零状态响应,2.1 、2.2、2.3 、2.4系统响应的经典求解,2.6 冲激响应与阶跃响应,2.7 系统的卷积积分分析,2.8 卷积积分的性质,（1）元件端口的电压与电流约束关系,电网络的两
19、个约束特性：,2.2 系统响应的经典求解,2.2.1 连续系统数学模型,（2） 各电路的电流、电压约束关系（即电路定律 KVL、KCL）,基尔霍夫电流定律（KCL）：在任一瞬时，流向某一结点的电流之和恒等于该结点流出电流之和，即：,基尔霍夫电压定律（KVL）：在任一瞬间，沿电路中的任一回路绕行一周，在该回路上电动势之和恒等于各电阻上的电压降之和，即：,例2-2,根据电路形式，列回路方程,列结点电压方程,对于复杂系统，设激励信号x(t)与响应函数y(t)之间的关系，可用下列形式的微分方程式来描述,上式就是一个常系数 n 阶线性微分方程。,2.3 用经典法求解微分方程,此方程的完全解由两部分组成，
20、这就是齐次解和特解。齐次解应满足,特征方程为,1）特征根无重根，则微分方程的齐次解为,2）特征根有重根，假设 是特征方程的K重根，那么，在齐次解中，相应于 的部分将有K项,3）若 、 为共轭复根，即 那么，在齐次解中，相应于 、 的部分为,例2-4 ： 求下列微分方程的齐次解。,解： 特征方程为,齐次解,下面讨论求特解的方法，特解的函数形式与激励的函数形式有关。将激励信号代入微分方程的右端，代入后的函数式称为“自由项”。通常，由观察自由项试选特解函数式，代入方程后求得特解函数式中的待定系数，即可求出特解。,自由项 特解,解: （1）列写微分方程式为,（2）为求齐次解，写出特征方程,特征根,（3
21、）查表，得特解为,代入原方程得,齐次解,比较上述方程两边系数，并求解得,（4）完全解为,状态，起始状态,状态，初始条件，导出的起始状态,2.4 初始条件的确定（起始点的跳变从0-到0+ ）,在系统分析问题中，初始条件要根据激励接入瞬时系统的状态决定。,一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：,对于具体的电网络，系统的 状态就是系统中储能元件的储能情况;,但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感， 到 状态就会发生跳变。,例2-7,根据电路形式，列回路方程,列结点电压方程,(1),（1）列写电路的微分方程,(2)求系统的完全响
22、应,系统的特征方程,特征根,齐次解,方程右端自由项为,代入式(1),则系统的完全响应为,特解,换路前,因而有,由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变,(4),求得,要求的完全响应为,匹配的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的(t)及各阶导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其他项）,例：,2.4.2 冲激函数匹配法,该过程可借助数学描述,设,则,代入方程,得出,所以得,即,即,方程右端含 项，它一定属于,由方程 可知,2.5 零输入响应与零状态响应,经典法求解系统的完全响应可分为：,完全响应=自由响应+强迫响应,系统的完全响应也可分为：,完全响应=零输入响应+零状态响
23、应,初始条件：,即齐次解,的待定系数用,确定即可！,1零输入响应的定义与待定系数确定,满足方程：,故,是一种齐次解形式，即,其中，,为互不相等的n个系统特征根。,例： 求系统的零输入响应,解：特征方程,特征根,零输入响应,由起始条件,得零输入响应为,定义：起始状态为0，只由激励产生的响应,满足方程：,故,含特解,，即,2零状态响应的定义与待定系数确定,：确定全响应的系数,：确定零输入响应的系数,：确定零状态响应的系数,解：,解得,1定义,系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。,说明: 在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 看响
24、应 ， 不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。,2.6.1 冲激响应,2.6 冲激响应与阶跃响应,响应及其各阶导数(最高阶为n次),2.冲激响应的数学模型,对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示,激励及其各阶导数(最高阶为m次),设特征根为简单根（无重根的单根）,由于(t) 及其导数在 t0+ 时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。,不包含 及其各阶导数 包含 包含 及其各阶导数,3. h(t) 解的形式,解：,将 代入微分方程，并比较方程两边系数可求出：,特征方程：,齐次解：,令,则,所以,2.6.2 阶跃响应,系统方程的
25、右端包含阶跃函数 ，所以除了齐次解外，还有特解项。,我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。,系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。,1定义,2阶跃响应与冲激响应的关系,线性时不变系统满足微、积分特性,阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限 对因果系统：,由上述卷积积分的公式可总结出卷积积分计算步骤。首先将x(t)和h(t)的自变量t改成 ，即：,再进行如下运算（即卷积积分的四步曲）：反褶、时移、相乘、积分。,反褶：,时移：,2.7 系统的卷积积分分析,相乘：,积分：,计算卷积积分的关键是定积分限。,例2-11：已知 , 求 。,解
26、：,1）当 t 0 时，,2）当 t 0 时，,s(t) = 0,演示,例212：已知 ，求,解：,1）当 t 0 时，,s(t) = 0,2）当 0 t T 时，,3）当 t T 时，,2.8 卷积积分的性质,2.8.1 卷积积分的代数性质,（1）交换律,（2）分配律,分配律用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。,（3）结合律,结合律用于系统分析，相当于串联系统的冲激响应等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。,2.5.2 卷积积分的微分与积分,2.8.3 f(t)与冲激函数或阶跃函数的卷积,推广：,2.5.4 卷积积分的时移性质,解：f2(t) =
27、 (t)+(t-3)，则,s(t) = f1(t)*(t)+(t-3),= f1(t)*(t)+ f1(t) *(t-3),= f1(t)+ f1(t-3),第 3 章 傅里叶变换分析,3.4 非周期信号的频谱分析傅里叶变换,3.2 周期信号的频谱分析傅里叶变换,3.3 典型周期信号的频谱,3.5、3.6 典型非周期信号的频谱,3.7、3.8 傅里叶变换的基本性质,3.6 周期信号的傅里叶变换,3.9、3.10 取样信号的傅里叶变换,从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中，首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而产生的，这
28、方面的问题统称为傅里叶分析。,3.2 周期信号的频谱分析傅里叶级数,任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数”。,3.2.1 三角形式的傅里叶级数,设周期信号为f(t), 其重复周期是T1,角频率,（1）,直流分量：,余弦分量的幅度：,正弦分量的幅度：,其中,以上各式中的积分限一般取： 或,令,则,根据欧拉公式：,代入上式得：,令,则,3.2.2 指数形式的傅里叶级数,（3）,指数形式：,3.2.3 周期信号的频谱及其特点,1. 周期信号的频谱,为了能既方便又明确地表示一个信号中含有
29、哪些频率分量，各频率分量所占的比重怎样，就可以画出频谱图来直观地表示。,如果以频率为横轴，以幅度或相位为纵轴，绘出 及 等的变化关系，便可直观地看出各频率分量的相对大小和相位情况，这样的图就称为三角形式表示的信号的幅度频谱和相位频谱。,例3-1 求题图所示的周期矩形信号的三角形式与指数形式的傅里叶级数，并画出各自的频谱图。,解：一个周期内 的表达式为：,因此,或,2. 周期信号频谱的特点,（1）离散性 - 频谱是离散的而不是连续的，这种频谱称为离散频谱。,（2）谐波性 - 谱线出现在基波频率 的整数倍上。,（3）收敛性 - 幅度谱的谱线幅度随着 而逐渐衰减到零。,3.2.4 波形的对称性与谐波
30、特性的关系,已知信号f(t)展为傅里叶级数的时候，如果f(t)是实函数而且它的波形满足某种对称性，则在傅里叶级数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也将变得比较简单。波形的对称性有两类，一类是对整周期对称；另一类是对半周期对称。,（1）偶函数,所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能含有（直流）和余弦分量。,（2）奇函数,所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流与余弦分量，只可能包含正弦分量。,（3）奇谐函数,或,（3）奇谐函数,可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正弦、余弦分量，而不会包含直流和偶次谐波分量。,在偶谐函数的傅里叶级数中，只会含有（直流）与偶次谐
31、波的正弦、余弦分量，而不会包含奇次谐波分量。,（4）偶谐函数,例3-2：,3.2.5 吉伯斯（Gibbs）现象,n=1,n=3,n=5,n=1:,n=3:,n=5:,演示,3.3 典型周期信号的频谱,3.3.1 周期矩形脉冲信号,(1) 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数,周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为,f(t)的指数形式的傅里叶级数为,（2）频谱图,（3）频谱结构与波形参数的关系（T1, ）,1.若 不变， 扩大一倍，即,2.若 不变， 减小一半，即,谱线间隔 只与周期 有关，且与 成反比；零值点频率 只与 有关，且与 成反比；而谱线幅度与 和 都有关系，且与 成反比与 成正比。,3.4
32、非周期信号的频谱分析傅里叶变换,由于,演示,频谱密度函数,则,- 非周期信号f(t) 的傅里叶变换,- 幅度谱,- 相位谱,周期信号：,傅里叶变换：,- 连续谱,- 离散谱,与 的关系：,3.5典型非周期信号的频谱,一、单边指数信号,二、双边指数信号,三、对称矩形脉冲信号,周期矩形脉冲信号：,之间满足如下关系：,四、符号函数,F,3.6 冲激函数和冲激偶函数,单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱”或“白色频谱”。,(1）冲激函数的傅里叶变换,演示,(2）冲激函数的傅里叶逆变换,F,（3）冲激偶的傅里叶变换,F,即：,上式两边对t 求导得
33、：,F,五、阶跃信号,3.7 傅里叶变换的基本性质,3.7.1 线性,3.7.2 对称性,F,利用傅里叶变换的对称性，可以将求傅里叶逆变换的问题转化为求傅里叶变换来进行。,F,解：,F,3.7.3 奇偶虚实性,两种特定关系：,3.7.4 位移特性,（1）时移特性,例3-5：求下图所示的单边矩形脉冲信号的频谱函数。,根据时移特性,F,幅度谱保持不变，相位谱产生附加相移,（2）频移特性（调制定理）,F,F,例3-7：求 的频谱。,例3-8：求矩形调幅信号的频谱函数，已知f(t)=G(t) cos0t，其中G(t)为矩形脉冲，脉幅为E, 脉宽为。,由上可见，信号在时域中压缩等效在频域中扩展；反之，信
34、号在时域中扩展等效在频域中压缩。,3.7.5 尺度变换特性,若,F,F,则,特例：,F,3.7.6 微分与积分特性,（1）时域微分特性,F,（2）时域积分特性,例3-9：求下图所示三角脉冲信号的傅里叶变换。,解：,对上式两边取傅里叶变换：,3.8 卷积定理,（1）时域卷积定理,（2）频域卷积定理,例3-13：利用频域卷积定理求余弦脉冲的频谱。,解：我们把f(t)看作是矩形脉冲G(t)与无穷长余弦函数的乘积。,F,例3-12：利用时域卷积定理求三角脉冲的频谱,3.9 周期信号的傅里叶变换,3.9.1 正弦、余弦信号的傅里叶变换,非周期信号,F,F,F,3.9.2 一般周期信号的傅里叶变换,令周期
35、信号f(t)的周期为T1,角频率为 。它的傅里叶级数为,周期信号f(t)的傅里叶变换是由一系列冲激函数所组成，这些冲激位于信号的谐频处 ，每个冲激的强度等于f(t)的傅里叶级数相应系数Fn的 倍。,（1）,其中：,对式（1）两边取傅里叶变换,F,或：,例3-14：求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。,解：已知矩形脉冲f0(t)的傅里叶变换F0(j)为,设：,3.10 取样信号的傅里叶变换,所谓“取样”就是利用取样脉冲序列p(t)从连续信号f(t)中“取样”一系列的离散样值，这种离散信号通常称为“取样信号”。,3.10.1 信号的取样,3.10.2 取样信号的傅里叶变换,其中：,所以，,3.10.2.1冲激取样,若取样脉冲p(t)是冲激序列，此时称为“冲激取样”或“理想取样”,由于冲激序列的傅里叶系数Pn为常数，所以F(j)是以s为周期等幅地重复。,3.11 取样定理,理想低通滤波器的频率特性为：,其中：,通常把最低允许的取样率称为奈奎斯特取样率，把最大允许的取样间隔称为奈奎斯特间隔。即,解:（ 1）,奈奎斯特取样率为：,（2）,（3）,即,低通滤波器的截止频率 应满足下式：,(2)对于冲激抽样，抽样信号的频谱,当 时，此时,
