1、1信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。第一章 信号与系统1、信号的分类连续信号和离散信号周期信号和非周期信号连续周期信号 f(t)满足f(t) = f(t + mT)，离散周期信号 f(k)满足f(k) = f(k + mN)，m = 0,1,2,两个周期信号 x(t)，y(t) 的周期分别为 T1 和 T2，若其周期之比 T1/T2 为有理数，则其和信号 x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为 T1 和 T2 的最小公倍数。能量信号和功率信号因果信号和反因果信号2、信号的基本运算（+ - ）2.1 信号的（+ - ）2.2 信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换）3、奇异信号
2、3.1 单位冲激函数的性质f(t) (t) = f(0) (t) ， f(t) (t a) = f(a) (t a) 例：3.2 序列 (k)和 (k)f(k) (k) = f(0) (k) f(k) (k k0) = f(k0) (k k0) 4、系统的分类与性质4.1 连续系统和离散系统 4.2 动态系统与即时系统4.3 线性系统与非线性系统线性性质T af () = a T f ()(齐次性)T f1()+ f2() = T f1()+T f2() （可加性） 当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：y () = yf() + yx() = T f () , 0+ T 0，x(0)
3、 ( 可分解性 )0d )(d)af?)(4sin91tt)(ff )0(1()() nnftft422(d2 00ttttt1|)()(ann )|1)a)(|)(0attafkf2Ta f () , 0 = a T f () , 0 Tf1(t) + f2(t) , 0 = T f1 () , 0 + T f2 () , 0(零状态线性)T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0)(零输入线性)4.4 时不变系统与时变系统T0，f (t - td) = yf(t - td)(时不变性质 )直观判断方法：若 f ()前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统
4、为时变系统。 LTI 连续系统的微分特性和积分特性微分特性：若 f (t) y f(t) ， 则 f (t) y f (t) 积分特性：若 f (t) y f(t) ， 则4.5 因果系统与非因果系统5、系统的框图描述第二章 连续系统的时域分析1、LTI 连续系统的响应1.1 微分方程的经典解y(t)(完全解) = y h(t)(齐次解) + y p(t)(特解）描述某系统的微分方程为y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（1）当 f(t) = 2e-t，t0；y(0)=2，y(0)= -1 时的全解 ；（2）当 f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0
5、时的全解2、冲激响应系统在单位冲激信号作用下的零状态响应，求解方法系数平衡法 系统方程两端对应系数相等由单位阶跃响应求单位冲激响应，即 ()dtt例 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应 h(t)。 3、阶跃响应系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应。4、卷积积分4.1 定义 1212()()ftft4.2 任意信号作用下的零状态响应4.3 卷积积分的求法 按照定义 图解法4.4 卷积积分的性质交换律结合律分配律积分性质 xxddfd)(*)()(*d)(d)(*)( 212121 ttt ftftffff3微分性质 任意时间函数与冲激函数的卷积f(t)*(t)=(t)*f
6、(t) = f(t) ；f(t)* (t) = f(t) ；f(t)* (t)卷积的时移性质 f1(t t1)* f2(t t2) = f1(t t1 t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t t1 t2) = f(t t1 t2) 第三章 离散系统的时域分析1、LTI 离散系统的响应1.1 差分与差分方程1.2 差分方程的经典解（和微分方程相类似）1.2.1y(k) = yh(k) + yp(k) 当特征根 为单根时，齐次解 yn(k)形式为： C k当特征根 为 r 重根时，齐次解 yn(k)形式为： (Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+ C1k+C0) k 当特征根 为一对共
7、轭复根 时，齐次解 yn(k)形式为：1.2.2 特解 yp(k): 特解的形式与激励的形式雷同(r1） 。 所有特征根均不等于 1 时; yp(k)=Pmkm+P1k+P0有 r 重等于 1 的特征根时; yp(k)=krPmkm+P1k+P0 （2） 激励 f(k)=ak当 a 不等于特征根时; yp(k)=Pak当 a 是 r 重特征根时;yp(k)=（P rkr+Pr-1kr-1+P1k+P0)ak（3）激励 f(k)=cos(k)或 sin(k) 且所有特征根均不等于 ej ； yp(k)=Pcos(k)+Qsin( k) 若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k 1) + 4
8、y(k 2) = f(k)已知初始条件 y(0)=0，y(1)= 1；激励 f(k)=2k，k0。求方程的全解。 1.3 零输入响应和零状态响应2、单位序列响应和阶跃响应2.1 单位序列响应 nnn tftftfttft d)(*)(*d)()(*d 212121 1,2jecos()i()kCDk42.1.1 定义2.1.2 求法递推求初始值，求齐次差分方程的解例 已知某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k)求单位序列响应 h(k)。 例 若方程为：y(k) y(k 1) 2y(k 2)=f(k) f(k 2)求单位序列响应 h(k) 2.2 阶跃响应2.2.
9、1 定义2.2.2 求法3 常用序列 01()(1)()()2()()ikiki kkii kika4 离散信号的卷积和4.1 任意序列的分解f(k)4.2 列作用下的零状态响应4.3 定义4.4 卷积和的求法4.4.1 图解法卷积过程可分解为四步：（1）换元： k 换为 i得 f1(i)， f2(i)（2）反转平移：由 f2(i)反转 f 2(i)右移 k f 2(k i)（3）乘积： f1(i) f2(k i) （4）求和： i 从 到对乘积项求和。注意：k 为参变量。4.1.2 不进位乘法求卷积0)()()(jkj jkhig， h(k) =g(k) i ikf)(if ihfy)()(
10、i ikf)(215例 f1(k) =0， 2 ， 1 ， 5， 0k=1f2(k) =0， 3 ， 4，0 ，6，0k=04.2 卷积和的性质4.2.1 法的三律：(1) 交换律, (2) 分配律,(3) 结合律.4.2.4f1(k k1)* f2(k k2) = f1(k k1 k2)* f2(k) 第四章 连续系统的频域分析1 傅里叶级数1.1 傅里叶级数的三角形式1.2 波形的对称特性和谐波特性A .f(t)为偶函数对称纵坐标 展开为余弦级数B .f(t)为奇函数对称于原点 展开为正弦级数C f(t)为奇谐函数f(t) = f(tT/2) 傅里叶级数中只含奇次谐波分量D f(t)为偶谐
11、函数f(t) = f(tT/2) 只有直流(常数)和偶次谐波。1.3 傅里叶级数的指数形式2 周期信号频谱的特点(1)周期信号的频谱具有谐波( 离散)性。谱线位置是基频 的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。例：周期信号 f(t) =试求该周期信号的基波周期 T，基波角频率 ，画出它的单边频谱图。3 傅里叶变换3.1 定义3.2 常用函数的傅里叶变换（1）单边指数函数 f(t) = et(t)， 0 实数4.2.2f（k)*(k) = f(k) ， f(k)*(k k 0) = f(k k0) 4.2.3. f(k)*(k) = kii(4.2.5 f1(k)* f2(k) = f1(k
12、)* f2(k) = f1(k)* f2(k) 110 )sin()cos(2)(n tbtatf2d)cos()Tn tntfa2d)i()Tn ttfbntjnFtfe) 21(edTjntnft n = 0, 1, 2， 121cossin436tt jjjFtjtjt 11de)(0)(06（2）双边指数函数 f(t) = et , 0 （3）门函数(矩形脉冲)（4）冲激函数 (t)、 (t)（5）常数 1 （6）符号函数（7）阶跃函数3.3 傅里叶变换的性质（1）线性 （2）时移性质(Timeshifting Property)（3）对称性质(Symmetrical Property
13、)（4）频移性质(Frequency Shifting Property)（5）尺度变换性质(Scaling Transform Property)（6）卷积性质(Convolution Property)（7）时域的微分和积分（8）频域的微分和积分200 1ded jjtjFjttjt 2,1)(ttgjtjFjjj22/ ede)( )2Sa()sin(1de)()(tttj jttt tjtj 0ede)()(2tj 200sgn()lim()lijtFj j11()sgn()()2ttja f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F 2(j) 00(e()jtftF(
14、jt ) 2 f () 00e()jtf1()|fatFjaIf f1(t) F 1(j)， f2(t) F 2(j) Then f1(t)*f2(t) F 1(j) F2(j)Then f1(t) f2(t) F1(j)*F 2(j)()(nnftjj)()d0tfxj 00()()djft7（9）怕赛瓦尔关系（10）奇偶性(Parity)4 周期信号的傅里叶变换5 连续系统的频域分析5.15.2 无失真传输 y(t) = K f(ttd) Y(j)=Ke jtdF(j) 例：系统的幅频特性|H(j )|和相频特性如图(a)(b) 所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是6 抽样定理第五
15、章 连续系统的 s 域分析(jt)n f (t) F(n)(j) 10()dftFjxj1(0)()d2fFj)(2d)(2jtfE nTntjnT FjFtf )(2)(e2d)(1tjnFY(j ) = F(j )H(j )(a) (b)10-10 5-50 0 |H(j )| ( )5-5(A) f(t) = cos(t) + cos(8t)(B) f(t) = sin(2t) + sin(4t)(C) f(t) = sin(2t) sin(4t)(D) f(t) = cos2(4t)89二、求解方法1、部分分式展开法（1）F(s)为单极点（单根）110.()mnnasasBFsAbbn
16、ipsKspsKs )(2110（2）若 F(s)包含共轭复根时(p1,2 = j)（3）F(s)有重极点（重根） 若 A(s) = 0 在 s = p1 处有 r 重根， 三、系统的 s 域分析方法思路：用拉普拉斯变换微分特性例 1 描述某 LTI 系统的微分方程为y“(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2f (t)+ 6 f (t)已知初始状态 y(0-) = 1，y(0-)= -1，激励 f (t) = 5cost(t)，求系统的全响应 y(t)四、系统函数系统函数 H(s)定义为 系统的 s 域框图 第六章 离散系统的 z 域分析ipsiiFsK)( (e1tLpii2()()
17、(jj)BsBssDDs)jj21FKje|je|jj)( j1j111 sKsF )(.)()()(1121 pspsKABrr K11=(s p1)rF(s)|s=p1， K12=(d/ds)(s p1)rF(s)|s=p1 )(d!(11 srr Fs )(e!11ttnLp)0()()(10pipii ysYty ni nii mjji sFbasa0 ) )( )()()(000)1 sABsMsasaYniijniii pp )()(fdesABFYsH(s)= L h(t)1)nntL111213)26()1tfdt附：部分重要内容（无 z 变换）第一章：1 连续时间信号与离散时
18、间信号2 模拟信号与数字信号3 信号的运算（1）移位、反褶与尺度变换（2）微分和积分（3）两信号相加或相乘4 （1）单位阶跃信号 )(tu（2）单位冲激信号 ()1tdOt12tf14 抽样性： ()(0)tfdf0tt 偶对称性： () 尺度变换性： 1()|att 相乘性质： ()0ftft0()冲激偶信号()dtt5 线性时不变系统（1）叠加性与均匀性（2）时不变性（3）因果性第二章1系统的状态（起始状态，初始条件）2 系统的全响应（1）求解方法：经典法，双零法（2）系统响应的分解：自由响应，强迫响应，零状态响应，零输入响应3线性系统的特性（1） 响应的可分解性系统响应可以分解为零输入响
19、应和零状态响应。（2） 零状态线性当起始状态为零时，系统的零状态响应 对外加激励信号 呈现线性。)(trzs )(te（3） 零输入线性当外加激励为零时，系统的零输入响应 对于各起始状态呈线性关系。)(trzi第三章1 周期信号的傅里叶级数（1）三角函数形式的傅里叶级数（当 时）0tt15（2）指数形式的傅里叶级数2 傅里叶变换定义为正变换 ()()()jtFftfed逆变换 12jtt3 傅里叶变换的性质(1)对称性若 ，则()()Fft()()fFtf(2)线性性若 ，则()(1,2)iftin 11()()nniifatF(3)奇偶虚实性若 ，则()()FRjX 是实偶函数 ，即 为 的
20、实偶函数。ftf()f 是实奇函数 ，即 为 的虚奇函数。()()()j(4)尺度变换特性若 ，则 式中 为非零实常数。()ftF1()()fatFa(5)时移特性若 ，则()ft00()(jtfte(6)频移特性若 ，则()ftF00()()jtfeF(7)时域微分特性若 ，则()ft()dftj(nnftjF(8)频域微分特性若 ，则()ftF1()()dfjtf1()nndfjtf(9)时域积分特性16若 ，则()ftF()()(0)tFfdj(10)时域卷积定理若 ，则1122(),()ftft1212()*()ftfF(11)频域卷积定理若 ，则1122(),()ftFftF1212
21、()()ftf4.周期信号的傅里叶变换周期信号 的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的，这些冲激位于信号的谐频()ft处，每个冲激的强度等于 的傅里叶级数的相应系数 的 倍。即1(0,2, ()ft nF21)()nftF其中 还可用下式获得：n 101()nnT上式说明：周期脉冲序列的傅里叶级数的系数 单脉冲的傅里叶变换 在 频率点nF0()F1n的值乘以 。1T5 抽样定理（1）时域采样定理第四章：1 拉普拉斯变换的定义及收敛域的确定单边拉普拉斯变换：正变换 0()()stftFsfde逆变换 12jstftF2 拉普拉斯变换的性质（1） 线性性若 , , , 为常数时，则1()ftFS22(
22、)ftS12121(ftsF（2） 原函数微分17若 则()ftFs()(0dftsFf1()0()nnnrdft式中 是 r 阶导数 在 时刻的取值。()0rf()rdft（3） 原函数积分若 ，则 式中()ftFs(1)0()t fFsfdt 0(1)()fftd（4） 延时性若 ，则()fts 00()()stftute（5） s 域平移若 ，则()ftF()()atfeFs（6） 尺度变换若 ，则 （a 0）()fts1()()ft（7） 初值定理 lim0litos（8） 终值定理 ()li()tsfF（9） 卷积定理若 ， ，则有11()ftFs22()ft1212()()ftFs
23、=1212ft sj12jpd3 拉普拉斯变换的逆变换部分分式展开法4 系统函数（1）定义（2）零极点分布（3）系统函数 的求解方法()Hs由冲激响应 求得，即 。ht()(sht对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换，然后由 获得。()zsRHE根据 s 域电路模型，求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比，即为 。()18（4）系统的稳定性时域判断条件频域判断条件第五章1。利用系统函数 求响应)(jH2。 无失真传输 0tKetr第七章1。 离散时间信号序列（1）单位样值信号（2）单位阶跃序列（3）矩阵序列（4）正弦序列，余弦序列2。信号的基本运算（1）两信号相加（2）移位，反褶，尺度变换3。卷积和的计算更多课程资料请到大学课程网 www.0206.cc 学习
