1、1,5 弯曲内力,2,5 弯曲内力,5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图,5.2 梁的内力 剪力和弯矩,5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图和弯矩图,5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用,5.5 用区段叠加法作梁的弯矩图,3,1.熟练地运用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩,弄清剪力、弯矩的意义及正负号规定 2.能熟练地列出剪力方程和弯矩方程,并能熟练正确地画出剪力、弯矩图,找出最大的剪力弯矩所在截面,并熟练计算其数值 3.熟悉q(x),Fs(x)和M(x)之间的微分关系,并能利用其微分关系检查剪力、弯矩图 4.用区段叠加法作梁的弯矩图做梁的弯矩图。,4,一.弯曲的概念,1. 弯曲: 杆受垂直于轴
2、线的外力或外力偶矩的作用时,其轴线变成了曲线,这种变形称为弯曲。,2. 梁: 以弯曲变形为主的构件通常称为梁。,3. 受力特点:外力垂直于杆轴线,力偶作用于轴线所在平面内。,4. 变形特点:杆轴线由直变弯。,5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图,5,5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图,二.弯曲工程实例,6,5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图,三.纵向对称平面,工程上常见的梁都具有一根对称轴y轴。 纵向对称平面:由对称轴和梁的轴线组成的平面。,四.平面弯曲 杆发生弯曲变形后,轴线仍然和外力在同一平面内。,7,五.最常见的弯曲问题,对称弯曲,对称弯曲时梁变形后轴线所在平面与外力所在平面相重合,因而一
3、定是平面弯曲。,对称弯曲必定是平面弯曲,而平面弯曲不一定是对称弯曲。,5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图,8,六.梁的计算简图,支座的基本简化形式:,(1)固定端,约束反力,计算简图,5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图,9,(2)固定铰支座,约束反力,计算简图,5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图,10,(3)可动铰支座,约束反力,计算简图,5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图,11,(1)悬臂梁,梁的基本形式,(2)简支梁,(3)外伸梁,静定梁,5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图,12,(1)集中力,荷载的简化,(2)分布力,(3)集中力偶,5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图,13,5.2 梁的
4、内力 剪力和弯矩,取左侧分离体分析任一横截面m-m上的内力,14,由其右边分离体的平衡条件同样可得,切向应力的合力,称为剪力,法向应力的合力,称为弯矩,5.2 梁的内力 剪力和弯矩,15,剪力和弯矩的符号规则:,使微段梁有顺时针转动趋势的剪力为正,反之为负;使微段梁产生向下凸变形的弯矩为正,反之为负。,Q0,Q0,M0,M0,5.2 梁的内力 剪力和弯矩,16,例1 求图示外伸梁在截面11、22、33和44横截面上的剪力和弯矩。,解:支反力为,5.2 梁的内力 剪力和弯矩,17,截面11,截面22,5.2 梁的内力 剪力和弯矩,18,截面33,截面44,5.2 梁的内力 剪力和弯矩,19,1.
5、 横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或右侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。,剪力值=,截面左侧(或右侧)所有外力的代数和,弯矩值=,截面左侧(或右侧)所有外力对该截面形心的力矩代数和,5.2 梁的内力 剪力和弯矩,20,2.截面左侧梁段 向上的外力正剪力正弯矩顺时针外力偶正弯矩截面右侧梁段 向上的外力负剪力正弯矩顺时针外力偶负弯矩,5.2 梁的内力 剪力和弯矩,21,3. 在集中力作用处,剪力值发生突变,突变值=集中力大小; 在集中力偶作用处,弯矩值发生突变,突变值=集中力偶矩大小。,5.2 梁的内力 剪力和弯矩,22,例2 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用,最大荷载集度为q0,试求截面
6、C上的内力。,解:先求支反力,5.2 梁的内力 剪力和弯矩,23,截面C的内力,思考: 是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的合力代替来求截面C的内力?,5.2 梁的内力 剪力和弯矩,24,5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图,显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。,剪力方程,弯矩方程,梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数表达式,25,解:1.以自由端为坐标原点,则可不求反力列剪力方程和弯矩方程:,例3 图示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。,5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图,26,2. 作剪力图和弯矩图,注意:
7、 弯矩图中正的弯矩值绘在x轴的下方(即弯矩值绘在弯曲时梁的受拉侧)。,5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图,27,例4 图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。,解:(1)求支反力,(2)列剪力方程和弯矩方程,5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图,28,(3)作剪力图和弯矩图,5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图,29,例5 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。,解:(1)求支反力,(2)列剪力方程和弯矩方程,需分两段列出,5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图,30,AC段,CB段,5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图,31,(
8、3)作剪力图和弯矩图,P,5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图,32,发生在集中荷载作用处,发生在AC段,ba时,P,5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图,33,(4) 讨论:集中力作用处梁的横截面上的剪力值为多少?,由剪力图可见,在梁上的集中力(包括集中荷载和约束力)作用处剪力图有突变,这是由于集中力实际上是将作用在梁上很短长度x范围内的分布力加以简化所致。若将分布力看作在x范围内是均匀的(图a),则剪力图在x范围内是连续变化的斜直线(图b)。从而也就可知,要问集中力作用处梁的横截面上的剪力值是没有意义的。,5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图,34,解: (1)求支反力,
9、M0,例6 图示简支梁在C点受矩为M的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。,5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图,35,(2) 列剪力方程和弯矩方程,剪力方程无需分段:,弯矩方程两段:,AC段:,CB段:,M0,5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图,36,(3)作剪力图和弯矩图,ba时,发生在C截面右侧,M0,5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图,37,5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用,1.弯矩、剪力和分布荷载集度间的关系,略去,38,q(x)、Q(x)、M(x)间的微分关系,其中分布荷载集度 q(x) 以向上为正,向下为负。,5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用,
10、39,2. 几种常见荷载下梁的剪力图与弯矩图的特征,外力,无外力段,均布载荷段,集中力,集中力偶,Q 图特征,M图特征,水平直线,斜直线,自左向右突变,无变化,斜直线,曲线,自左向右折角,自左向右突变,5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用,40,利用以上特征 1. 可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确; 2. 可以不建立剪力方程和弯矩方程,利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图。,利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤: 1求支座反力; 2分段确定剪力图和弯矩图的形状; 3计算控制截面内力值,根据微分关系绘剪力图和弯矩图; 4确定 和 。,5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用,41,例7
11、试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系作图示梁的剪力图和弯矩图。,5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用,42,解:(1)支反力为,5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用,43,AC段: q=0 剪力图为水平直线 剪力值,(2)作剪力图,CB段:q=常量0 剪力图为向右下方倾斜的斜直线,5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用,44,(3)作弯矩图,AC段 弯矩图斜直线 CB段 弯矩图二次抛物线,(+),5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用,45,5qa2/3,(+),5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用,46,例8 试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。,已知:,(逆时针),5.4
12、内力与分布荷载间的关系及其应用,47,5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用,48,5.5 用区段叠加法作梁的弯矩图,叠加原理:多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。,适用条件:所求参数(内力、应力、位移)必然与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。,49,按叠加原理作弯矩图步骤:分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图;将其相应的纵坐标叠加即可(注意:不是图形的简单拼凑)。,5.5 用区段叠加法作梁的弯矩图,50,例9 图a所示受满布均布荷载q并在自由端受集中荷载 作用的悬臂梁,其剪力图和弯矩图显然就是图b和图c所示梁分别受集中荷载F和满布均布
13、荷载q作用时两个剪力图和两个弯矩图的叠加。,5.5 用区段叠加法作梁的弯矩图,51,5.5 用区段叠加法作梁的弯矩图,52,作剪力图时虽然(如上所示)也可应用叠加原理,但由于梁上通常无集度变化的分布荷载,而剪力图由直线段组成,作图比较简单,故往往只说按叠加原理作弯矩图。,由图a可见,该梁横截面上的最大剪力为 (负值) ,最大弯矩为 (负值),而极值弯矩 并非最大弯矩。,5.5 用区段叠加法作梁的弯矩图,53,小结,1. 梁截面上内力的计算方法,梁的方程与内力图,剪力的符号以使隔离体顺时针转动的剪力为正,反之为负;,2. 梁的内力与分布荷载之间的关系,弯矩的符号以使梁下侧纤维受拉为正,反之为负,弯矩图画在梁受拉的一侧。,54,3. 区段叠加法作弯矩图要点:,(1)选取适当控制截面,将梁分成若干段,使每一个梁段内或者只受均布荷载,或者无荷载作用;,(2)求出各控制截面的弯矩;,(3)相应纵坐标叠加,而非图形的简单拼凑。,