1、1,第五章 弯曲内力,本章内容: 1 引言 2 梁的支座反力 3 剪力和弯矩 4 剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图 5 剪力、弯矩与载荷集度间的关系,2,第一节 引 言,一、工程实例,3,二、基本概念,工程中的梁，其横截面一般具有一竖向对称轴，该轴与梁的轴线一起构成梁的纵向对称面。当梁上所有的外力均作用在纵向对称面内时，变形后梁的轴线弯成一条位于纵向对称面内的平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。, 受力特点：, 变形特点：,外力垂直于其轴线或外力偶作用在 其轴线所在平面内。,变形时杆件的轴线由直线弯成曲线。,1. 弯曲变形的特点,3. 平面弯曲,2. 梁：以弯曲为主要变形的杆件。,4,5,4. 梁
2、的计算简图, 梁的简化：通常以梁的轴线代替, 载荷类型：集中力、分布载荷、集中力偶, 支座类型：,(2)活动铰支座,(1)固定铰支座,6,(3)固定端,5. 静定梁的基本形式, 简支梁, 外伸梁, 悬臂梁,7,起重机大梁为No.25a工字钢,如图所示,梁长L=10m,单位长度的重量为38kg/m,起吊重物的重量为100kN,试求起重机大梁的计算简图.,q =38kN/m,F =100kN,8,第二节 梁的支座反力,梁的支座反力计算举例。,例5-1 试求图示简支梁A、B支座处的约束反力。,解:(1)取梁AB为研究对象,(2)作受力图,(3)列平衡方程,9,(4)解方程 ，得,例5-2 试求图示外
3、伸梁B支座处和C支座处的约束反力。,解:(1)取外伸梁AC为研究对象,(2)作受力图,(3)列平衡方程,10,(4)解方程 ，得,11,例5-3试求图示悬臂梁A支座处的约束反力。,解:(1)取悬臂梁AB为研究对象,(2)作受力图,(3)列平衡方程,(4)解方程 ，得,12,第三节 剪力和弯矩,一、梁横截面上的内力,图示简支梁受集中力F1、F2 和F3的作用，试分析距A端为x的横截面上的内力。,求梁横截面上内力截面法,梁横截面上内力1. 剪力FS:与横截面相切的内力，其在数值上等于截面左侧所有横向外力的代数和；,2. 弯矩M :位于纵向对称面内的内力偶矩，弯矩M在数值上等于截面左侧所有外力对截面
4、形心的矩的代数和。,3. 剪力FS和弯矩M也可用截面右侧的外力来直接计算。,13,二、剪力和弯矩的正负号规定,剪力FS符号：,n-n截面的左段相对右段向上错动时，n-n截面上的剪力规定为正值。或剪力以使其对所作用的微段梁内任意一点的矩顺时针转向为正，即“顺转向为正” 。,反之为负。即n-n截面的左段相对右段向下错动时，n-n截面上的剪力规定为负值。或剪力以使其对所作用的微段梁内任意一点的矩逆时针转向为负，即“逆转向为负” 。,14,弯矩M符号,即以使其作用的微段梁产生凹变形的弯矩规定为正，即“凸向下为正” 。,使横截面上部受压、下部受拉的弯矩为正。,反之为负。 即以使其作用的微段梁产生凸变形的
5、弯矩规定为负，即“凸向上为正” 。,15,三、用截面法计算指定截面的剪力和弯矩,1. 在指定截面处假想的将梁截开，取其中的任一段为研究对象；,2. 画出所选梁段的受力图，受力图中的剪力FS和弯矩M应假设为正 ；,3. 由平衡方程 求出剪力 FS；,4. 由平衡方程 求出弯矩M，其中C为指定截面的形心。,16,例5-4 图示悬臂梁，受集中力F和集中力偶Me=Fl的作用，试计算截面11、22、33上的剪力与弯矩。其中11截面无限接近于A截面、22截面无限接近于B截面、33截面无限接近于C截面。,解：（1）计算支座反力,求得,17,（2）计算11截面处的剪力和弯矩,求得,（3）计算22截面处的剪力和
6、弯矩,求得,18,（4）计算33截面处的剪力和弯矩,求得,19,解：（1）计算支座反力,求得,例5-5 图示外伸梁AC承受10kN的集中力和 的集中力偶的作用，试求横截面A+、D-与D+的剪力和弯矩。其中A+代表距A无限近并位于其右侧的截面、 D-则代表距D无限近并位于其左侧的截面。,20,（2）计算截面A+处的内力,求得,（3）计算截面D-处的内力,求得,21,（4）计算截面D+处的内力,求得,22,四、计算剪力和弯矩的简便方法,1.剪力FS等于截面一侧与截面平行的所有外力的代数和。,其中若对截面左侧所有外力求和，则外力以向上为正；若是对截面右侧所有外力求和，外力则以向下为正。,2.弯矩M等
7、于截面一侧所有外力对该截面形心矩的代数和。,对于外力，无论是位于截面左侧还是右侧，只要向上，对截面形心的矩都取正值，向下则取负值。至于外力偶，若位于截面左侧，则以顺时针为正；若在右侧，则以逆时针为正。,即“左上右下”外力为正值。,即“左顺右逆”外力偶为正值。,23,例5-6一简支梁，在CD段内受均布载荷 作用，如图所示。试求跨中截面E的弯矩和C截面的剪力。,解：（1）计算支座反力,由对称性易得支座反力为,（2）计算指定截面上的剪力和弯矩,截面C：看左侧求其剪力,截面E：看左侧求其弯矩,24,例5-7一悬臂梁，在一半长度上受均布载荷 作用，如图所示。试求11、22和33截面上的内力。,解：（1）
8、计算支座反力,求得,（2）计算指定截面上的剪力和弯矩,11截面：看左侧求其剪力和弯矩,25,22截面：看左侧求其剪力和弯矩,33截面：看右侧求其剪力和弯矩,此题也可以不求约束反力，各截面的内力都由截面右侧的外力进行计算。,26,例5-8一外伸梁，所受载荷如图所示。试求截面C、截面B-和截面B+的剪力和弯矩。,解：（1）计算支座反力,求得,（2）计算指定截面上的剪力和弯矩,C截面：看左侧求其剪力和弯矩,27,B-、B+截面：看右侧求其剪力和弯矩,注：对此例中截面、处的剪力进行比较，发现：在集中力作用的截面处，剪力值有突变，突变值就等于该集中力值。,28,第四节 剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,
9、一、剪力方程和弯矩方程,若以沿梁轴线的横坐标x表示横截面的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数,这两个函数数学表达式分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。,1.剪力方程,2.弯矩方程,29,以x为横坐标，以弯矩M为纵坐标，绘制所得的图形称为弯矩图；,剪力为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧。,弯矩为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧。,二、剪力图和弯矩图,以x为横坐标，以剪力FS为纵坐标，绘制所得的图形称为剪力图；,30,例 5-9 如图所示，简支梁AB在截面C处受到集中载荷F作用。试建立梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。,解：（1）计算支座反力,求得,（2）列剪力方
10、程和弯矩方程,AC段和CB段的剪力方程、弯矩方程不同，必须分段列出。,31,以梁的左端为坐标原点,AC段,CB段,（3）作剪力图和弯矩图,结论：在集中力作用处，剪力图有突变，而弯矩值没有变化，但弯矩图在该截面处发生转折。,32,例 5-10 如图所示简支梁，承受载荷集度为q的均布载荷作用，试建立梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。,解：（1）计算支座反力,由对称性可得支座反力,（2）列剪力方程和弯矩方程,以梁的最左端A点为坐标原点,33,（3）作剪力图和弯矩图,34,例 5-11 如图所示悬臂梁，承受均布载荷q作用，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并作梁的剪力图和弯矩图。,解：（1）计算
11、支座反力,求得,（2）列剪力方程和弯矩方程,以梁的最左端A点为坐标原点,35,（3）作剪力图和弯矩图,36,例 5-12 如图所示简支梁，在C截面处承受矩为Me的集中力偶作用，试建立梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。,解：（1）计算支座反力,求得,（2）列剪力方程和弯矩方程,AC段和CB段的剪力方程、弯矩方程不同，必须分段列出。,37,以梁的最左端A点为坐标原点,AC段,CB段,（3）作剪力图和弯矩图,结论：在集中力偶作用处，其左、右两侧横截面的剪力没有变化，但弯矩图有突变，突变值就等于该处集中力偶矩的值。,38,例 5-13 作图示刚架的弯矩图。,解：（1）计算支座反力,对此刚架，
12、由于A端是自由端，故无需求反力即可直接计算弯矩。,（2）列剪力方程和弯矩方程,将坐标原点取在A点,AC段：,将坐标原点取在C点,CB段：,（3）作弯矩图,注：在绘制刚架的弯矩图时，一般规定将弯矩图画在杆件的受压一侧。,39,第五节剪力、弯矩与载荷集度间的关系,一、剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系,假设直梁上作用的分布载荷集度q(x)是x的函数，规定q(x)以向上为正。,从梁中取出长度为dx的微段梁,m-m截面上内力为FS(x) ,M(x),x+dx截面处内力分别为：FS(x)+dFS(x) ,M(x)+dM(x),40,列微段梁的平衡方程,略去两式中的高阶微量 可得,41,此即为剪力、弯矩、载
13、荷集度间的微分关系式,剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小；,弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小;,根据q(x)0或q(x) 0来判断弯矩图的凹凸性。,说明：,42,二、关于剪力图、弯矩图的若干重要结论,1. 梁上无分布载荷作用 q(x) = 0,则此段梁的剪力FS (x)为常数FS， 剪力图为一水平直线；,弯矩M(x)为x的一次函数， 弯矩图为一斜率为FS的斜直线。,FS(x) 0 时,弯矩图为向右上方倾斜直线；,FS(x) 0 时,弯矩图为向右下方倾斜直线。,43,2. 梁上有分布载荷作用，q(x) 为常数,且q(x)=q,则此段梁的剪力FS (x)为x的一次函数，
14、剪力图为一斜率为q的斜直线；,弯矩M(x)为x的二次函数，弯矩图为二次抛物线。,q 0 ，即向上时,剪力图为向右上斜直线；,q 0 ，即向下时,剪力图为向右下斜直线。,44,3. 梁上有分布载荷作用，q(x) 为常数,且q(x)=q,q 0 ，即向上时,弯矩图开口向上， 为凹的抛物线；,q 0 ，即向下时,弯矩图开口向下， 为凸的抛物线；,45,4. 若在梁的某一截面处，剪力FS=0，则弯矩M(x)在该截面取得极值（极大值或者极小值）。,5.在集中力作用的左、右两侧截面，剪力图有突变，突变值就等于该集中力值；弯矩值没有变化，但是弯矩图的斜率会有突变，即弯矩图将发生转折。,6.在集中力偶作用的左
15、、右两侧截面，剪力没有变化，但是弯矩图有突变，突变值等于该集中力偶矩值。,46,例 5-14 如图所示悬臂梁，已知均布载荷集度为q，集中力偶矩 。试作其剪力图和弯矩图。,解：（1）计算支座反力,求得,（2）求控制截面处的剪力和弯矩,A右侧截面,根据载荷情况，将梁划分为AB、BC两段，利用简便方法，求得各段梁的起点和终点截面处的剪力和弯矩分别为,47,B截面,C左侧截面,（3）判断剪力图和弯矩图形状,BC梁段上无分布载荷作用，故此段梁的剪力图为水平直线；弯矩图为斜直线。,AB段梁上有向下的均布载荷作用，故此段梁的剪力图为斜直线，弯矩图为开口向下的凸抛物线。,（4）作剪力图和弯矩图,48,例 5-
16、15 如图所示简支梁，在横截面B和C处各作用一集中载荷F。试利用剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系绘制梁的剪力图和弯矩图。,解：（1）计算支座反力,由对称性可得支座反力,（2）求控制截面处的剪力和弯矩,根据载荷情况，将梁划分为AC、CD、DB三段，利用截面法，求得各段梁的起点和终点截面处的剪力和弯矩分别为,A右侧截面,49,C左、右两侧截面,D左、右两侧截面,B左侧截面,（3）判断剪力图和弯矩图形状,各段梁上均无分布载荷作用，故其剪力图均为水平直线。在CD段，由于剪力FS恒为零，故该段梁的弯矩M为常数，即对应弯矩图应为水平直线；其它两段的弯矩图则均为斜直线。,（4）作剪力图和弯矩图,注：CD段梁
17、的剪力为零、弯矩为常数，这种特殊的弯曲情况称为纯弯曲。,50,例 5-16 如图所示外伸梁，在C处作用一矩 的集中力偶，在BD段上作用集度 的均布载荷。试利用剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系绘制梁的剪力图与弯矩图。,解：（1）计算支座反力,求得,（2）求控制截面处的剪力和弯矩,根据载荷情况，将梁划分为AC、CB、BD三段，利用截面法，求得各段梁的起点和终点截面处的剪力和弯矩分别为,51,A右侧截面,C左、右两侧截面,B左、右两侧截面,D左侧截面,AC、 CB段：剪力图均为水平直线；弯矩图则均为斜直线；,（3）判断剪力图和弯矩图形状,BD段：剪力图为斜直线，弯矩图为开口向下的凸二次抛物线。,（4）作剪力图和弯矩图,52,例 5-17 图示外伸梁，在C处作用一集中载荷 在AB段作用均布载荷 。试利用剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系绘制其剪力图与弯矩图。,解：（1）计算支座反力,求得,（2）求控制截面处的剪力和弯矩,根据载荷情况，将梁划分为AB、BC两段，利用截面法，求得各段梁的起点和终点截面的剪力和弯矩分别为,53,在D截面处， 则AB段弯矩在D截面处 取极值。,A右侧截面,B左、右两侧截面,C左侧截面,（3）判断剪力图和弯矩图形状,BC段：剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线；AB段：剪力图为斜直线，弯矩图为开口向下的凸二次抛物线。,（5）作剪力图和弯矩图,（4）确定弯矩图的极值点,
