1、1 第9讲 空间中的平行与垂直关系 题型1 空间位置关系的判断与证明 (对应学生用书第30页) 核心知识储备 1直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a，b，aba. (2)线面平行的性质定理：a，a，bab. (3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b. (4)面面平行的性质定理：，a，bab. 2直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl. (2)线面垂直的性质定理：a，bab. (3)面面垂直的判定定理：a，a. (4)面面垂直的性质定理：，l，a，ala. 典题试解寻法 【典题 1】 (考查空间位置关系的判断)已知m，n
2、为异面直线，m平面，n平面. 直线l满足lm，ln，l，l，则( ) A且l B且l C与相交，且交线垂直于l D与相交，且交线平行于l 解析 根据所给的已知条件作图，如图所示 由图可知与相交，且交线平行于l，故选D. 答案 D 【典题 2】 (考查空间位置关系的证明)如图91，在三棱锥PABC中， PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点2 图91 (1)求证：PABD； (2)求证：平面BDE平面PAC； (3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积 思路分析 (1)通过证明PA平面ABC得PABD； (2)通过证明BD平面PAC得面面垂直；
3、 (3)由PA平面BDE，D为AC的中点得PA与DE的位置及数量关系，从而求出三棱 锥的体积 解 (1)证明：因为PAAB，PABC，且ABBCB，所 以PA平面ABC. 又因为BD平面 ABC，所以PABD. (2)证明：因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC. 由(1)知，PABD，且PAACA， 所以BD平面PAC， 所以平面BDE平面PAC. (3)因为PA平面BDE，平面PAC平面BDEDE，所以PADE. 因为D为AC的中点， 所以DE PA1，BDDC . 1 2 2 由(1)知，PA平面ABC，所以DE平面ABC， 所以三棱锥EBCD的体积V BDDCDE . 1 6 1
4、3 类题通法 平行关系及垂直关系的转化 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、 线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化3 对点即时训练 如图92所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD底面ABCD，且 PAPD AD . 2 2 2 图92 (1)求证：平面PAB平面PCD； (2)求三棱锥DPBC的体积. 【导学号：07804065】 解 (1)法一：(几何法)因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， 又CDAD，所以CD平面PAD，所以CDPA. 因为PAPD AD，所以PAD是等腰直角三角形，且APD ，即PAPD. 2
5、 2 2 又CDPDD，所以PA平面PCD. 又PA平面 PAB，所以平面PAB平面PCD. 法二：(向量法)取AD的中点O、BC的中点Q，连接 OP，OQ，易知OQAD. 因为PAPD，所以POAD， 因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， 所以PO平面ABCD. 建立如图所示的空间直角坐标系 由PAPD AD ，知OP1. 2 2 2 则O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，Q(0,2,0)，C(1,2,0)，D(1,0,0)， P(0,0,1) 设平面PCD的法向量为n(x，y，z)， 又 (0,2,0)， (1,0,1)， DC DP 则Error!
6、即Error! 令x1，则n(1,0，1) 同理，可求得平面PAB的一个法向量为m(1,0，1)， 又nm1100(1)(1)0，4 故平面PAB平面PCD. (2)取AD的中点O，连接OP，如图 因为PAPD，所以POAD. 因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， 所以PO平面ABCD. 即PO为三棱锥PBCD的高， 由PAPD AD ，知OP1. 2 2 2 因为底面ABCD是正方形，所以S BCD 222. 1 2 所以V 三棱锥DPBC V 三棱锥PBCD POS BCD 12 . 1 3 1 3 2 3 题型强化集训 (见专题限时集训T 1 、T 3 、T 6 、T
7、 7 、T 8 、T 9 、T 10 、T 12 、T 14 ) 题型2 平面图形的翻折问题 (对应学生用书第31页) 核心知识储备 翻折问题的注意事项 (1)画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图 (2)把握关系：即比较翻折前后的图形，准确把握平面图形翻折前后的线线关系，哪 些平行与垂直的关系不变，哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准确把握几何体 结构特征，进行空间线面关系逻辑推理的基础 (3)准确定量：即根据平面图形翻折的要求，把平面图形中的相关数量转化为空间几 何体的数字特征，这是进行准确计算的基础 典题试解寻法 【典题】 (2016全国卷)如图93，菱形ABCD的对
8、角线AC与BD交于点 O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF ，EF交BD于点H.将DEF 5 4 沿EF折到DEF的位置，OD . 10 图93 (1)证明：DH平面ABCD；5 (2)求二面角BDAC的正弦值 思路分析 (1)题设条件翻折,DHEF DHOHDH平面ABCD； 勾股定理(2)建系求法向量求二面角的余弦值求二面角的正弦值 解 (1)证明：由已知得ACBD，ADCD. 又由AECF得 ， AE AD CF CD 故ACEF. 因为EFHD，从而EFDH. 由AB5，AC6得DOBO 4. AB2AO2 由EFAC得 . OH DO AE AD 1 4 所以OH
9、1，DHDH3. 于是DH 2 OH 2 3 2 1 2 10DO 2 ，故DHOH. 又DHEF，而OHEFH，所以DH平面ABCD. (2)如图，以H为坐标原点， 的方向为x轴正方 HF 向，建立空间直角坐标系Hxyz，则H(0,0,0)， A(3，1,0)，B(0，5,0)，C(3，1,0)， D(0,0,3)， (3，4,0)， (6,0,0)， AB AC (3,1,3) AD 设m(x 1 ，y 1 ，z 1 )是平面ABD的法向量，则 即Error! 所以可取m(4,3，5) 设n(x 2 ，y 2 ，z 2 )是平面ACD的法向量，则 即Error! 所以可取n(0，3,1)
10、于是cosm，n . mn |m|n| 14 50 10 7 5 25 sinm，n . 2 95 25 因此二面角BDAC的正弦值是 . 2 95 256 类题通法 平面图形翻折问题的求解方法 1解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变和不变，一般情况下，线段 的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口. 2在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分 析折叠前的图形. 对点即时训练 如图94(1)，在四边形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC2AB4，E，F分别 在BC，AD上，EFAB，现将四边形ABEF沿EF折起，使平面A
11、BEF平面EFDC，如 图94(2) 图94(1) 图94(2) (1)若BE1，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，且 ，使得CP平面 AP PD ABEF？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)求三棱锥ACDF体积的最大值，并求此时二面角EACF的余弦值. 【导学号：07804066】 解 因为平面ABEF平面EFDC，平面ABEF平面EFDCEF，FDEF， 所以FD平面ABEF. 又AF平面 ABEF，所以FDAF. 易知AFEF，又FDEFF， 所以AF平面EFDC. (1)以F为坐标原点，FE，FD，FA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的 空间直角坐标系 则F(
12、0,0,0)，A(0,0,1)，D(0,5,0)，C(2,3,0) ， AP FD FP 1 1 FA 1 FD . ( 0， 5 1 ， 1 1 )7 . CP ( 2， 32 1 ， 1 1 ) 若CP平面ABEF，则 ，即 0， CP FD CP FD 即 0，解得 . 532 1 3 2 AD上存在一点P，当 时，满足CP平面ABEF. AP 3 2 FD (2)设BEx，则AFx(0x4)，所以三棱锥ACDF的体积 V x 2(6x) x(6x) 3. 1 3 1 2 1 3 1 3 ( x6x 2 ) 2当x3时，三棱锥ACDF的体积V有最大值，最大值为3.此时A(0,0,3)，
13、D(0,3,0)，C(2,1,0)，则 (0,0,3)， (2,1,0) FA FC 设平面ACE的法向量m(x 1 ，y 1 ，z 1 )，则 Error! 即Error! 令x 1 3，则m(3,0,2) 设平面ACF的法向量n(x 2 ，y 2 ，z 2 )，则 Error! 即Error! 令x 2 1，则n(1，2,0) cosm，n ， mn |m|n| 3 65 65 则二面角EACF的余弦值为 . 3 65 65 题型强化集训 (见专题限时集训T 2 、T 4 、T 5 、T 11 、T 13 ) 三年真题| 验收复习效果 (对应学生用书第32页) 1(2016全国卷)平面过正
14、方体ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 的顶点A，平面 CB 1 D 1 ，平面ABCDm，平面ABB 1 A 1 n，则m，n所成角的正弦值 为( ) 【导学号：07804067】 A. B 3 2 2 28 C. D 3 3 1 3 A 设平面CB 1 D 1 平面ABCDm 1 . 平面平面CB 1 D 1 ，m 1 m. 又平面ABCD平面A 1 B 1 C 1 D 1 ， 且平面CB 1 D 1 平面A 1 B 1 C 1 D 1 B 1 D 1 ， B 1 D 1 m 1 .B 1 D 1 m. 平面ABB 1 A 1 平面DCC 1 D 1 ， 且平面CB 1 D 1 平面D
15、CC 1 D 1 CD 1 ， 同理可证CD 1 n. 因此直线m与n所成的角即直线B 1 D 1 与CD 1 所成的角 在正方体ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 中，CB 1 D 1 是正三角形， 故直线B 1 D 1 与CD 1 所成角为60，其正弦值为 . 3 2 2(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA 1 B 1 C 1 中，ABC120， AB2，BCCC 1 1，则异面直线AB 1 与BC 1 所成角的余弦值为( ) A. B 3 2 15 5 C. D 10 5 3 3 C 法一：(几何法)将直三棱柱ABCA 1 B 1 C 1 补形为直四棱柱ABCDA 1 B 1 C
16、1 D 1 ，如图 所示，连接AD 1 ，B 1 D 1 ，BD. 图 由题意知ABC120，AB2，BCCC 1 1， 所以AD 1 BC 1 ，AB 1 ，DAB60. 2 5 在ABD中，由余弦定理知BD 2 2 2 1 2 221cos 603，所以BD ，所 3 以B 1 D 1 . 3 又AB 1 与AD 1 所成的角即为AB 1 与BC 1 所成的角， 所以cos . AB2 1AD2 1B1D2 1 2 AB1 AD1 523 2 5 2 10 5 故选C.9 法二：(向量法)以B 1 为坐标原点，B 1 C 1 所在的直线为x轴，垂直于B 1 C 1 的直线为y 轴，BB 1
17、 所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示 图 由已知条件知B 1 (0,0,0)，B(0,0,1)，C 1 (1,0,0)，A(1， ，1)，则 3 (1,0，1)， (1， ，1) BC1 AB1 3 所以cos ， . AB1 BC1 AB1 BC1 |AB1 |BC1 | 2 5 2 10 5 所以异面直线AB 1 与BC 1 所成的角的余弦值为 . 10 5 故选C. 3(2016全国卷)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命 题： 如果mn，m，n，那么. 如果m，n，那么mn. 如果，m，那么m. 如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等 其中正确的命题有_(填写所
18、有正确命题的编号) 对于，可以平行，也可以相交但不垂直，故错误 对于，由线面平行的性质定理知存在直线l，nl，又m，所以ml，所 以mn，故正确 对于，因为，所以，没有公共点又m，所以m，没有公共点， 由线面平行的定义可知m，故正确 对于，因为mn，所以m与所成的角和n与所成的角相等因为， 所以n与所成的角和n与所成的角相等，所以m与所成的角和n与所 成的角相等，故正确 4(2017全国卷)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转， 有下列结论：10 当直线AB与a成60角时，AB与b成30角； 当直线AB与a成
19、60角时，AB与b成60角； 直线AB与a所成角的最小值为45； 直线AB与a所成角的最大值为60. 其中正确的是_(填写所有正确结论的编号) 依题意建立如图所示的空间直角坐标系设等腰直角三角 形ABC的直角边长为1. 由题意知点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心，1为半径 的圆 设直线a的方向向量为a(0,1,0)，直线b的方向向量为b(1,0,0)， 以Ox轴 CB 为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为，0,2)，则B(cos ，sin ，0)， (cos ，sin ，1)，| | . AB AB 2 设直线AB与a所成夹角为， 则cos |sin | ， |AB a| |a|AB | 2
20、 2 0， 2 2 4590，正确，错误 设直线AB与b所成夹角为， 则cos |cos |. |AB b| |b|AB | 2 2 当直线AB与a的夹角为60，即60时， 则|sin | cos cos 60 ， 2 2 2 2 |cos | .cos |cos | . 2 2 2 2 1 2 090，60，即直线AB与b的夹角为60. 正确，错误 5(2015全国卷)如图95，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同 一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.11 图95 (1)证明：平面AEC平面AFC； (2)求直线AE与直线CF所成角的余
21、弦值. 【导学号：07804068】 解 (1)证明：如图，连接BD，设BDACG， 连接EG，FG，EF. 在菱形ABCD中，不妨设GB1.由ABC120， 可得AGGC . 3 由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC. 又AEEC，所以EG ，且EGAC. 3 在RtEBG中，可得BE ，故DF . 2 2 2 在RtFDG中，可得FG . 6 2 在直角梯形BDFE中，由BD2，BE ，DF ，可得EF . 2 2 2 3 2 2 从而EG 2 FG 2 EF 2 ，所以EGFG. 又ACFGG，所以EG平面AFC. 因为EG平面 AEC，所以平面AEC平面AFC. (2)如图，以G为坐标原点，分别以 ， 的方向为x轴，y轴正方向，| |为单位 GB GC GB 长度，建立空间直角坐标系Gxyz. 由(1)可得A(0， ，0)，E(1,0， )，F ，C(0， ，0)， 3 2 ( 1，0， 2 2 ) 3 所以 (1， ， )， . AE 3 2 CF ( 1， 3， 2 2 ) 故cos ， . AE CF AE CF |AE |CF | 3 3 所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为 . 3 3
