1、1 大题规范练(七) “20题、21 题”24分练 (时间：30分钟 分值：24分) 解答题(本大题共2小题，共24分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20已知函数f(x)2ln xax (aR)的图象在x2处的切线经过点 4f2 x (4,2ln 2) (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若不等式 mx1恒成立，求实数m的取值范围 2xln x 1x2 解 (1)由题意得f(x) a ，x0， 2 x 4f2 x2 f(2)1af(2)，a1， f(x)的图象在x2处的切线方程为yf(2)f(2)(x2)， 即yf(2)x2ln 224f(2)， 点(4,2ln 2)在该切线上，
2、f(2) ， 1 4 f(x) 1 0， 2 x 1 x2 x12 x2 函数f(x)在(0，)上单调递减 (2)由题意知x0，且x1， 原不等式 mx1等价于 (2lnxx )m. 2xln x 1x2 1 1x2 1 x 设g(x) f(x)， 1 1x2 ( 2ln xx 1 x ) 1 1x2 由(1)得f(x)在(0，)上单调递减，且f(1)0， 当0x1时，f(x)0，g(x)0；当x1时，f(x)0，g(x)0， 在(0，)上，g(x)0恒成立 假设存在正数b，使得g(x)b0， 若0b1，当x 时，g(x) b； 1 b 2ln x 1x2 1 x 1 x 若b1，当 x1时，
3、g(x) b. 1 b 2ln x 1x2 1 x 1 x 不存在这样的正数b，使得g(x)b0，g(x)的值域为(0，)， m 的取值范围为(，0 21已知椭圆C： 1(ab0)的左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，P在椭圆上(异于椭圆 x2 a2 y2 b2 C的左、右顶点)，过右焦点F 2 作F 1 PF 2 的外角平分线L的垂线F 2 Q，交L于点Q，且2 |OQ|2(O为坐标原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4 . 3 (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l：xmy4(mR)与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为 A，直线AB交x轴于D，求当三角形ADB的面积最大
4、时，直线l的方程 解 (1)由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4 ab4 ，得ab2 . 1 2 3 3 延长F 2 Q交直线F 1 P于点R(图略)，因为F 2 Q为F 1 PF 2 的外角平分线的垂线，所以 |PF 2 |PR|，Q为F 2 R的中点， 所以|OQ| a， |F1R| 2 |F1P|PR| 2 |F1P|PF2| 2 所以a2，b ， 3 所以椭圆C的方程为 1. x2 4 y2 3 (2)将直线l和椭圆的方程联立得Error!消去 x，得(3m 2 4)y 2 24my360，所以 (24m) 2 436(3m 2 4)144(m 2 4)0，即m 2 4. 设A(
5、x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，则A(x 1 ，y 1 )，由根与系数的关系，得Error!直线 AB 的斜率k ， y2y1 x2x1 y2y1 x2x1 所以直线AB的方程为yy 1 (xx 1 )， y2y1 x2x1 令y0得x D x1y2x2y1 y1y2 my14y2y1my24 y1y2 2my1y24y1y2 y1y2 4， 2my1y2 y1y2 故x D 1，所以点D到直线l的距离d ，所以S ADB |AB|d 3 1m2 1 2 3 2 18 . y1y224y1y2 m24 3m24 令t (t0)，则S ADB 18 ，当且仅当 m24 t 3t216 18 3t 16 t 18 2 3 16 3 3 4 3t ，即t 2 m 2 4，即m 2 4，m 时，三角形ADB的面积最大， 16 t 16 3 28 3 2 21 3 所以直线l的方程为3x2 y120或3x2 y120. 21 21
