1、1 大题规范练(十一) “20题、21 题”24分练 (时间：30分钟 分值：24分) 解答题(本大题共2小题，共24分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F 1 ，F 2 在y轴上，离心率为 .过 2 2 F 1 的直线l 0 交C于P，Q两点，且PQF 2 的周长为8 . 2 (1)求椭圆C的方程； (2)圆 (y2) 2 与x轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)，过点 ( x 5 2 ) 225 4 M任作一条直线与椭圆C相交于A，B两点，连接AN，BN，求证ANMBNM. 【导学号：07804242】 解 (1)设椭圆
2、C的方程为 1(ab0)因为离心率为 ，所以 y2 a2 x2 b2 2 2 ，解得 ，即a 2 2b 2 . 1 b2 a2 2 2 b2 a2 1 2 又PQF 2 的周长为|PQ|PF 2 |QF 2 |(|PF 1 |PF 2 |)(|QF 1 |QF 2 |) 2a2a4a， 所以4a8 ，即a2 ，b2， 2 2 所以椭圆C的方程为 1. y2 8 x2 4 (2)证明：把y0代入 (y2) 2 ，解得x1或x4， ( x 5 2 ) 225 4 即点M(1,0)，N(4,0) 当ABx轴时，由椭圆的对称性可知ANMBNM. 当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为yk(x1)
3、联立Error!消去 y，得(k 2 2)x 2 2k 2 xk 2 80. 设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，则x 1 x 2 ，x 1 x 2 . 2k2 k22 k28 k22 因为y 1 k(x 1 1)，y 2 k(x 2 1)，所以k AN k BN y1 x14 y2 x24 kx11 x14 kx21 x24 . kx11x24x21x14 x14x24 因为(x 1 1)(x 2 4)(x 2 1)(x 1 4)2x 1 x 2 5(x 1 x 2 ) 8 8 0， 2k28 k22 10k2 k22 2k2810k28k22 k222 所以k AN k
4、BN 0，所以ANMBNM. 综上所述，ANMBNM. 21已知函数f(x)ax 2 bxln x，a，bR. (1)当b2a1时，讨论函数f(x)的单调性； (2)当a1，b3时，记函数f(x)的导函数f(x)的两个零点分别是x 1 和x 2 (x 1 x 2 )， 求证：f(x 1 )f(x 2 ) ln 2. 3 4 解 (1)因为b2a1，所以f(x)ax 2 (2a1)xln x， 从而f(x)2ax(2a1) ，x0. 1 x 2ax22a1x1 x 2ax1x1 x 当a0时，由f(x)0得0x1，由f(x)0得x1， 所以f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，)上单调
5、递减 当0a 时，由f(x)0得0x1或x ，由f(x)0得1x ， 1 2 1 2a 1 2a 所以f(x)在区间(0,1)和区间 上单调递增，在区间 上单调递减 ( 1 2a ， ) ( 1， 1 2a ) 当a 时，因为f(x)0(当且仅当x1时取等号)， 1 2 所以f(x)在区间(0，)上单调递增 当a 时，由f(x)0得0x 或x1，由f(x)0得 x1， 1 2 1 2a 1 2a 所以f(x)在区间 和区间(1，)上单调递增，在区间 上单调递减 ( 0， 1 2a ) ( 1 2a ，1 ) 综上，当a0时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减； 当0a
6、 时，f(x)在区间(0,1)和区间 上单调递增，在区间 上单调 1 2 ( 1 2a ， ) ( 1， 1 2a ) 递减； 当a 时，f(x)在区间(0，)上单调递增，无单调递减区间； 1 2 当a 时，f(x)在区间 和区间(1，)上单调递增，在区间 上单调递 1 2 ( 0， 1 2a ) ( 1 2a ，1 ) 减 (2)法一：因为a1，所以f(x)x 2 bxln x(x0)，从而f(x) ， 2x2bx1 x 由题意知x 1 ，x 2 是方程2x 2 bx10的两个根，故x 1 x 2 . 1 2 记g(x)2x 2 bx1，因为b3，所以g 0，g(1)3b0， ( 1 2 )
7、 3b 23 所以x 1 ，x 2 (1，)，且bx 1 2x 1，bx 2 2x 1， ( 0， 1 2 ) 2 1 2 2 f(x 1 )f(x 2 )(x x )(bx 1 bx 2 )ln (x x )ln ， 2 1 2 2 x1 x2 2 1 2 2 x1 x2 因为x 1 x 2 ，所以f(x 1 )f(x 2 )x ln(2x )，x 2 (1，) 1 2 2 2 1 4x2 2 2 2 令t2x (2，)，(t)f(x 1 )f(x 2 ) ln t. 2 2 t 2 1 2t 因为当t2时，(t) 0，所以(t)在区间(2，)上单调递增， t12 2t2 所以(t)(2)
8、ln 2，即f(x 1 )f(x 2 ) ln 2. 3 4 3 4 法二：因为a1，所以f(x)x 2 bxln x(x0)，从而f(x) ， 2x2bx1 x 由题意知x 1 ，x 2 是方程2x 2 bx10的两个根，故x 1 x 2 . 1 2 记g(x)2x 2 bx1，因为b3，所以g 0，g(1)3b0， ( 1 2 ) 3b 2 所以x 1 ，x 2 (1，)，且f(x)在(x 1 ，x 2 )上是减函数， ( 0， 1 2 ) 所以f(x 1 )f(x 2 )f f(1) (1b) ( 1 2 ) ( 1 4 b 2 ln 1 2 ) ln 2， 3 4 b 2 因为b3，所以f(x 1 )f(x 2 ) ln 2 ln 2. 3 4 b 2 3 4
