1、大题规范练(十) “20 题、21 题”24 分练(时间：30 分钟 分值：24 分)解答题(本大题共 2 小题，共 24 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20设 A， B 分别是 x 轴， y 轴上的动点，点 P 在直线 AB 上，且 ，| |2 .AP 32PB AB 3(1)求点 P 的轨迹 E 的方程；(2)已知曲线 E 上的定点 K(2,0)及动点 M， N 满足 0，试证：直线 MN 必过 x 轴上KM KN 的定点. 【导学号：07804241】解 (1)设 P(x， y)， A(xA,0)， B(0， yB)，则 ( x xA， y)， ( x， yB y)，由AP
2、PB ，得 xA x x， yB y y，由| |2 ，即可求得点 P 的轨迹 E 的方程为AP 32PB 32 23 AB 3 1.x24 y23(2)证明：设直线 KM： y k(x2)( k0)与 1 联立，x24 y23消去 y，得(34 k2)x216 k2x16 k2120.设 M(x1， y1)，则2 x1 ， x1 2 ，16k23 4k2 16k23 4k2 6 8k23 4k2y1 k(x12) ， M ，12k3 4k2 (6 8k23 4k2， 12k3 4k2)设直线 KN： y (x2)( k0)，1k同理可得 N ，(6k2 83k2 4， 12k3k2 4)kM
3、N (k21)，yM yNxM xN 7k4 k2 1则 MN： y (x )，12k3 4k2 7k4 k2 1 6 8k23 4k2化简可得 y ，7k4 k2 1 (x 27)即直线 MN 过定点 ，另 MN 斜率不存在时，也过定点 ，(27， 0) ( 27， 0)直线 MN 必过定点 .(27， 0)21已知函数 f(x)( x1)e x ax2有两个零点(1)求 a 的取值范围；(2)设 x1， x2是 f(x)的两个零点，求证： x1 x20.解 (1) f( x) xex2 ax x(ex2 a)()当 a0 时，e x2 a0，函数 f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上
4、单调递增因为 f(0)10， f(2)e 24 a0，取实数 b 满足 b2 且 bln a，则 f(b) a(b1) ab2 a(b2 b1) a(421)0，所以 f(x)有两个零点()若 a0，则 f(x)( x1)e x，故 f(x)只有一个零点，不满足题意()若 a0，当 a ，则 f(x)在(0，)上单调递增，又当 x0 时， f(x)0，故12f(x)不存在两个零点，不满足题意；当 a ，则函数 f(x)在(ln(2 a)，)上单调递12增；在(0，ln(2 a)上单调递减又当 x1 时， f(x)0，故不存在两个零点综上所述，a 的取值范围是(0，)(2)证明：不妨设 x1 x2.由(1)，知 x1(，0)， x2(0，)， x2(，0)，则x1 x20 等价于 x1 x2.因为函数 f(x)在(，0)上单调递减，所以 x1 x2等价于f(x1) f( x2)，即 f( x2)0.由 f(x2)( x21)e ax 0，得 ax (1 x2)x2 2 2e ， f( x2)( x21)e ax ( x21)e (1 x2)e ，令 g(x)( x1)x2 x2 2 x2 x2 e x(1 x)ex， x(0，)则 g( x) x(exe x)0，故 g(x)在(0，)上单调递减，又 g(0)0，所以 g(x)0.所以 f( x2)0，即原命题成立， x1 x20.
