1、季节时间序列模型与组合模型,Contents,第一节 季节时间序列模型 第二节 回归与时间序列组合模型,第一节 季节时间序列模型,在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。这种周期是由于季节性变化（包括季度、月度、周度等变化）或其他一些固有因素引起的。这类序列称为季节性序列。比如一个地区的气温值序列（每隔一小时取一个观测值）中除了含有以天为周期的变化，还含有以年为周期的变化。在经济领域中，季节性序列更是随处可见。如季度时间序列、月度时间序列、周度时间序列等。处理季节性时间序列只用以上介绍的方法是不够的。描述这类序列的模型之一是季节时间序列模型(seasonal ARIMA model)，用SAR
2、IMA 表示。较早文献也称其为乘积季节模型（multiplicative seasonal model）。,月度商品零售额时序图,月度商品零售额自相关偏自相关图,设季节性序列（月度、季度、周度等序列都包括其中）的变化周期为s，即时间间隔为s 的观测值有相似之处。首先用季节差分的方法消除周期性变化。季节差分算子定义为，,若季节性时间序列用yt表示，则一次季节差分表示为,对于非平稳季节性时间序列，有时需要进行D次季节差分之后才能转换为平稳的序列。在此基础上可以建立关于周期为s的P阶自回归Q阶移动平均季节时间序列模型,当ut非平稳且存在ARMA成分时，则可以把ut描述为,p, q 分别表示非季节自回
3、归、移动平均算子的最大阶数，d 表示ut的一阶（非季节）差分次数。于是得到季节时间序列模型的一般表达式。,其中下标P, Q, p, q分别表示季节与非季节自回归、移动平均算子的最大滞后阶数，d，D分别表示非季节和季节性差分次数。上式称作(p,d,q)(P,D,Q)s阶季节时间序列模型或乘积季节模型。,当P=D=Q=0时，SARIMA模型退化为ARIMA模型；从这个意义上说，ARIMA模型是SARIMA模型的特例。当P=D=Q=p=q=d=0时，SARIMA模型退化为白噪声模型。 (1,1,1)(1,1,1)12阶月度SARIMA模型表达为,设log(Yt)=yt，上式的EViews估计命令是:
4、DLOG(Y,1,12) AR(1) SAR(12) MA(1) SMA(12),(0,1,1)(0,1,1)12阶月度SARIMA模型表达为,上式的EViews估计命令是:DLOG(Y,1,12) MA(1) SMA(12),上式的EViews估计命令是:DLOG(Y,1,12) MA(1) MA(2) MA(13),用于预测的模型形式是：,由季节时间序列模型的一般表达式。,可写成：,从上式可以看出SARIMA模型可以展开为ARIMA(p+PS+DS, d, q+QS) 模型。,对乘积季节模型的季节阶数，即周期长度s 的识别可以通过对实际问题的分析、时间序列图以及时间序列的相关图和偏相关图分
5、析得到。以相关图和偏相关图为例，如果相关图和偏相关图不是呈线性衰减趋势，而是在变化周期的整倍数时点上出现绝对值相当大的峰值并呈振荡式变化，就可以认为该时间序列可以用SARIMA 模型描述。,建立SARIMA 模型：,（1）首先要确定d, D。通过差分和季节差分把原序列变换为一个平稳的序列。 （2）然后用xt建立模型。,注意： （1）用对数的季节时间序列数据建模时通常D不会大于1，P 和Q不会大于3。 （2）乘积季节模型参数的估计、检验与前面介绍的估计、检验方法相同。利用乘积季节模型预测也与上面介绍的预测方法类似。,季节时间序列建模案例,案例1：（文件名：5b2c3）北京市1978:11989:
6、12 社会商品零售额月度数据（yt，单位：亿元人民币）。yt与时间呈指数关系且存在递增型异方差。对数的社会商品零售额月度数据（Lnyt）曲线。Lnyt与时间近似呈线性关系（异方差问题也得到抑制）。,建模1：用1978:11989:11 期间数据，估计yt的 (1, 1, 1) (1, 1, 0)12阶季节时间序列模型，得结果如下：,注意： （1）仔细对照输出结果，不要把自回归系数估计值的符号写错。 （2）表达式中，季节和非季节因子（特征多项式）之间是相乘关系。 （3）在EViews 估计命令中把变量写作DLOG(Y,1,12)的好处是可以直接对yt和DD12Lnyt预测。 （4）以上EView
7、s 估计命令为例，如果命令中没有AR(1)项，那么SAR(12) 项的输出结果将变为AR(12)，为什么？,建模2：进一步分析DD12Lnyt的相关图和偏相关图，也可以建立成一个纯季节移动平均模型。用1978:11989:12 期间数据得(0, 1, 1) (0, 1, 1)12季节乘积模型EViews 估计结果如下，,案例2 香港季节GDPt数据的拟合（季节时间序列模型，file：5HongKong）,1980:12002:4年香港季度GDPt序列（单位：港元）。 19801997年GDPt随时间呈指数增长。1997年由于遭受东南亚金融危机的影响，经济发展处于停滞状态，19982002年底G
8、DPt总量几乎没有增长。另一个特征是GDPt 随时间呈递增型异方差。所以，用对数的季度GDPt数据（LnGDPt）建立季节时间序列模型。,通过LnGDPt的相关图和偏相关图可以看到LnGDPt是一个非平稳序列（相关图衰减得很慢）。,对LnGDPt进行一阶差分，得 DLnGDPt。DLnGDPt的平稳性得到很大改进，但其季节因素影响还很大。从 DLnGDPt的相关图和偏相关图也可以明显地看到这个特征。若对LnGDPt直接进行一次季节差分（四阶差分），得D4LnGDPt。其波动性也很大。D2LnGDPt显然是过度差分序列。,在DLnGDPt的基础上进行一阶季节差分，或在D4LnGDPt基础上进行一
9、阶非季节差分，得 D4DLnGDPt。D4DLnGDPt 中已经基本消除了季节变化因素。在D4DLnGDPt的基础上建立时间序列模型。,(-2.4),(13.2),(-7.9),(3.0),(-50.1),(67.7),(-36.7),R2=0.57 DW=2 F=16.2 DW(36)=19.043.8,注意： （1）不要把自回归系数估计值的符号写错。不要把均值（- 0.0023）项表达错。EViews仍然是对(D4DLnGDPt+0.0023)建立(2, 1, 2) (1, 1, 1)4阶季节时间序列模型，而不是对 D4DLnGDPt建立季节时间序列模型。 （2）季节和非季节因子之间是相乘
10、关系。 （3）在EViews 估计命令中把变量写作DLOG(GDP,1,4)，好处是预测时可直接预测GDPt，也可以预测D4DLnGDPt。,第二节 回归与ARMA 组合模型,如果把回归模型和时间序列模型这两种分析方法结合在一起，有时会得到比其中任何一种方法都好的预测结果。,例如有如下回归模型：,上述模型的估计式是：,当 存在自相关时，时间序列分析的一个有效应用是对残差序列 建立ARMA 模型。然后将上式中的残差 项用ARMA 模型替换。在利用上述模型预测yt时，可以利用ARMA 模型先预测出 的值。有时，这会使yt的预测值更准确。 这种回归与时间序列相结合的模型形式是,这种回归与时间序列相组
11、合的模型称作转（变）换函数模型（transfer function model），多元（变量）自回归移动平均模型（multivariate autoregressive-moving average model），简称MARMA 模型，或回归与时间序列组合模型（combined regression-time series model）或regARIMA 模型。,假设ut是一个ARMA(1, 1)过程，则估计式的EViews 估计命令是:Y c X AR(1) MA(1),注意： （1）如果ut是一个AR(1) 过程，则回归与ARMA 组合模型表达的就是误差项为一阶自相关的经典回归模型。 （2
12、）按Wold 分解定理，也可以对转换函数模型作如下理解。yt- 0- 1xt=ut表示在yt中剔除了确定性影响后所得序列ut是一个不含任何确定性成分的平稳的随机序列。用ut建立时间序列模型。,组合模型主要有四种用处。（1）克服回归模型中的自相关；（2）对序列做长期预测；（3）对序列做干扰分析。（4）应用于季节调整的regARIMA阶段。,应用1：用组合模型克服回归模型中的自相关。,案例1：（file: 5autoco7）中国储蓄存款总额（Y，亿元）与GDP（亿元）(1960-2001)的计量经济模型（广义2 阶差分）,用Yt对GDPt回归。得残差图,对残差序列进行自相关的LM 检验和White
13、 异方差检验，结果可以看出模型既存在自相关又存在异方差。,尝试建立对数线性模型。自相关的LM 检验结果和White 异方差检验结果可以看出对数模型仍然存在自相关，但不存在异方差。,用模型的残差序列做2 阶自回归。,克服自相关方法（1） 采取2 阶广义差分变量回归，估计参数。定义2 个广义差分变量如下：,克服自相关方法（2）： 用回归与ARMA 的组合模型克服自相关估计回归参数。 观察残差序列的相关图、偏相关图。应该是2 阶自回归过程。在对数线性模型的基础上再加入两个AR 项。得估计结果。注意：这个方法要求对ARMA 模型的设定一定要正确，否则对回归系数影响非常大。,案例2：中国人口序列先退势然后建立时间序列模型。（组合模型）,把中国人口序列yt看作是含有确定性趋势的平稳序列。按Wold分解定理先剔除趋势成分然后建立时间序列模型。鉴于1960年开始人口序列yt出现下挫，定义一个阶跃虚拟变量DL。,1949年到1959年,1960年到2000年,用yt对时间t、阶跃虚拟变量DL回归。,通过观察ut的相关图和偏相关图，判定ut是一个4 阶自回归过程。建立含有固定趋势项和阶跃虚拟变量的4 阶自回归模型,The End of CH8,
