1、 椭圆标准方程【知识点】知识点一 椭圆的定义(1)我们把平面内与两个定点 F1，F 2 的距离的和等于常数(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：PM|MF 1|MF 2|2a ，2a|F 1F2|.(3)2a 与|F 1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件 结论2a|F1F2| 动点的轨迹是椭圆2a|F 1F2| 动点的轨迹是线段 F1F22abc 一定成立吗？不一定，只需 ab，ac 即可，b，c 的大小关系不确定【问题二】若两定点 A、B 间的距离为 6，动点 P 到两定点的距离之和为 1
2、0，如何求出点 P 的轨迹方程？以两定点的中点为坐标原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则 A(3，0) ，B(3，0).设 P(x，y)，依题意得|PA|PB| 10，所以 10，即点 P 的轨迹方程为 1. x 3 2 y2 x 3 2 y2x225 y216椭圆标准方程的两种形式焦点位置 标准方程 焦点 焦距焦点在 x 轴上 _ (ab0) F1(c，0)，F2_ 2c焦点在 y 轴上 _ (ab0) F1 ，F2(0 ，c) 2c椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系椭圆在坐标系中的位置标准方程 1(ab0)x2a2 y2b2 1( ab0)y2a2 x2b2焦点坐
3、标 F1(c，0)，F 2(c，0) F1(0，c)，F 2(0，c )a，b，c 的关系 b2a 2c 2根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中 x2 项和 y2 项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.如方程为 1 的椭圆，焦点在 y 轴上，而且可求出焦点坐标 F1(0，1) ，F 2(0，1)，焦距|F 1F2|2.y25 x24类型一：椭圆的定义【例 1】点 P(3，0)是圆 C：x 2y 26x550 内一定点，动圆 M 与已知圆相内切且过 P 点，判断圆心M 的轨迹.【变式】若将本例中圆 C 的方程改为： x2y 26x0 且点 P(3，
4、0)为其外一定点，动圆 M 与已知圆 C相外切且过 P 点，求动圆圆心 M 的轨迹方程.即 3，x 32 y 02 x 32 y 02整理得 1( x6| CP|，所以动点 M 的轨迹是椭圆 .设 M(x，y)，据题，圆 C：( x3) 2y 29，圆心 C(3，0)，半径 r3.由|MC| |MP|r，故|MC | |MP|r3，【变式 2】 下列命题是真命题的是_.(将所有真命题的序号都填上)已知定点 F1(1，0)，F 2(1，0) ，则满足| PF1|PF 2| 的点 P 的轨迹为椭圆；已知定点 F1(2，0)，F 2(2，0) ，则满足| PF1|PF 2|4 的点 P 的轨迹为线段
5、；到定点 F1( 3，0)，F 2(3，0) 的距离相等的点的轨迹为椭圆. b0).x 2 a 2 y 2 b 2依题意有Error!解得Error!由 ab0 知不合题意，故舍去当椭圆焦点在 y 轴上时，可设椭圆的标准方程为 1(ab0).y2a2 x2b2依题意有Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 1.y214x215方法二 设椭圆的方程为 mx2ny 21(m0 ，n0，mn).则Error! 解得Error!所以所求椭圆的方程为 5x24y 21，故椭圆的标准方程为 1.y214x215【变式】求与椭圆 1 有相同焦点，且过点(3， )的椭圆方程.x225 y29 1
6、5据题可设其方程为 1( 9)，x225 y29 又椭圆过点(3， )，将此点代入椭圆方程，得 11( 21 舍去) ，15故所求的椭圆方程为 1.x236 y220总结：(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2ny 21(mn，m0，n0).(2)与椭圆 1(a b0)有公共焦点的椭圆方程为 1 (ab0，b 2)，与椭圆x2a2 y2b2 x2a2 y2b2 1(a b0)有公共焦点的椭圆方程为 1( ab0，b 2 ).y2a2 x2b2 y2a2 x2b2 【变式 2】求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）椭圆的两个焦点坐标
7、分别为 F1(4，0)，F 2(4，0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10；解：设其标准方程为 1(a b0).x2a2 y2b2据题 2a10，c 4，故 b2a 2c 29，所求椭圆的标准方程为 1.x225 y29（2）椭圆过点(3，2)，(5 ，1) ；设椭圆的一般方程为 Ax2By 21(A0，B0 ，AB)，则Error! 解得Error!故所求椭圆的标准方程为 1.x2913y29116（3）椭圆的焦点在 x 轴上，且经过点(2，0) 和点(0，1).解：设椭圆的标准方程为 1(a b0).x2a2 y2b2由Error! 解得Error! 所求椭圆的标准方程为 y
8、21.x24命题角度 2 用定义法求椭圆的标准方程【例 3】已知一动圆 M 与圆 C1：(x3) 2y 21 外切，与圆 C2：(x3) 2y 281 内切，试求动圆圆心 M的轨迹方程.据题 C1(3，0)，r 11，C 2(3，0) ，r 29，设 M(x，y)，半径为 R，则|MC 1|1R，| MC2|9R，故|MC 1|MC 2|10，据椭圆定义知，点 M 的轨迹是一个以 C1，C 2 为焦点的椭圆，且 a5，c3，故 b2a 2c 216.故所求动圆圆心 M 的轨迹方程为 1.x225 y216总结：用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符
9、合椭圆的定义，可以先定位，再确定 a，b 的值.【变式 3】已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为 和 ，过点 P 作长轴453 253的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.设椭圆的两个焦点分别为 F1，F 2，不妨取|PF 1| ，| PF2| ，453 253由椭圆的定义，知 2a|PF 1|PF 2|2 .即 a .5 5由|PF 1|PF2|知，PF 2 垂直于长轴.在 RtPF2F1 中，4c 2| PF1|2| PF2|2 ，609c2 ，b 2a 2c 2 .53 103又所求的椭圆的焦点可以在 x 轴上，也可以在 y 轴上，故所求的椭圆
10、方程为 1 或 1.x25 3y210 3x210 y25类型三: 椭圆中焦点三角形问题【例 4】已知 P 是椭圆 =1 上的一点，F 1，F 2 是椭圆的两个焦点，且 F1PF230，求F 1PF2 的面积.y25 x24解：由椭圆的标准方程，知 a ，b2，5c 1，| F1F2|2.a2 b2又由椭圆的定义，知|PF 1| PF2|2a2 .5在F 1PF2 中，由余弦定理得|F 1F2|2|PF 1|2|PF 2|22|PF 1|PF2|cosF 1PF2，即 4(|PF 1|PF 2|)22|PF 1|PF2|2|PF 1|PF2|cos 30，即 420(2 )|PF1|PF2|，
11、3|PF1|PF2|16(2 ).3 |PF1|PF2|sinF1PF2 16(2 ) 84 .12 12 3 12 3【例 5】已知椭圆 1 的焦点为 F1，F 2，点 P 在椭圆上.若|PF 1|4，求F 1PF2 的大小.x29 y22解：由 1，知 a3，b ， c ，x29 y22 2 7|PF 2|2a|PF 1|2，cosF1PF2 ，|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| 12F 1PF2120.【变式】(1)在椭圆 C： 1(ab0)的焦点三角形 PF1F2 中， F1PF2 ，点 P 的坐标为( x0，y 0)，求x2a2 y2b2FPS证：PF 1
12、F2 的面积 SPF1F2c|y 0|b 2tan .2(2)已知椭圆的方程为 1，椭圆上有一点 P 满足PF 1F290(如图).求PF 1F2 的面积.x24 y23（1）S PF1F2 |F1F2|y0|c|y 0|.12所以|PF 1|PF2| .2b21 cos 根据三角形的面积公式，得 |PF1|PF2|sin sin b 2 .12 12 2b21 cos sin 1 cos 又因为 tan ，sin 1 cos 2sin2cos22cos22sin2cos2 2所以 SPF1F2b 2tan .2在PF 1F2 中，根据椭圆定义，得|PF 1|PF 2|2a.两边平方，得|PF
13、 1|2| PF2|22|PF 1|PF2|4a 2. 根据余弦定理，得|PF 1|2| PF2|22|PF 1|PF2|cos 4c 2. ，得(1cos )|PF 1|PF2|2b 2，（2）由已知得 a2，b ，3所以 c 1.a2 b2 4 3从而有(4| PF1|)2|PF 1|24.解得|PF 1| .32所以 PF1F2 的 面 积 S |PF1|F1F2| 2 ， 即 PF1F2 的 面 积 是 .12 12 32 32 32总结：(1)如图所示，以经过椭圆两焦点 F1，F 2 的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点：设点 M
14、(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为 F1(c，0) ，F 2(c，0).(3)列式：依据椭圆的定义式|MF 1|MF 2|2a 列方程，并将其坐标化为 2a. x c2 y2 x c2 y2(4)化简：通过移项、两次平方后得到：( a2c 2)x2a 2y2 a2(a2c 2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母 b，令 b2a 2c 2，可得椭圆标准方程为 1(ab0). x2a2 y2b2从而|F 1F2|2c2.在PF 1F2 中，由勾股定理可得|PF 2|2|PF 1|2| F1F2|2，即|PF 2|2| PF1|24.又由椭圆定义知|PF 1| PF2|224，所以
15、|PF 2|4| PF1|.知识点 椭圆标准方程的认识与推导【问题 1】椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？ 标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴或 y 轴上标准方程的代数特征：方程右边为 1，左边是关于 与 的平方和，并且分母为不相等的正值xa yb【问题 2】依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？ 把方程化为标准形式，与 x2，y 2 相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上【问题 3】观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程(1)如图所示，以经过椭圆两焦点 F1，F 2 的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立
16、直角坐标系xOy.(2)设点：设点 M(x，y )是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为 F1(c,0)，F 2(c,0)(3)列式：依据椭圆的定义式|MF 1|MF 2|2a 列方程，并将其坐标化为 2a.x c2 y2 x c2 y2(4)化简：通过移项、两次平方后得到：( a2c 2)x2a 2y2 a2(a2c 2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母 b，令 b2a 2c 2，可得椭圆标准方程为 1(ab0)x2a2 y2b2(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程，以方程的解( x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点 F1( c，0)，F 2(c,0)的距离之和为 2
17、a，即以方程的解为坐标的点都在椭圆上由曲线与方程的关系可知，方程是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程(1)椭圆的标准方程的形式焦点位置 形状、大小 焦点坐标 标准方程焦点在 x 轴上 F1(c,0)，F2(c,0) 1( ab0)x2a2 y2b2焦点在 y 轴上形状、大小相同ab0，b2a 2c 2，焦距为 2c F1(0，c)，F2(0，c) 1( ab0)y2a2 x2b2(2)方程 Ax2By 21 表示椭圆 的充要条件是_A 0，B0 且 AB_(3)椭圆方程中参数 a，b，c 之间的关系为_a 2b 2c 2_类型一 椭圆标准方程的确定例 1 求焦点在坐标轴上，且经过 A( ，
18、2)和 B(2 ，1) 两点的椭圆的标准方程3 3解 方法一 (1)当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 1(a b0)，x2a2 y2b2依题意有Error!解得Error!故所求椭圆的标准方程为 1.x215 y25(2)当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 1(a b0)，y2a2 x2b2依题意有Error!解得Error!此时不符合 ab0，所以方程组无解故所求椭圆的标准方程为 1.x215 y25方法二 设所求椭圆的方程为 Ax2By 21( A0，B0 且 AB) ，依题意有Error!解得Error!故所求椭圆的标准方程为 1. x215 y25反思与感悟 求解椭圆的标
19、准方程，可以利用定 义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置【变式 1】求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)两个焦点的坐标分别是(0， 2)，(0,2)，并且椭圆经过点 ( ， )；32 52(2)焦点在 y 轴上，且经过两点(0,2)和(1,0) 解 (1)椭圆的焦点在 y 轴上，设它的标准方程为 1(a b0)y2a2 x2b2由椭圆的定义知：2a 322 52 22 322 52 222 ，即 a .10 10又 c2，b 2 a2c 26.所求的椭圆的标准方程为 1.y210 x26(2)椭圆的焦点在 y 轴上，设它的标准方程为 1(a b
20、0)y2a2 x2b2又椭圆经过点(0,2)和(1,0) ，Error! Error!所求的椭圆的标准方程为 x 21.y24类型二 相关点法在求解椭圆方程中的应用例 2 如图，在圆 x2y 24 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足当点 P 在圆上运动时，求线段 PD 的中点 M 的轨迹解 设点 M 的坐标为(x ，y)，点 P 的坐标为(x 0，y0)，则 xx 0，y .因为点 P(x0，y0)在圆 x2y 24 上，y02所以 x y 4.20 20把 x0x，y 02y 代入方程，得 x24y 24，即 y 21.x24所以点 M 的轨迹是一个焦点在 x 轴
21、上的椭圆反思与感悟 如果一个动点 P 随着另一个在已知曲线上运动的动点 Q 而运动，则求 P 点的轨迹方程时一般用转代法来求解基本步骤为(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为 P(x，y)，已知曲 线上动点坐标为 Q(x1，y1)(2)求关系式：用点 P 的坐标表示出点 Q 的坐标，即得关系式Error!(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨 迹的方程，并把所得方程化简即可跟踪训练 2 如图所示，B 点坐标为(2,0)，P 是以 O 为圆心的单位圆上的动点，POB 的平分线交直线 PB于点 Q，求点 Q 的轨迹方程解 由三角形角平分线性质得 2. 2 .|BQ|QP| |OB|OP| BQ QP 设 Q(x，y)，P(x0，y0)，则(x 2 ，y)2(x 0x， y0y)，Error!Error!又点 P 在单位圆 x2y 21 上( )2( y)21.3x 22 32点 Q 的轨迹方程为 y21.3x 224 94
