1、1 3.4 导数在实际生活中的应用 学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的 优化问题 知识点 生活中的优化问题 1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 _ 2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值 3解决优化问题的基本思路： 上述解决优化问题的过程是一个典型的_过程 类型一 几何中的最值问题 命题角度1 平面几何中的最值问题 例1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场如图，圆形广场的圆心为O，半径 为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂 线，垂足为点B.市园林局计
2、划在ABM内进行绿化设ABM的面积为S(单位：m 2 )， AON(单位：弧度) (1)将S 表示为的函数； (2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积反思与感悟 平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面 积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值 跟踪训练1 如图所示，在二次函数f(x)4xx 2 的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩 形ABCD，求这个矩形面积的最大值2命题角度2 立体几何中的最值问题 例2 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分 所示的四个全等的等腰直角三角形
3、，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P， 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个 端点，设AEFBx cm. (1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的 比值反思与感悟 (1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上 解决与实际相关的问题 (2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体 组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程 跟踪训练2 周长为20 cm的矩
4、形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为 _ cm 3 .3 类型二 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题 例3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7 万元设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万 元，且R(x)Error! (1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出 最大值反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系， 常见的基本等量关系有： (1)利润收入成本；
5、 (2)利润每件产品的利润销售件数 跟踪训练3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售 价格x(单位：元/千克)满足关系式y 10(x6) 2 ，其中30，函数单调递增； 2 3 3 当2 0，得010 时， WxR(x)(102.7x) 98 2.7x， 1 000 3x 所以WError! (2)当 00；当x(9,10时，W10时，W98( 2.7x) 1 000 3x 982 38， 1 000 3x 2.7x 当且仅当 2.7x，即x 时， 1 000 3x 100 9 W取得最大值38. 综合知，当x9(千件)时，W取得最大值为38.6万元 答 当年
6、产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润 为38.6 万元 跟踪训练3 解 (1)因为当x5时，y11，所以 1011， a 2 所以a2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y 10(x6) 2 ， 2 x3 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)(x3) 10(x6) 2 2 x3 210(x3)(x6) 2, 30， 故x5 为f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)65 70. 800 155 答 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元 跟踪训练4 解 设该楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元， 则f(x)56048x 56
7、048x ，x10， 2 160 10 000 2 000x 10 800 x f(x)48 ， 10 800 x2 令f(x)0，得x15. 当x15 时，f(x)0；当10x15时，f(x)0. 所以当x15时，f(x)取得最小值， 即f(15)2 000. 答 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建15层 当堂训练 18 2.8 3.300 4.160 5解 (1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx 2 . 若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有 f(x)(30x9)(432kx 2 )11 (21x)(432kx 2 ) 由已知条件，得24k2 2 ，于是有k6. 所以f(x)6x 3 126x 2 432x9 072，x0,21 (2)根据(1)，f(x)18x 2 252x432 18(x2)(x12) 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x 0,2) 2 (2,12 ) 12 (12,21 f(x) 0 0 f(x) 极小值 极大值 故当x12时，f(x)取得极大值 因为f(0)9 072，f(12)11 664. 所以当定价为301218(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大
