1、数学实验报告实验序号： 2 日期： 2016 年 月 日班级 姓名 学号实验名称圆周率 的计算问题背景描述：圆周率是指一个圆的周长与其直径的比值。古今中外，许多人致力于圆周率的研究。回顾历史，人类对 的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。 的研究，在一定程度上反映着这个地区或时代的数学水平。德国数学家康托说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。 ”实验环境：学校机房、Mathematica4.0 软件、PrintScreen 软件实验目的：首先在 Mathematica 环境中用多种方法计算圆周率 的值，通过实验来体会各种方法的区
2、别，比较各种方法的优劣，接着尝试自己提出新的方法来计算圆周率 的值。实验理论基础和方法：1.用 Mathematica 绘图函数 Plot 绘制圆周率 ；2.运用数值积分法计算圆周率：利用半径为 1 的单位圆的面积等于 来求解圆周率；3.利用泰勒级数法计算 ：利用反正切函数的泰勒级数 12)(53arctnkxxx4. 蒙特卡罗法计算实验结果报告及实验总结：一、数值积分法计算 因为单位圆的半径为 1，它的面积等于 ，所以只要计算出单位圆的面积，就算出了。在坐标轴上画出以圆点为圆心，以 1 为半径的单位圆，则这个单位圆在第一象限的部分是一个扇形，而且面积是单位圆的 1/4，于是，我们只要算出此扇
3、形的面积，便可以计算出。而且单位的精度可能会影响计算的结果，下面将给出不同的 n 计算所得结果并讨论差异。1. 当 n=1000 时命令：n=1000;yx_:=4/(1+x*x);s1=(Sumyk/n,k,1,n-1+(y0+y1)/2)/n;s2=(y0+y1+2*Sumyk/n,k,1,n-1+4*Sumy(k-1/2)/n,k,1,n)/(6*n);PrintNs1,20,Ns2,30,NPi,30;结果如下：2. 当 n=5000 时命令： n=5000;yx_:=4/(1+x*x);s1=(Sumyk/n,k,1,n-1+(y0+y1)/2)/n;s2=(y0+y1+2*Sumy
4、k/n,k,1,n-1+4*Sumy(k-1/2)/n,k,1,n)/(6*n);PrintNs1,20,Ns2,30,NPi,30;运行结果:3.当 n=10000 时命令:n=10000;yx_:=4/(1+x*x);s1=(Sumyk/n,k,1,n-1+(y0+y1)/2)/n;s2=(y0+y1+2*Sumyk/n,k,1,n-1+4*Sumy(k-1/2)/n,k,1,n)/(6*n);PrintNs1,20,Ns2,30,NPi,30;Plot4(1-x*x),x,0,1运行结果：4. 结果分析：当数值积分法得到 的近似值为 3.1415926535897932384626433
5、8328，可以看出，用这种方法计算所得到的 值是相当精确的，n 越大，计算出来的扇形面积的近似值就越接近 的准确值。二、泰勒级数法计算 利用反正切函数的泰勒级数来计算 。 12)(53arctnkxxx 命令：Tx_,n_:=Sum(-1)k*x(2k+1)/(2k+1),k,0,n;N4*T1,20000,20/TimingTx_,n_:=Sum(-1)k*x(2k+1)/(2k+1),k,0,n;PrintN4*(T1/2,260+T1/3,170),150;PrintN16*(T1/5,110-4*T1/239,30),150;PrintNPi,150运行结果：结果分析：从实验过程可以看
6、出，这种方法花费的时间很长。原因是当 x=1 时得到的 的展开式收敛太慢。要使泰勒级数收敛得快，容易想到，应当使 x 的绝对值小于 1，最好是远比 1 小。例如，因为 ，所以我们可以计算出 的值，从而得到 的值。这样，就使得收敛速度加快。改进后可以看出，泰勒级数法得到的结果比数值分析法精确到小数点后更多位。三、蒙特卡罗法计算 在数值分析法中，我们利用求单位圆的 1/4 面积来得到 ，从而得到 。单位圆的 1/4 是一个扇形，它是边长为 1 的单位正方形的一部分，单位正方形的面积 。只要能够求出扇形的面积 在正方形的面积中所占的比例 ，就能立即得到 ，从而得到 的值。下面的问题归 结为如何求 的
7、值，这就用到了一种利用随机数来解决此种问题的蒙特卡罗法，其原理就是在正方形中随机的投入很多点，是所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等，看其中有多少个点落在扇形内。降落在扇形内的点的个数与所投店的总数 的比可以近似的作为的近似值。命令：n=10000;p=;Dom=0;Dox=Random;y=Random;Ifx2+y2=1,m+,k,1,n;AppendTop,N4m/n,t,1,10;Printp;Sumpt,t,1,10/10运行结果：结果分析：从运行结果来看，蒙特卡罗法的计算结果为 3.14668，虽然精确度不太高，但运行时间短，在很多场合下，特别是在对精确度要求不高的情况下很
8、有用的。步骤四、针对步骤三提出疑问：步骤三中我们发现当 n=10000 时，蒙特卡罗法的计算结果为3.14668，精确度不太高，那么对 n 取不同的值，所得结果的精确度会不会有变化？假如有变化，会有什么变化呢？猜想：对 n 取不同的值，所得结果的精确度应该会有变化，且当 n 值越大，所得结果越精确。当 n=100000 时命令：n=100000;p=;Dom=0;Dox=Random;y=Random;Ifx2+y2=1,m+,k,1,n;AppendTop,N4m/n,t,1,10;Printp;Sumpt,t,1,10/10运行结果：当 n=1000000 时命令： n=1000000;p
9、=;Dom=0;Dox=Random;y=Random;Ifx2+y2=1,m+,k,1,n;AppendTop,N4m/n,t,1,10;Printp;Sumpt,t,1,10/10运行结果如下结果分析：从运行结果来看，随着 n 的增加，运行时间明显变长，用蒙特卡罗算法所求结果越精确，与猜想一致。四、实验总结利用数值方法计算 ，在 n 的不同取值下精度都很大，随着 n 值的增加计算所需时间也在增加；相比数值方法，Taylor 级数收敛法需要花费更多的时间用于计算，所得精度也更高；而蒙特卡罗方法相比上述两个，运行速度最快，但精度不高。综上，这三种方法都可以较为准确地计算出 值，考虑日常生活中的实用性，蒙特卡洛方法具有耗时短效率高的特点，更适合低精度要求下的计算。教师评语：
