1、金融数学（引论）,主讲人：那日萨,2009年9月,利息理论应用,第二章-2,第四章 本金利息分离技术,问题的提出：在年金的期限内，市场会有很多的变化，投资者(融 资者)通常需要随时评估其已经进行的投融资的价值.如何分析现金流中的内在价值（本金）和时间价值（利息)?价值评估中常用的本金利息分离方法有摊还表方法 (amortization schedules )和偿债基金方法(sinking Fund),利息理论应用,第二章-3,摊还表方法 对未清偿债务本金和利息的定期支付(如贷款的分期尝付)，且利息偿还优先。 偿债基金方法 借款人为偿还债务成立基金并在指 定期限内分期拨款入基金，累计起一笔足够款
2、项以偿还未来到期的债款(一般的债券发行多附有要求借款人设立偿债基金的条款)本质上就是要解决如何将投资期间的现金流分解为 “本金”和”利息”两部分，进而确定投资期间每个时刻的未结贷款余额。,利息理论应用,第二章-4,4.1 摊还表,计算未结贷款余额 (Outstanding loan balance) 注：“ 未结本金”、“ 未付余额”、“剩余贷款债务” “账面价值”。 实际背景:在贷款业务中,每次分期还款后,借款人的未偿还的债务在当时的价值。例如：某家庭现有一个三十年的住房抵押贷款的分期还贷款，在已经付款12 年后因为意外的一笔收入，希望一次将余款付清，应付多少？,利息理论应用,第二章-5,计
3、算未结贷款余额的常用方法有预期法和追溯法预期法 用剩余的所有分期付款现值的和表示每个时刻的贷款余额。 追溯法 用原始贷款额的累积值扣除所有已付款项的累积值表示每个时刻的贷款余额。 注：这里的利率即为贷款利率 思考： 两种方法的计算结果会是一致的吗？,利息理论应用,第二章-6,分析：在贷款之初有贷款额 = 今后所有还款的现值之和 将上式的两边同时累积到还款期间的某个指定时刻则有原始贷款额的终值 = 所有分期还款在这个时刻的价值之和 上式右边可以分成两部分：过去的还款和未来的还款，前者的价值计算为终值，后者的价值计算为现值，从而上式又可以表示为：,利息理论应用,第二章-7,原始贷款额的终值 = 过
4、去还款的终值+ 未来还款的现值最后将上式右边的第一项移到左边 则新等式的左边表示追溯法，而右边表示预期法，两者相等。讨论:两种计算方法在实际应用中并没有明显的优劣之分,一般情况下,如果所有的还款额和还款时间已知则采用预期法;如果还款次数未定或最后一次的 还款金额未定,则采用追溯法.,利息理论应用,第二章-8,记号 表示时刻t 的未结贷款余额(第t 次还款后的瞬间) 为 了 区 别 所 采 用 的 计 算 方 法 分别用(prospective )和 ( retrospective) 表示预期算法和追溯算法的计算结果 原始贷款金额 一般用L 表示典型还贷情形下的未结贷款余额的计算:情形 1 .还
5、贷金额固定:贷款利率为i ,n 次偿还,每次1 元；,利息理论应用,第二章-9,预期法:(付款现金流确定)追溯法: 因为原始贷款 ,从而有预期法和追溯法计算结果相同,即有未结贷款余额满足下递推关系,利息理论应用,第二章-10,情形2. 已知贷款金额:设原始贷款金额为L ,贷款 贷利率为i ,n 次还清首先计算每次的还款额 R:或预期法:(付款现金流确定),利息理论应用,第二章-11,追溯法：例 ：某贷款的还贷方式为：前五年每半年2000元； 后五年每半年还1000 元。如果半年换算的挂牌利率为 10%。 分别用预期法和追溯法计算第五次还贷后的贷 款余额。解： 1) 预期法：,利息理论应用,第二
6、章-12,2. ）追溯法： 原始贷款金额为从而有例：某三十年的贷款每年还1000 元，在第十五年的正常还款之后，借款人再一次多还2000 元。如果将其全部用于扣除贷款余额。剩余的余额分12年等额还清，年利率9% ，计算后12年的年还款额。,利息理论应用,第二章-13,解： 用预期法计算第十五次还款后的贷款余额为因为又多还了 2000 元,从而此时实际贷款余额应为 6060.70 元。后十二年的年还款额 X 应满足以下方程即: 注：较原先大致降低了 15.4%,利息理论应用,第二章-14,摊还表关键点：在有些情况中 ，有必要将每次的还款额分解为“还本金”和“还利息”两部分，比如在本金和利息的税收
7、是不一样的时候、涉及提前还贷的时候等等。 摊还方法的基本原理：在贷款的分期还款中 ，利息偿还优先即首先偿还 应计利息，余下的部分作为本金偿还。,利息理论应用,第二章-15,摊还的具体表示：设第 t 次的还款额为R ，等额还利息部分为 还本金部分为 ,记 为第t 次还款后瞬间的 未结贷款余额,则有其中 在不断的减少未结贷款余额（本金），与利息无关。,利息理论应用,第二章-16,摊还表将还贷期间的每次还款分解为还本金和付利息，同时列出每次还款后的未结贷款余额例:下表为贷款利率为i ,每次还款1 元,共计n 次 的摊还表.贷款额为,利息理论应用,第二章-17,利息理论应用,第二章-18,分析: 1
8、)在第一次还款的1 元中,利息部分为 . 本金部分为 未结贷款余额为原贷款扣除已还的本 金, 即对任意时刻 t 有类似的结论，即：时刻t 的1 元还款可以分解为利息量 和本金量 ，两者的计算公式分别为：,利息理论应用,第二章-19,从而未结贷款余额为2） 所有本金之和等于原始贷款，即3 ）所有利息之和等于还款额总和与原始贷款额之差，即,利息理论应用,第二章-20,第四章-20,4 ） 本金序列依时间顺序构成递增的等比级数 比值为(1+i ),5 ） 利息序列依时间顺序构成递减数列,结论： 在等额还款方式下 ， 前期的还款主要用于偿还利息， 贷款本金 （余额） 的降低幅度不大 。,利息理论应用,
9、第二章-21,利息理论应用,第四章-21,例： 30 年期贷款，贷款利率 6% ，每年还款 30000 元，摊还表本息示意图如下：,利息理论应用,第二章-22,利息理论应用,第四章-22,一般情况下贷款的摊还表 1） 每次还款额为R， 则有：,未结贷款余额为,2） 原始贷款额为L， 则每次的还款额R 为,利息理论应用,第二章-23,利息理论应用,第四章-23,进而有摊还表的对应计算,未结贷款余额为,利息理论应用,第二章-24,利息理论应用,第四章-24,Note： 摊还表计算中的递推公式 B0=L ，It = iBt-1 ，Pt= R-It , Bt= Bt-1-Pt,例：1000 元贷款、利
10、率8%的四年还贷的摊还表,利息理论应用,第二章-25,利息理论应用,第四章-25,例：现有1000 元贷款通过每季度还款100 元偿还，已知季换算挂牌利率16% 。计算第四次还款中的本金量和利息量。 解：第三次还款后的未结贷款余额为,从而有,注： 回溯法，不必计算最后一次还款的金额。,利息理论应用,第二章-26,利息理论应用,第四章-26,例：甲从乙处借款10,000 元，双方商定以季挂牌利率8%分六年按季度还清。但是，在第二年底（第八次还款之后）乙将未到期的贷款权益转卖给丙，但乙丙双方商定的季挂牌利率为10% 。分别计算丙和乙的利息总收入。,解：六年中甲的每次还款额为,利息理论应用,第二章-
11、27,利息理论应用,第四章-27,1） 丙的利息总收入 计算丙的买价为,从而丙在后四年的利息收入总和为,2） 乙的利息总收入,算法一：计算乙在第二年底的未结贷款余额为,乙在前两年收回的本金为,利息理论应用,第二章-28,利息理论应用,第四章-28,10,000 - 7178.67 = 2821.33 乙在前两年的总收入为8(528.71) = 4229.68 从而乙在前两年的利息总收入为4229.68 - 2821.33 = 1408.35 算法二：乙在这笔贷款中的总收入为 8(528.71) + 6902.31 = 11131.99 总支出为10,000 元，从而利息收入应为1131.9 元
12、。思考：你认为哪一种算法更合理？,利息理论应用,第二章-29,利息理论应用,第四章-29,例：现有年收益率为i 的n 年投资，每年底收回1 元。但是，在第二年内的实际收益率为j ，且有j i。 在以下两种情况下，计算第二年以后的年收入： 1 ）第三年开始的年收益率仍然为i 2 ）第三年开始的年收益率保持j 解： ，而第一年底的未结贷款余额为 设所求年收入为X （从第二年还款开始），则,1) 一方面有,利息理论应用,第二章-30,利息理论应用,第四章-30,另一方面，B 2等于从第三年开始的所有还款的现值之和，即,从而有,注： 如果原来的年收益为R ，则新的年收益应为,利息理论应用,第二章-31
13、,利息理论应用,第四章-31,2） 类似的，由B2的两种算法可得,即有：,可以证明，当 时，有,利息理论应用,第二章-32,利息理论应用,第四章-32,4.2 偿债基金（sinking fund） 偿债基金为了在贷款期末将原始贷款额一次还清而建立的还贷基金 注：基金在整个还贷期间采取“零存整取”方式 注： 在还贷期间的每个时刻的“未结贷款余额”应该是原始贷款额扣除偿债基金后的余额 i 原贷款利率 j 偿债基金的累积利率,利息理论应用,第二章-33,利息理论应用,第四章-33,利息理论应用,第二章-34,1. 设以标准期末年金方式还款，每次存入偿债基金的金额为S (等额) ，共计n 次，记这种情
14、况下的现金流现值为 (原始贷款额度) ，则有,利息理论应用,第四章-34,原贷款利率与偿债基金累积利率不同,同时有累积偿债基金的关系式,注： 每期还利息并在偿债基金中累积到期还本,利息理论应用,第二章-35,例：当原始贷款额为1 时，情形如何？ 解：每次还利息i ，并用 累积偿债基金，到期还本。,利息理论应用,第四章-35,联立上述方程可得：,注： 下面的关系式成立,利息理论应用,第二章-36,利息理论应用,第四章-36,分析：由于,从而有,以及,利息理论应用,第二章-37,利息理论应用,第四章-37,讨论： 1）当 时，有 2）当 时，有 3）当 时，有,分析：注意到,从而，只要原贷款利率大
15、于偿债基金累积利率，有偿债基金的标准期末年金的现值将会减少。,利息理论应用,第二章-38,利息理论应用,第二章-38,偿债基金下的利息本金分解注:原始贷款额为思考:若原始贷款额为1 呢?,利息理论应用,第二章-39,利息理论应用,第二章-39,一般情形: 原始贷款额为L ,分n 次还清每次还款额为还利息为 偿债基金累积为,利息理论应用,第二章-40,利息理论应用,第二章-40,2.偿债基金方式的收益率分析 问题的提出:在偿债基金方式下,出现了两个利率,i 和j ,这时的实际收益率该如何考虑呢?r 借款方实际的还贷利率 结论:有以下关系式成立或,利息理论应用,第二章-41,利息理论应用,第二章-
16、41,注：若偿债基金归贷款方，则上述收益率亦为贷款方实际的收益率，否则不然。 结论： 1 ）若 j i 2 ）若 j i 时 ，则有 r i 2 ）当 j i 时 ，有 可得 r i,利息理论应用,第二章-42,利息理论应用,第二章-42,注：可用 Excel 作实际贷款利率r 的数值计算,利息理论应用,第二章-43,利息理论应用,第二章-43,4 .偿债基金表,净利息,利息理论应用,第二章-44,利息理论应用,第二章-44,利息理论应用,第二章-45,利息理论应用,第二章-45,时刻t 的未结贷款余额为从而按照摊还的思路,时刻t 所还本金应为容易验证,利息理论应用,第二章-46,利息理论应用
17、,第二章-46,例:乙方向甲方提供1000 元的贷款,分四年还清。还贷方式：贷款年利率10% ，甲方每年除还利息外，还要以年利率8%累积偿债基金。同时,另有丙方也可以提供相同数额的贷款，只是还贷计算方式为摊还方式。试问丙的贷款利率为何值时，以上两种贷款对甲方来说是没有差异的？ 解：两种方式没有区别等价于两种方式下有相同的年还款额，若丙的贷款利率为i ，则应有,利息理论应用,第二章-47,利息理论应用,第二章-47,即求数值解可得 i = 10.94% 注：贷款人只关心贷款总额、每次还款额 注： 实际贷款利率 10.94%比8% 、10%都要高,利息理论应用,第二章-48,利息理论应用,第二章-
18、48,例：某人准备购买一个n 年期的年金（现值1000， 年利率8% ），这个年金的买价使其足以以年利率7%累积偿债基金，且最终的收益率为9% 。计算该年金的买价。 解：年金每年的给付金额为用P表示买价，S表示偿债基金的存款额，则有,利息理论应用,第二章-49,利息理论应用,第二章-49,由偿债基金的定义有从而关于 P的方程为解出注:由于实际利率大于 9%, 从而买价P1000,利息理论应用,第二章-50,利息理论应用,第二章-50,原贷款利率与偿债基金累积利率相同（i = j）当偿债基金的累积利率与原始贷款利率相同时，即 为一般的贷款问题 显然，当i = j时，有 结论： 1）1元贷款分n次
19、等额还清，年利率i，每次还款 则有如下的偿债基金分解,利息理论应用,第二章-51,利息理论应用,第二章-51,2 ）偿债基金法标准期末年金还款，年利率i ，共还了n年，每次还款1 元，则原始贷款额为 ，每次还贷中的利息部分为注：与时刻t 无关，这一点与摊还的利息计算不同， 每次为偿债基金提取的部分为,利息理论应用,第二章-52,利息理论应用,第二章-52,偿债基金法与摊还法的关系 偿债基金方法的每次付款额与摊还表方法的每次付款额是相等的 偿债基金方法的每次的净利息量 (付息量扣除偿债基金的利息收入) 与摊还表每次的付息量相等 偿债基金中每次的增量 (偿债基金的存款额加上偿债基金的利息) 等于摊
20、还表中的本金量 偿债基金方法每个时刻的净贷款量 (原始贷款量扣除偿债基金的余额) 等于该时刻的未结贷款余额,利息理论应用,第二章-53,利息理论应用,第二章-53,例：年利率8%的1000 元贷款偿债基金表,利息理论应用,第二章-54,利息理论应用,第二章-54,4.3 其它偿还方式分析,广义的摊还表和偿债基金表 关键：考虑摊还表或偿债基金表中的周期与利息换算周期不同的情形 广义摊还表用年金的符号表示，两种可能的基本方式分别为（每k 个计息期付款1 次）和 （每个计息期付款m次）代表的情形。,利息理论应用,第二章-55,贷款 的摊还表,利息理论应用,第二章-55,利息理论应用,第二章-56,利
21、息理论应用,第二章-57,贷款 的摊还表,利息理论应用,第二章-58,利息理论应用,第二章-59,例:某债务是按月摊还的，年实利率11%。如果第三次还款中本金量为1000 元，计算第33次还款中本金部分的金额。,利息理论应用,第二章-60,解：这里m=12，,记R为每月的还款额，则有：,由此可以解出,利息理论应用,第二章-61,广义偿债基金表三个时间周期:1) 贷款利息换算周期2) 偿债基金存款周期3) 偿债基金的利息换算周期偿债基金表以表现偿债基金的累积过程为主要 目的，以偿债基金的利息换算周期为时间间隔， 列出偿债基金每次利息换算时的还款金额、应付 利息、偿债基金存款额、偿债基金余额和未结
22、贷 款余额。,利息理论应用,第二章-62,例: 某人借款 2000 元，年利率10%两年内还清。借款人以偿债基金方式还款：每半年向偿债基金存款一次，而且存款利率为季挂牌利率8% 。试构造相应的偿债基金表。,解：贷款利率换算期为一年，偿债基金的存款周期为半年，偿债基金利率换算期为一个季度。所以应按照季度来构造偿债基金表。,利息理论应用,第二章-63,设偿债基金的存款额为D，则有,从而,偿债基金表构造如下：,利息理论应用,第二章-64,利息理论应用,第二章-65,利息理论应用,第二章-66,金额变化的摊还表和偿债基金表假定利息换算期和还款期相同,设原始贷款额为L，n 次还款金额为：R1，R2，Rn
23、，则有：,利息理论应用,第二章-67,1. 摊还表 递推公式为,在已知 L，n 和R1 ,R2 ,Rn的情况下，计算的顺序是Bt-1ItPt Bt ，逐步递推,利息理论应用,第二章-68,注:与等额还款不同，上述递推公式的计算结果可能 会出现负数，即还款额Rt不足以摊还该时间段的 利息，从而需要从贷款余额中再提取一部分资金 (-Pt ) 用于还利息。相应地，这个时刻的未结贷款余额(Bt )较前一个 时刻的未结贷款余额(Bt-1)将有所增加，增加的量 为-Pt。,利息理论应用,第二章-69,2.偿债基金表设偿债基金的利率为 j，每次的存款额为R-iL， 则有,即,其中,利息理论应用,第二章-70
24、,讨论：Rt -iL可能为负值，它表示还款不足以向偿债基金存款，反而要从未结贷款余额中提取一部分资金(iL-Rt)用于支付本次的利息。因此，在这种情况下，未结贷款余额的金额在增加，或者说借款方的负债在增加，而偿债基金的余额没有增加。思考：上述公式是否适合 Rt -iL 出现负值的情形?例：某人以年利率5%借款，分十年还清：第一年还200 元，随后每次减少10 元。计算： 1）借款总额； 2）第5次还款中本金与利息的金额；,利息理论应用,第二章-71,3) 如果贷款利率为6%，借款人能够以年利率5%累积偿债基金，计算当初的借款总额。 解：,利息理论应用,第二章-72,讨论：显然3)的结果与1)相
25、比对借款人不利，因为，借款利率提高了，而且偿债基金不能抵消这部分提高的利率。 思考：这里是否会出现利息不足支付的问题？,利息理论应用,第二章-73,例：甲方向乙方借款10000 元，分十次还清，每次 的还款金额以20%的比例递增。年利率10%。计算： 摊还表中前三年还款的本金部分之和。,解：记R1为首次还款金额，则有,即,利息理论应用,第二章-74,前三年的摊还计算 第一年底从而有第二年底:,利息理论应用,第二章-75,从而有第三年底从而有,利息理论应用,第二章-76,因此结论: 未结贷款余额增加了448.07 元。连续摊还计算（略）1. 的摊还计算当连续还款率为1，连续利率为常值 时，则对任
26、意时刻t ，对应的未结贷款余额为：,利息理论应用,第二章-77,（ 预期法） 或（追溯法）记 和 为 t 时刻的本金和利息偿还率，则有,利息理论应用,第二章-78,2. 一般情形的摊还计算时刻t 的还款函数用 表示，则有进而有或,利息理论应用,第二章-79,此时利息偿还率 仍为而本金偿还率 则为例：设 与 是两个常数连续利率，对应的年金现值函数分别记为 和证明：,利息理论应用,第二章-80,4.4 实例分析 贷款利率依余额变化 问题的提出：原始贷款额为L， 每次的等额还款为R。事先给定一个限额 （ 0 j ，鼓励多贷款；i j ，不鼓励多贷款。,利息理论应用,第二章-81,注 不是 “当未结贷
27、款余额 时，使用利率i ，而当未结贷款余额 时，使用利率 j ”而是“若未结贷款余额 ，则 部分用利率i，而 部分则用利率 j ”。关键：未结贷款余额随着时间的推移而逐渐减少（从L减为0），需要找到未结贷款余额小于或等于 的转折点时刻。 记m为转折点时刻，则m是满足以下条件的最早时刻：,利息理论应用,第二章-82,的递推表示：在时刻m ，用预测法求未结贷款余额有（时刻m 之后的利率为i）:而用追溯法求未结贷款余额有（时刻m 之前，小于 部分利率为 i ，超过 的部分利率为 j ):,利息理论应用,第二章-83,注 求解过程,利息理论应用,第二章-84,从而由 可得每次还款额为 转折时刻m的近似
28、计算可以通过利用下面的不等式由试验法来得到 注 即求最小正整数使得,利息理论应用,第二章-85,这是因为：,所以,利息理论应用,第二章-86,例：现有3000元贷款，计划在一年内逐月还清，当余额低于1000元时， 月利率1.5% ；当余额超过1000元时，超过部分的月利率 1%。计算月还款金额。 解： 先计算m: 满足上式的最小整数为 9，从而可得 R= 270.99 注：,利息理论应用,第二章-87,确定本金的偿还方式 原始贷款L，还款现金流 ， 如果本金的偿还方式给定： 若对利率水平 j ，有 则,利息理论应用,第二章-88,例：设贷款额为L，利率i，(borrower，借用人)还款现金流
29、 ，(lender，出借人)利息部分的税率 r。 证明在这种情况下，(lender)实际贷款利率为证明：(borrower)还款现金流为 ，而 (lender)得到的还款流的实际值为税前：对于利率i有,利息理论应用,第二章-89,其中 为本金偿还流，而 为利息偿还流。 税后： 本金偿还流 确定不变，而还款流变为 从而利息偿还流变为,利息理论应用,第二章-90,容易验证有关系式 成立，从而(lender) 实际贷款利率为 。注 关键是本金偿还现金流是确定不变的,利息理论应用,第二章-91,其它实例 例：已知甲乙双方的借款协议如下：最初甲向乙借款 L元，利率 12%；然后甲以金额 100、100
30、元、1000 元和 1000 元分四年偿还，同时乙同意甲每年只还利 息，到期还本金，甲以年利率 8%累积偿债基金。计 算L的可能值。 解：由偿债基金的定义，偿债基金的四次存款金额分别为100-0.12L，100-0.12L，1000-0.12L，1000-0.12 L,利息理论应用,第二章-92,从而有,由此解出,思考：上面的计算是否有问题？,利息理论应用,第二章-93,分析：上面的算法有问题，只要原始贷款，则前两年的还款金额不足以还当年的利息！ 重解：前两年不可能向偿债基金存钱，反而要从原贷款 中提取一部分来付利息。 记 表示真正的原始贷款金额,则有：,代表甲方在此时的贷款余额，从这个时刻开
31、始甲方才真正向偿债基金存款，后两年的偿债基金应该是为最终一次还清 而建立的,利息理论应用,第二章-94,即：,或,由此解出,即：按照双方商定的方式还贷款，甲最多可以从乙方借款 1495.96元(原始贷款)。,利息理论应用,第二章-95,例：九年前某家庭从银行得到为期二十年的八万元抵押贷款，年利率 8%，逐年还贷。第 9 次还款时，他们希望一次多付出五千元，然后将余额在今后九年内等额还清。 试对以下两种情况计算后九年的年还款额： 1）银行同意过去九年的利率不变，但是后九年的利率将提高为 9%； 2）银行坚持将该抵押贷款的利率提高到 9%。,利息理论应用,第二章-96,解：设R表示所求的年还款金额
32、 1）当前时刻 ( t =9 ) 的价值方程为 由此可以解出,利息理论应用,第二章-97,2） 当前时刻 ( t =9 ) 的价值方程为： 由此可以解出,利息理论应用,第二章-98,利息理论应用,第二章-99,例：甲方从乙方借款 20,000 元，年利率 3%， 二十年还清，每次还款由还本金和付利息两部分组成，还本部分金额固定（每次1000元）， 利息为原贷款额尚未偿还部分的当年利息。 第十年底，乙将后十年的贷款权益转卖给丙，双方商定的利率为：前五年 5%，后五年 4%。 计算乙丙双方的买卖价格。 注: 乙与丙的交易不影响甲的还款现金流,利息理论应用,第二章-100,解：流程图为,利息理论应用
33、,第二章-101,由题目已知 从而甲的还款流为：首次还款1600 元，然后每次减少 30 元。,利息理论应用,第二章-102,在第十年底依据乙与丙的交易，其后 10 次还款的现金流的现值为：,利息理论应用,第二章-103,例：某建筑承包商在购房者首期一次性支付房价 10%的基础上，提供以下融资方式：在随后的 5 年中每年底支付房价的 2%偿还本金，另外以月利率 0.5%按月计算余额的利息（按月偿还）。在第 5年底，这部分融资结束时，购房者应寻找其他的融资渠道（如银行），将余款付清，这时该承包商已支出成本 200,000 元。该建筑商以i (12) =15% 将购房者前 5 年的贷款转卖给某投资
34、者。 问：最初的房价为多少才可以保证该建筑商的净利润为 40,000元。,利息理论应用,第二章-104,补充：Makeham公式 假设原始贷款为L，贷款利率为 i，还款方式为共 n次。 如果以利率j将还款现金流专卖给第三者，则价格(现值) 应为：,利息理论应用,第二章-105,记依利率 j计算的n期后本金的现值为 则有Makeham公式 更一般的，设定期偿还部分本金、定期还利息，则可记 其中 表示在时刻 偿还的本金， 。,利息理论应用,第二章-106,假设现在以利率j将还款现金流转卖，则可以理解为：在 0时刻签发了m个贷款，每一个的还款现金流的定价均可以按照上面的 Makeham公式计算，即第 k个还款现金流的现值应为 从而总现值应为 其中 为各期偿付本金的现值和。,利息理论应用,第二章-107,解:,利息理论应用,第二章-108,建筑承包商的价值方程 ： 购房者首付款+与某投资者的交易款 = 成本+利润 已知建筑承包商的成本为 200,000 元，利润为40,000元，从而总收入应为 240,000元。 设最初的房价为P， 则购房者的首付款为 0.1 P，相 应的建筑商与某投资者的交易可得收入为 其中,利息理论应用,第二章-109,(转卖的年利率) 由此可以解出,
