1、 1第一章 集与集类 nR中的点集 集与集的运算是测度与积分理论的基础. 本章先介绍集论的一些基本内容, 包括集与集的运算, 可数集和基数, 一些具有某些运算封闭性的集类如环与代数等. 然后介绍nR中的一些常见的点集. 1.1 集与集的运算 教学目的 集合论是本课程的基础. 本节将引入集的概念与集的运算, 使学生掌握集和集的运算的基本概念. 本节要点 De Morgan公式是以后常用的公式. 证明两个集的相等是经常要遇到论证, 应通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一种新型的极限, 学生应注意理解其概念. 集是数学的基本概念之一. 它不能用其它更基本的数学概念严格定义之, 只能给予一种描
2、述性的说明. 集的定义 以某种方式给定的一些事物的全体称为一个集(或集合). 例如, 数学分析中的实数集, 有理数集, 函数的定义域和值域, 满足某些给定条件的数列或函数的全体所成的集等都是常用的集. 几何学中的曲线和曲面都可以看成是由平面或空间的点所构成的集. 一般用大写字母如A, B, C等表示集, 用小写字母如a, b ,c等表示集的元素. 若a是集A的元素, 则用记号Aa表示(读作a属于A). 若a不是集A的元素, 则用记号Aa表示(读作a不属于A). 不含任何元素的集称为空集, 用符号表示. 约定分别用1R , Q , N和Z表示实数集, 有理数集, 自然数集和整数集. 集的表示方法
3、 第一种方法: 列举法, 即列出给定集的全部元素. 例如 .,12,5,3,1.,nullnull =nBcbaA第二种方法: 描述法. 当集A是由具有某种性质P的元素的全体所构成时, 用下面的方式表示集A: 2.: PxxA具有性质= 例如, 设f是定义在1R上的实值函数, 则f的零点所成的集A可表示成 .0)(: = xfxA 集的相等与包含 设A和B是两个集. 如果A和B具有完全相同的元素, 则称A与B相等, 记为A=B. 如果A的元素都是B的元素, 则称A是B的子集, 记为BA (读作A包含与B), 或AB (读作B包含A). 若BA 并且,BA 则称A为B的真子集. 按照这个定义,
4、空集是任何集的子集. 由定义知道当且仅当BA = BA 并且.AB 集的运算 并运算与交运算 设A和B是两个集. 由A和B的所有元素所构成的集称为A与B的并集, 简称为并(图11), 记为.BA 即 .: BxAxxBA =或者 由同时属于A和B的元素所构成的集称为A与B的交集, 简称为交(图12), 记为.BA 即 .: BxAxxBA =并且 若,= BA 则称A与B不相交.此时称BA为A与B的不相交并 图11 图12 设T是一非空集(T 可以是有限集或无限集), TttA是一族集. 这一族集的并集和交集分别定义为 TtttAxTtxA= ,:使得存在某个 TtttAxTtxA= .,:个
5、对每 当T=N为自然数集时, NnnA和NnnA分别记成=1nnA和,1=nnA 分别称为nA的可数并BABBBAAA3和可数交. 并与交的运算性质 (1) ., AAAAAA = (幂等性) (2) ., = AAA (3) ., ABBAABBA = (交换律) (4) ),()( CBACBA = ).()( CBACBA = (结合律) (5) ),.()()( CABACBA = ).()()( CABACBA = (分配率). 分配律可以推广到任意多个集的并与交的情形: ( )TtTtttBABA= ,)( TtTtttBABA= ).()( 差运算与余运算 设A和B是两个集. 由
6、A中的不属于B的那些元素所构成的集称为A与B的差集(图13), 记为BA或AB. 即 .: BxAxxBA =并且 通常我们所讨论的集都是某一固定集X的子集, X称为全空间. 我们称全空间X与子集A的差集AX 为A的余集(图14), 记为CA . 设A和B是两个集. 称集)()( ABBA 为A与B的对称差集, 记为.BA 图13 图14 容易知道关于差运算和余运算成立以下性质: .)8(.,)7(.,)6(CCCCCBABAXXAAXAA=ABBAACAX4关于余运算还成立下面重要的运算法则. 定理1 (De Morgan公式)设TttA)(是一族集. 则 TtCtCTttAA=)().i(
7、 (并的余集等于余集的交), )ii(TtCtCTttAA=)( (交的余集等于余集的并). 证明 ).i(设,)(CTttAx 则.TttAx 故对任意,Tt .tAx 即对任意,Tt .ctAx 因此.TtctAx这表明.)(TtctCTttAA上述推理可以反过来, 即从TtctAx可以推出.)(CTttAx 这表明.)(CTttTtctAA 因此)i(成立. 类似地可以证明).ii( 定理1的证明过程是证明两个集相等的典型方法. 例1 设nf是定义在集X上的一列实值函数. 令.0)(lim: =xfxAnn.1)(:11=p为一自然数, na是一个数列, 其中na只取1,1,0 pnul
8、l为值. 则级数 nullnull +nnpapapa2211(1) 收敛, 并且其和.1,0x 我们可以把级数(2)的和记为 021nullnullnaaax = (2) 称上式的右边为p进制小数. 在p进制小数(2)中, 若有无穷个,0na 则称之为无限p进制小数, 否则称之为有限p进制小数. 这样, 一个无限p进制小数表示区间1,0(中的一个实数. 引理10无限p进制小数与区间1,0(中的实数一一对应. 证明 以2=p为例. 一般情形是类似的. 上面我们已经知道, 一个无限二进制小数表示区间1,0(中的一个实数. 反过来, 设.1,0(x 则存在01=k或1, 使得 ,21211+= n
9、ull 再令.1=nnBB 则B是可数个有限集的并. 由定理4, B是可数集. 作映射,: EBAf 使得 0),(2121nullnull aaaaf = 则f是一一的到上的, 故BA .E 因此.cEBA = 由定理8知道, .cBAA = ).ii(设.,21nullnullnxxxX =作)(XP到二元数列的集A的映射 ,使得 ),()(21nullaaC = C ).(XP 其中 =.0,1CxCxannn若若则是一一的到上的. 故)(XP A , 因此.)( cAX =P 注1 从定理11的证明过程知道, 集 0,10:),(21=iiaaaaA并且有无限多个或null 17也具有
10、连续基数.c 这个结果在后面1.4例1中会用到. 若A是一个有限集, 其元素的个数为.n 容易知道A有n2个子集. 用基数表示就是.2)(AA =P 由于这个原因, 对一个有限集或无限集A , 若,aA = 则用a2表示)(XP的基数. 这样, 定理11 )ii(的结论可表示成.2 c=小 结 本节利用一一对应的思想, 给出了集的基数和可数集的定义. 集的基数是有限集元素的个数在无限集的推广. 可数集是具有最小基数的无限集. 可数集经过有限或可数并运算后仍是可数集. 有理数集是一个重要的可数集. 直线上的区间是典型的不可数集. 证明一个给定的集是可数集或不可数集是应当掌握的基本技巧. 习 题
11、见习题一,第10题第17题. 24 1.4 nR中的点集 教学目的 欧氏空间nR上的测度与积分是本课程的主要研究对象.本节讨论欧氏空间上的若干拓扑概念.通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集,闭集和Borel集,Cantor集等常见的集,为后面的学习打下基础. 本节要点 由nR上的距离给出邻域,内点,聚点的定义,从而给出开集, 闭集的定义.由开集生成一个 -代数引入Borel集.Cantor集是一个重要的集, 它有一些很特别的性质. 应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用.充分利用几何图形的直观,可以帮助理解本节的内容. 本书在一般测度空间的框架下展开测度与积分的理论. 但nR上的
12、Lebesgue测度与Lebesgue积分仍是最重要的情形. 这不仅是因为nR上的Lebesgue积分具有广泛的应用, 而且因为nR上的情形能给我们直观的图形和丰富的实例. 本节将讨论n维欧式空间中的一些常见的点集. 用nR表示n维欧式空间, 即 nR = .,:),(111R=nnxxxxx nullnull 对任意= ),(1 nxxx null ,nR 令 ().21221 nxxx null+= 称x为x的范数. 注意若x ,1R 则x就是x的绝对值. 设),(1 nxxx null=和),(1 nyyy null=是nR中的任意两点. 定义这两点之间的距离为.),( yxyxd =
13、即 .)(),(2112=niiiyxyxd 设kx是nR中的一个点列, x .nR 若,0),(lim =xxdkk则称kx收敛于,x 记为,lim xxkk=或).(, kxxk邻域, 内点与开集 定义1 设0x ,nR .nA R (1).设.0称nR的子集=),(0xU ),(:00, 则容易证明0x的邻域r ),(0rxU是nR中的开集. 因此),(0rxU又称为以0x为中心, 以r为半径的开球. 定理2 (开集的基本性质)开集具有如下的性质: ).i(空集和全空间nR是开集. ).ii(任意个开集的并集是开集. ).iii(有限个开集的交集是开集. 证明 )i(是显然的. 往证).
14、ii( 设, TtAt是X中的任意一族开集. 任取TttAx . 则存在,0Tt 使得.0tAx 因为0tA是开集, 故存在x的一个邻域),(0xU 使得.),(00 tAxU 于是更加有.),(0 TttAxU 这表明x是TttA的内点. 这就证明了TttA中的每个点都是其内点. 因此TttA是开集. 现在证明).iii( 设nAA ,1null是开集. 任取x .1niiA=则对每个.,1iAxni =有null 因为iA是开集, 故存在,0i 使得.),(iiiAxU 令.,min1 n null= 则0并且0x1xA26.),(1niiAxU= 因此x是niiA1=的内点. 这就证明了
15、niiA1=是开集. 注意, 任意个开集的交集不一定是开集. 例如, 设.1),1,1( = nnnAn则每个nA都是1R中的开集. 但01=nnA不是开集. 聚点与闭集 定义3 设A是nR的子集. (1). 设0xnR . 若对任意,0 ),(0xU中包含有A中的无限多个点, 则称0x为A的一个聚点(图41中的1x ). (2). 由A的聚点的的全体所成的集称为A的导集, 记为.A (3). 若,AA 则称A为闭集. (4). 集AA 称为A的闭包, 记为.A 例如, 每个有界或无穷闭区间),(, + aaba都是直线1R上的闭集. 若0xnR , r0, 则容易证明集 ),(0rxS =
16、),(:0rxxdx 是nR中的闭集, 称之为以0x为中心, 以r为半径的闭球. 又显然有理数Q的导集Q=1R , Q的闭包Q =1R . 定理4 设AnR . 则A为闭集当且仅当cA为开集. 证明 必要性. 设A为闭集. 则对任意,0cAx 0x不是A的聚点. 因此存在0x的一个邻域),(10xU , 使得),(10xU中至多只包含A中有限个点. 设这些点为.,1 kxx null 因为,0Ax 故.,1,0kixxinull= 令,1),(min0kixxdinull= 则.0 由的取法知道= AxU ),(0 , 即),(0xUcA . 因此0x是cA的内点. 所以cA是开集. 充分性.
17、 设cA为开集. 则对任意,0cAx 存在0x的一个邻域),(0xU 使得cAxU ),(0 . 即),(0xU中没有A中的点, 因此0x不是A的聚点. 这表明A的聚点全部在A中, 即.AA 因此A为闭集. 由定理.2和定理4并利用De Morgan公式, 立即可以得到闭集的基本性质如下. 定理5 闭集具有如下性质: ).i(空集和全空间nR是闭集. 27).ii(任意个闭集的交集是闭集. ).iii(有限个闭集的并集是闭集. 下面的两个定理用序列的语言, 给出了A和A中的点的特征以及集A为闭集的等价条件. 定理6 设AnR . 则有 ).i( Ax 当且仅当存在A中的点列,kx 使得,xxk
18、 .xxk ).ii( Ax当且仅当存在A中的点列,kx 使得.xxk 证明 ).i(设.Ax 则由聚点的定义, 对任意,1k )1,(0kxU中包含有A中的无限多个点. 于是集AxkxU )1,(不空. 在其中任取一点记为,kx 则kx是A中的点列, 并且,xxk .xxk 反过来, 设存在A中的点列,kx 使得,xxk .xxk 则对任意,0 存在,0N 使得当Nk 时, ).,( xUxk 若, Nkxk中只有有限项彼此不相等, 则存在一个自然数0k和kx的一个子列,nkx 使得).1(0= nxxkkn但,0xxk 这与xxk矛盾! 因此, Nkxk中必有无穷多项是彼此不同的点. 这表
19、明),( xU中包含有A中的无限多个点. 因此.Ax ).ii(设.Ax 则Ax或者.Ax 若,Ax 令,1, = kxxk即知结论成立. 若,Ax 则由)i(知道存在A中的点列,kx 使得.xxk 反过来, 设存在A中的点列,kx 使得.xxk 若,xxk ,1k 则由)i(知道.Ax 否则.Ax 在两种情况下, 均有.Ax 定理7 设AnR . 则A是闭集当且仅当A中的任意收敛点列的极限必属于.A 证明 必要性. 设A是闭集. 若kx是A中的点列, ,xxk 则由定理6知道.Ax 由于A是闭集, 故.AA = 因此Ax . 充分性. 设.Ax 由定理6, 存在A中的点列,kx 使得.xxk
20、 由假定条件, 此时必有Ax . 这表明.AA 因此A是闭集. 定义8 设A和B是nR的子集. 若,BA 则称A在B中稠密. 特别地, 若=A ,nR 则称A是nR的稠密子集. 若,)( =nullA 则称A为疏集或无处稠密集. 例如, 由于Q =1R , 因此有理数集是1R的稠密子集. 由于,=nullZ 因此整数集Z是疏集. 28定理9 设A是nR的子集. 则以下几项等价: ).i( A是nR的稠密子集. ).ii( 对任意xnR和,0 .),( xUA ).iii(对任意x ,nR 存在A中的点列kx使得.xxk 定理9的证明留作习题. 设A .nR 若存一个闭球),0( rS 使得),
21、0( rSA 则称A是有界的. 设kx是nR中的一个点列. 若存一个闭球),0( rS 使得,1),0( krSxk则称kx是有界点列. 定理10 nR中的每个有界点列存在收敛子列. 证明 设kx是nR中的有界点列. 设.1,)()(1= kxxxknkknull 则)(1kx是有界数列. 由数学分析中熟知的Weierstrass致密性定理, 存在)(1kx的一个子列)(11ikx使得.1)(11xxik 同理, 存在1ik的一个子列2 ik使得.2)(22xxik 这样一直下去, 最后, 存在,1 ink的子列ink使得.)(nknxxin 记.inikk =则对每个,1 nj null=
22、有jkjxxi)().( ik 令).,(1 nxxx null= 我们有 ,0)(),(2112)(=njjkjkxxxxdii).( ik 因此若,xxik ).( ik 思考题 1.开区间)1,0(在2R中是不是开集? 2.若将nR两个点),(1 nxxx null=和),(1 nyyy null=距离的定义改为 ).,max(),(11 nnyxyxyxd = null 按照本节类似的方法定义邻域, 内点, 聚点, 开集和闭集等.所得结果与本节原来的定义有和异同? 有界闭集上的连续函数 在数学分析课程中, 我们已经熟悉直线上的区间上或nR中的区域上的连续函数. 类似可以定义在nR的任意
23、子集E上的连续函数. 定义11 设EnR , )(xf是定义在E上的实值函数. 又设Ex 0. 若对任意0 , 存在相应的0 , 使得当Ex并且 存在,0 使得对任意, Kxx 当 , 使得Aaa + ),( . 这与a的定义矛盾. 所以Aa . 类似可证Ab . bcd1d1c),(),( dcbaA =a30).ii( 设),(11ba和),(22ba是A的两个不同的构成区间. 若),(11ba和),(22ba相交, 则必有一个区间的端点包含在另一个区间中. 例如).,(112baa 但,2Aa 这与Aba ),(11矛盾. 所以),(11ba和),(22ba不相交. 这表明不同的构成区间
24、互不相交. 在A的每个构成区间中选取一个有理数, 则A的构成区间的全体与有理数的一个子集一一对应. 所以A的构成区间只有有限个或可数个. 于是A的构成区间的全体可以编号为),(iiba ni ,1null=或.,2,1 null=i ).iii( 我们有iiibaA ).,(= 事实上,由于每个,),( Abaii 因此iiiAba .),( 另一方面, 由),i( 对每个Ax , 存在一个构成区间),(iiba 使得x ).,(iiba 因此xiiiba ),( 所以iiibaA ).,( 这就证明iiibaA ).,(= Borel集 开集和闭集是nR中的常见的集. 但nR中有一些常见的集
25、, 它们既不是开集, 也不是闭集. 例如, 可数个开集的交不一定是开集, 可数个闭集的并不一定是闭集. 下面我们要考虑的Borel集就包含了这类集, 并且Borel集类对一切有限或可数并、交、余和差运算都封闭. 定义13 由nR中开集的全体所生成的代数称为nR中的Borel -代数(或Borel集类), 记为.)(nRB )(nRB中的集称为Borel集. 设),(1 naaa null= nR , ),(1 nbbb null= nR , .,1, nibaiinull= 称nR的子集 ,1,:),(),(),(111nibxaxxbabaiiinnnnullnullnull = 为nR中的
26、开方体, 记为).,( ba 类似可定义nR中的其它类型的方体. 在直线1R和平面2R中方体分别就是区间和矩形. 定理14 nR中所有的开集, 闭集, 有限集或可数集, 各种类型的方体都是Borel集. 证明 由定义即知开集是Borel集. 由于Borel集类对余运算封闭, 而闭集是开集的余集, 故闭集是Borel集. 因为单点集a是闭集, 所以单点集是Borel集. 由于有限集或可数集可以表示成单点集的有限并或可数并, 而Borel集类对有限并或可数并封闭, 所以有限集或可数集是Borel集. 由于开方体是开集, 闭方体是闭集, 因此开方体和闭方体是Borel集. 往证半开半闭方体是Borel集. 为简单计, 不妨只考虑直线上的情形. 由于等式=+=1)1,(,(nnbaba和Borel集类对可数交运算的封闭性, 即知半开半闭区间,( ba是Borel集. 类似可证明其它类型的半开半闭区间都是Borel集.
