1、东北育才学校 2015 届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题第卷(共 60 分)一选择题:本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合 ，且 ，则集合 可能是 0|xABAA. B. C. D.2,11|1,0R2.已知 ，则下列结论错误的是abA. B. C. D.22ab2ba2lgab3.若不等式 对一切实数 都成立，则 的取值范围为 083kxxkA. B. C. D. )0,(,0,30,3(4.规定 ，若 ，则函数 的值域2ababR 、 14)fxkA. B C D(2,),1(7,)87,45.设命题 函数 在定义
2、域上为减函数；命题 ,(0)ab,当 1ab时, 3，:pxy:q以下说法正确的是A. 为真 B. 为真 C. 真 假 D. ， 均假qpqppq6.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的 函数是A Bxf2ln1fxxC Dxe|4|3|)(7.函数 为偶函数，且 上单调递减，则)(fy,0)2(xfy的一个单调递增区间为 A. B. C. D.0,),2,8.下列命题正确的个数是“在三角形 中，若 ,则 ”的否命题是真命题；ABCsiniAB命题 或 ，命题 则 是 的必要不充分条件；:2px3y:5qxypq“ ”的否定是“ ”.3,10R01,23xRA.0 B.1 C.2
3、 D.3 9已知函数 若 互不相等，且 ，则2014sin()(),logxfcba、 )()(cfbaf的取值范围是cbaA （1，2014） B （1，2015） C （2，2015） D2，201510.下列四个图中,函数 的图象可能是 0lnxy11.设函数 , .若实数 满足 , ，则2)(xef 3ln)(2xgba,0)(f)(bgA B 0bfag)(0gbfC D)()(12.已知定义的 R上的偶函数 在 上是增函数，不等式fx,)2()1(xfaf对任意 恒成立，则实数 的取值范围是1,2xaA. B. C. D.3,05,12,二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5
4、分，共 20 分13.设 ,函数 ,则 的值等于 2cosa,()log0xaf2()log)46ff14.实数 满足 若目标函数 的最大值为 4，则实数 的值为yx,0)1(ayxza.15.已 知 ， 则 满 足 不 等 式 的 实 数 的 最 小 值lgba122ba是 . 16.定义在 上的函数 满足 ，当 , ，则函数R)(xf 6)5()xf 4(xxf2)(的在 上的零点个数是 )(xf2014,三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （本小题满分 10分）已知幂函数 在 上单调递增，函数 24()1)mfxx(0,)()2xg
5、k（）求 的值；m（）当 时，记 ， 的值域分别为集合 ，若 ，求实数 的取,2(fg,ABA值范围.18 （本小题满分 12分）已知向量 1(cos,)(3sin,co2),2xxabR, 设函数 ()fxab. () 求 的单调递增区间； )f() 求 在 0,2上的最大值和最小值.(x20.（本小题满分 12分）已知函数 22211xfxaxae(其中 ).Ra（）若 0为 的极值点,求 的值；() 在()的条件下,解不等式 21fxx.21.（本小题满分 12分）已知 ，函数 .设 ，记曲线 在点0aaxf2)( ),(21a)(xfy处的切线为 ， 与 轴的交点是 ， 为坐标原点.)
6、(,1xfMl 0xNO（）证明： ；a12（）若对于任意的 ，都有 成立，求 的取值范围.),(x169aM22.（本小题满分 12分）已知函数 ， 且 232()ln()xfaRa0（）讨论函数 的单调性；（）当 时，若 ，证明: .0a221x221()fxfa东北育才学校高中部 2015 届高三第一次模拟数学试题（理科）答案18. () ()fxab= )62sin(co21sin32co1sin3co xxxx .4 分当 时，解得 ，262kk 36kk的单调递增区间为 . 8 分)sin()xf )(,Z() 上 的 图 像 知 ，在， 由 标 准 函 数时 ，当 65,-sin
7、5,-,0 xy . 1,2)(,6)2sin() ffxf. 所以, f (x) 在 0,上的最大值和最小值分别为 ,. 12 分19.解:()命题 为真,即 的定义域是 ,等价于 恒成立, p)(xfR01)()1(2xa等价于 或 1a.0)1(4)(,022a解得 或 .实数 的取值范围为 , , 4 分1a35a(35(1)命题 为真,即 的值域是 , 等价于 的值域 , q)(xfR1)2xau )0(等价于 或 1a.0)1(4)(,022a解得 .实数 的取值范围为 , 8 分3535()由()()知, : ; : . p,1(aq,1a而 , 是 的必要而不充分的条件 12
8、分35,1,(20. ()因为 222 xfxxe22111x x xfaeaaaae 因为 0x为 f的极值点,所以由 0fe,解得 0检验,当 时, xe,当 时, x,当 时, fx.所以 为 f的极值点,故 a. 4分() 当 0a时,不等式 21fxx211xex,整理得 210xe,即 210xe或 21xe令 2xg, 1xhge, 1xhe,当 0时, 10xhe；当 x时, 0x,所以 x在 ,单调递减 ,在 ()单调递增,所以 ,即 0gx,所以 g在 R上单调递增,而 g；故 210xex； 210xex,所以原不等式的解集为 01x或 . 12 分(21. )解：曲线
9、在点 处的切线 的方程为)(fy)(,xfMl2()111axfy令 ，得 4分0x12() 在 上恒成立69aONM 0169823ax)2,(ax设 ， )(xf 2318xf83)(2令 ，解得 ，0f 3a0)(,xfax,2183(f当 时， 取极大值83ax)(xf10当 ,即 时， ，满足题设要求；2238)2()(3maxaF20当 ，即 ， ，8a0 23ax 169)(4a若 ，解得 .)(maxf 3综上，实数 的取值范围为 . 12 分2a22.解：（1）由题，32()fx23()xax. 2 分2()xa令 ，因为 故 .0f20xa2()0xa当 时，因 且 所以上
10、不等式的解为 ,2 2()a从而此时函数 在 上单调递增. 4 分()f2,)当 时，因 所以上不等式的解为 ，0aa2(,)从而此时函数 在 上单调递增.()fx2,)a同理此时 在 上单调递减. 6 分 （2） （方法一）要证原不等式成立，只须证明 ，22121()()afxfx只须证明 .21()()aafxxf因为 所以原不等式只须证明，212a函数 在 内单调递减. 8 分()()hf2(,)由（1）知 ，232()()axxa4322ax因为 ， 20a我们考察函数 , .4322()g2,xa因 ，222ax对 称 轴 ,所以 . 10 分2()0gxa从而知 在 上恒成立，h2(,)a所以函数 在 内单调递减.()xfx2(,)a从而原命题成立 12 分（方法二）要证原不等式成立，只须证明 ，22121()()afxfx只须证明 .21()aafxx又 ，212a设 ，fg则 欲 证 原 不 等 式 只 须 证 明 函 数 在 内 单 调 递 减xaxfg22,a8 分由（1）可知 axfg2 ax23.aaxax2232因为 ，所以 在 上为增函数，0232xy2,a所以 .3222220gxaa a从而知 在 上恒成立，0(,)所以函数 在 内单调递减.xxf22(,)a从而原命题成立. 12 分
