1、河南省开封市兰考三高 2015 届高三上学期第二次月考数学（文）试题说明： 1、本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）满分 150 分，考试时间 120分钟2、将第卷的答案代表字母填（涂）在第卷的答题表（答题卡）中第卷 （选择题，共 60 分）一、单项选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1、计算： 等于( )21)iA B C Dii1i2、已知函数 ， 的图象与直线xfyba,2x的交点的个数为（ ） A 1 B 0 C 1 或 0 D 1 或 23、已知等差数列 中， ,6497a，na则 12a的值是 （ ）A15
2、 B30 C31 D644、执行如图所示的程序框图，输出的 S值为 （ ）A3 B C10 D6155、 如图，已知某个几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，可得这个几何体的体积是( )A B340cm340cmC D286、已知 )1(log)3()xaxf 是 ),(上的增函数，那么 a 的取值范围是 ( )A B C D(1,0,),3,3)27、在 中，角 所对的边长分别为 ，若 ，则C、 、 abc、 、 10,2Cca第 4 题图2020正视图 20侧视图101020俯视图 第 5 题图（ ）A B C Dabababab与 的 大 小 关 系 不 能 确 定8、
3、若 为不等式组0,2xy表示的平面区域，则当 从 连续变化到 1 时，动直线2xya扫过 中的那部分区域的面积为 ( )A1 B 3 C 34D749、在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C， 现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC、CB 的长，则该矩形面积大于 20cm2 的概率为（ ）A 16B 13C 23D 510、若点 是 的外心，且 ，则 的内角 为( )OC 0OABAB CA B C D 26或 23或11、从抛物线 上一点 引抛物线准线的垂线，垂足为 ，且 设抛物24yxPM|5P线的焦点为 ，则 的面积为（ ）FMA6 B8 C10 D1512、 设 是等比数列，公比
4、 ， 为 的前 项和记na2qnSa，设 为数列 的最大项，则 =（ ）*217,nSTN0nT0nA3 B4 C5 D6第卷 （非选择题，共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题-第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-24 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13、 下面四个命题：函数 log(1)(01)ayxa且 的图象必经过定点（0,1） ；已知命题 p： ，则 p： ；,sinR00,sin1xR过点 (,2)且与直线 34xy垂直的直线方程为 32xy；圆 与圆 相切4xy22()(1)9其中所有
5、正确命题的序号是：_ MOQP第 14 题图14、如图，已知两个同心圆的半径分别为 1、2 ， 是大圆的割线，PQ它与小圆距 P最近的公共点是 ，则 OM的取值范围是_15、 数列 满足 ,则 的前 4 项和为 na1()nnana16、定义行列式运算： ，将函数 向左324132 3sin()(0)1coxfx平移 个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则 的最小值是_56三、解答题：本大题共 6 个小题，17-21 题每题 12 分，选做题 10 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17、 （本小题满分 12 分）观察以下各等式： 2222 3sin30cos6in0cos6,455
6、,3sin1cos4in1cos.4分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明18、 （本小题满分 12 分）2012 年 3 月 2 日，国家环保部发布了新修订的环境空气质量标准 其中规定：居民区的 PM2.5 年平均浓度不得超过 35 微克/ 立方米，PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过75 微克 /立方米 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年 20 天 PM2.5 的 24 小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：组别PM2.5 浓度（微克/立方米）频数（天） 频率第一组 (0,25 5 0.25第二组 (25,50 10 0.5第三组 (50,75
7、3 0.15第四组 (75,100) 2 0.1()从样本中 PM2.5 的 24 小时平均浓度超过 50 微克/立方米的 5 天中，随机抽取 2天，求恰好有一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度超过 75 微克/ 立方米的概率；（）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从 PM2.5 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由19、 （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 中， 底面 ， ，点 在线段 上，PABCDABCDEAD且 /CE（）求证： ；平 面（）若 ， ，13 2C， ，求四棱锥 的体积45DAPABCD20、 （本题满分 12 分）平面内一动点 到两定点
8、 的距离之积等于 2(,)Pxy1(,0)(,F()求 周长的最小值；12F（）求动点 的轨迹 方程，用 形式表示；(,)xyC2()yfx（III）类似教材（椭圆的性质、双曲线的性质、抛物线的性质）中研究曲线的方法请你研究轨迹 的性质，请直接写出答案C21、 （本小题满分 12 分）设函数 xbaxf 23)(),(Ra()若 ，求曲线 在点 处的切线方程；0,1bafy1(,f（）若 ，不等式 对任意 恒成立，求整数)ln1(xkx),(的最大值kCEA DPB请考生在第 22、23 、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22、 （本小题满分 10 分
9、）选修 4-1：几何证明选讲如图， 是圆 外一点， 为切线， 为切点，割线 经过圆心 ，若POPDPEFO， ，求线段 的长度12F3E23、 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为 ，以1Ccos(0,)inxaby为 参 数为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 是圆心在极轴上且经过极点的圆，Ox 2C已知曲线 上的点 对应的参数 ，射线 与曲线 交于点 1C(2,3)M=342()4D，()求曲线 , 的方程；1（） 是曲线 上的两点，求 的值 12(,)(,)AB1C2124、 （本小题满分 10 分）选修 4-5 ：不等式选
10、讲设函数 ()|1|fxxa()若 ,a解不等式 ()3f；FEOD（）如果 xR, ()2f,求 a的取值范围参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C A C D D A D C B C B二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 14. 15. 10 16 1 2,1三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17、解：上述各式的共同特点，反映一般规律的等式是：22 3sincos(30)sinco(0)4 下面给出证明： 22 2i()i()1cscs
11、631sincosin)21o2(o2)s41cscs)43. 18、 解： () 设 PM2.5 的 24 小时平均浓度在(50,75内的三天记为 123,A，PM2.5 的 24小时平均浓度在(75,100)内的两天记为 12,B所以 5 天任取 2 天的情况有：12A， 3， 1B， 2A， 3， 21， 2A， 31B， 2共 10 种 4 分其中符合条件的有： 1， 2， 1B， 2， 31， 2共 6 种 6 分所以所求的概率 63105P 8 分（）将去年该居民区 20 天的数据作为样本估计总体，则去年 PM2.5 年平均浓度为：12.537.62.0187.540（微克/立方米
12、） 10 分因为 4035，所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进 12 分19.【 解】因为 ，PABCD平，所以 CEB平 E因为 ， ，所以 /A又 ，所以 DP平（）由（） ， ，在 中，CARtCD， ，sin2sin451CEcos451E又因为 ，则 ，又 ， ，1B/BA所以四边形 为矩形四边形 为梯形E因为 ，所以 ，3AD2A，1532BCS156PADABCVP于是四棱锥 的体积为 20解 : () 2211 PFF当且仅当 ,02时等式成立 所以， 1P周长的最小值 （） 2, 212yxyx 化简 22 （III）性质
13、：对称性： 关于原点对称 关于 x轴对称关于 y轴对称 顶点： 1,0， 0,3 x的范围： CEA DPBy的范围： 1y 21解：（）当 时， 所以 ， 即切点,0ab32()fx(1)2f为 (1,2)P因为 所以 36fx (1)36f所以切线方程为 即yx1yx（） ，22()fxab由于 ，所以 ，所以 在 R 上递增0b3636()0ab()fx所以 ，不等式对 恒成立1ln1ln1ln()(kxkxff kx1,构造 ，则 lh22(2l)(ln)l) ()xh构造 ， ，则 ()ln2gx(1,x1()gx对 ，所以 在 递增，1,()0ln2(,)(3)l,4lng所以 ，
14、000)(2xxx所以 0(1,),()1,h在 上 递 减 ；所以0+)(+xgxx在 上 递 增 ；，结合 ，得到0min0ln)(1h00()ln2gx，in0)(3,4)xx所以 对于 恒成立等价 ，所以 ，(1lkmin()khx3k所以整数 的最大值为 3.22 （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲解：连接 ，由于 为切线， 为切点， 为圆心，所以 ODPDODP由切割线定理知： ，从而 ，5 分2EF24PF所以 ，又 ，在 中，易4EF8RtFEODP知 ，故 为等边三角形，所以 10 分60EODEO4.DE23 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数
15、方程解：(1)将 及对应的参数 代入 得： (2,3)M=3cosinxayb4,2b曲线 C1 的方程为: （ 为参数）或 4cos2inxy216y设圆 C2 的半径 R，则圆 C2 的方程为： ，将点22cos()Rxr或代入得：(D， ）4,1rr圆 C2 的方程为： 5 分22cos()xy或(2)曲线 C1 的极坐标方程为：2sin1164将 代入得：12(,)(,)AB222211cosicosin, 164 10 分22221cosini5646424(本小题满分 l0 分)选修 45：不等式选讲【解析】 （1）当 a时， ()|1|fxx，由 ()3fx得：|3x，（法一）由绝对值的几何意义知不等式的解集为 |2xx或 （法二）不等式可化为123x或123或 3x，不等式的解集为 |或 -5 分（2）若 1a， ()2|1|fx，不满足题设条件；若 ，,()()21,afx， (fx的最小值为 1a； 2,1.a若 1a，21,()(),xaf， (fx的最小值为 1a 2,3.a从而 a 的取值范围 (,3,)法二：由绝对值不等式知 ，所以|1|1|xa因为 xR, ()2f,min(|1|)|1|xa所以 ，即|221a或从而 a 的取值范围 (,3,)
