1、2017-2018 学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1已知集合 A=1，3，6，B=1，2，则 AB= 2函数 y=sin2x 的最小正周期是 3设幂函数 y=x 的图象经过点 ，则 的值为 4在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a=2， ， ，则 A= 5命题“ xR ，使 x2ax+10”是真命题，则 a 的取值范围是 6在等差数列a n中，若 ，则数列a n的前 6 项的和 S6= 7设向量 ， ， ，若 ，则 x+y= 8若函数 f（x）=x 2+（a+3）x
2、+lnx 在区间（1，2）上存在唯一的极值点，则实数 a 的取值范围为 9设菱形 ABCD 的对角线 AC 的长为 4，则 = 10设函数 f（x）=Asin（x+） （其中 A， 为常数且 A0，0， ）的部分图象如图所示，若 （ ） ，则 的值为 11设函数 f（x）是以 4 为周期的奇函数，当 x1，0）时，f（x）=2 x，则 f（log 220）= 12设函数 f（x）=|xa|+ （aR） ，若当 x（0，+）时，不等式 f（x）4 恒成立，则的取值范围是 13在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A= ，a=4 ，角 A 的平分线交边 BC 于点 D，其中
3、 AD=3 ，则 SABC = 14设数列a n共有 4 项，满足 a1a 2a 3a 40，若对任意的 i，j（1ij4，且 i，jN *） ，aia j仍是数列a n中的某一项现有下列命题：数列a n一定是等差数列；存在 1ij4，使得iai=jaj；数列a n中一定存在一项为 0其中，真命题的序号有 （请将你认为正确命题的序号都写上）二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a=3， ，且 （1）求 b 的值；（2）求 sin（AB）的值16记函数 f
4、（x）=lg（1ax 2）的定义域、值域分别为集合 A，B（1）当 a=1 时，求 AB；（2）若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围17设直线 是函数 f（x）=sinx+acosx 的图象的一条对称轴（1）求函数 f（x）的最大值及取得最大值时 x 的值；（2）求函数 f（x）在0，上的减区间182016 年射阳县洋马镇政府决定投资 8 千万元启动“鹤乡菊海”观光旅游及菊花产业项目规划从2017 年起，在相当长的年份里，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元（含旅游净收入与菊花产业净收入） ，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均
5、为上一年的 1.5 倍记2016 年为第 1 年，f（n）为第 1 年至此后第 n（nN *）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入累计投入，单位：千万元） ，且当 f（n）为正值时，认为该项目赢利（1）试求 f（n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由（参考数据： ，ln20.7，ln31.1）19已知数列a n满足 a1=1，a 2=1，且 （1）求 a5+a6的值；（2）设 Sn为数列a n的前 n 项的和，求 Sn；（3）设 bn=a2n1 +a2n，是否存正整数 i，j，k（ijk） ，使得 bi，b j，b k成等差数列？若存在，求出所
6、有满足条件的 i，j，k；若不存在，请说明理由20设函数 f（x）=mlnx（mR） ，g（x）=cosx（1）若函数 在（1，+）上单调递增，求 m 的取值范围；（2）设函数 （x）=f（x）+g（x） ，若对任意的 ，都有 （x）0，求 m 的取值范围；（3）设 m0，点 P（x 0，y 0）是函数 f（x）与 g（x）的一个交点，且函数 f（x）与 g（x）在点 P 处的切线互相垂直，求证：存在唯一的 x0满足题意，且 2017-2018 学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置
7、上.1已知集合 A=1，3，6，B=1，2，则 AB= 1，2，3，6 【考点】1D：并集及其运算【分析】利用并集定义直接求解【解答】解：集合 A=1，3，6，B=1，2，则 AB=1，2，3，6，故答案为：1，2，3，62函数 y=sin2x 的最小正周期是 【考点】H1：三角函数的周期性及其求法【分析】由条件根据函数 y=Asin（x+）的周期为 ，可得结论【解答】解：函数 y=sin2x 的最小正周期是 =，故答案为：3设幂函数 y=x 的图象经过点 ，则 的值为 【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】由于幂函数 y=x 的图象过点 ，把此点的坐标代入解得 即可【解答】
8、解：幂函数 y=x 的图象过点 ， ，解得 故答案为 4在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a=2， ， ，则 A= 【考点】HP：正弦定理【分析】由已知结合正弦定理，可得 sinA=1，进而得到答案【解答】解：在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a=2， ， ，则由正弦定理得： ，即 ，解得：sinA=1，又由 A 为三角形的内角，故 A= ，故答案为： 5命题“ xR ，使 x2ax+10”是真命题，则 a 的取值范围是 （，2）（2，+） 【考点】2I：特称命题【分析】若命题“xR，使 x2ax+10”是真命题，则函数 y=x2ax+1 的
9、图象与 x 轴有两个交点，故=a 240，解不等式可得答案【解答】解：若命题“xR，使 x2ax+10”是真命题，则函数 y=x2ax+1 的图象与 x 轴有两个交点，故=a 240，解得：a（，2）（2，+） ，故答案为：（，2）（2，+） 6在等差数列a n中，若 ，则数列a n的前 6 项的和 S6= 2 【考点】85：等差数列的前 n 项和【分析】由已知结合等差数列的性质求得 a1+a6，再由等差数列的前 n 项和公式求得 S6【解答】解：在等差数列a n中， ，S 6= = 故答案为：27设向量 ， ， ，若 ，则 x+y= 【考点】9J：平面向量的坐标运算【分析】根据题意，由向量的
10、坐标计算公式可得若 ，则有 ，解可得 x、y的值，将其相加即可得答案【解答】解：根据题意，向量 ， ， ，若 ，则有 ，解可得 ，则 x+y= ，故答案为： 8若函数 f（x）=x 2+（a+3）x+lnx 在区间（1，2）上存在唯一的极值点，则实数 a 的取值范围为 （，6） 【考点】6D：利用导数研究函数的极值【分析】求出函数的导数，由已知条件结合零点存在定理，可得 f（1）f（2）0，解出不等式求并集即可【解答】解：f（x）=2x+a+3+ = ，若 f（x）在（1，2）上存在唯一的极值点，则 f（1）f（2）0，即（a+6） （2a+15）0，解得： a6，故答案为：（ ，6） 9设菱
11、形 ABCD 的对角线 AC 的长为 4，则 = 8 【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量的数量积定义，写出 ，再由菱形的对角线互相垂直平分，利用三角中余弦函数的定义，得到| |cosBAO=| |=2，从而求出答案【解答】解：设菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O 点，则 ACBD，且 AO= AC=2，由平面向量的数量积定义可知： =| | |cosBAC=4| |cosBAO=4| |=42=8故答案为：810设函数 f（x）=Asin（x+） （其中 A， 为常数且 A0，0， ）的部分图象如图所示，若 （ ） ，则 的值为 【考点】HK：由 y=Asin
12、（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由函数 f（x）的图象求出 A、T、 和 的值，写出 f（x）的解析式；再由 f（）的值，利用三角恒等变换求出 f（+ ）的值【解答】解：由函数 f（x）的图知，A=2，由 T=2 （ ）=2，得 = =1，f（x）=2sin（x+） ；又 f（ ）=2sin（ +）=2，且 ，= ，f（x）=2sin（x ） ；由 f（）=2sin（ ）= ，sin（ ）= ；又 0 ， ，cos（ ）= = ；f（+ ）=2sin=2sin（ ）+ =2sin（ ）cos +cos（ ）sin=2 +2 = 故答案为： 11设函数 f（x）是以 4 为周期的奇函数，当
13、 x1，0）时，f（x）=2 x，则 f（log 220）= 【考点】3L：函数奇偶性的性质；3T：函数的值【分析】由函数 f（x）是以 4 为周期的奇函数，log 220（4，5） ，可得：4log 220x1，0） ，进而f（log 220）=f（log 2204）=f（4log 220） ，结合对数的运算性质，可得答案【解答】解：函数 f（x）是以 4 为周期的奇函数，log 220（4，5） ，4log 220x1，0） ，f（log 220）=f（log 2204）=f（4log 220） ，当 x1，0）时，f（x）=2 x，f（log 220）=（ ）= = ，故答案为： 12设
14、函数 f（x）=|xa|+ （aR） ，若当 x（0，+）时，不等式 f（x）4 恒成立，则的取值范围是 （，2 【考点】3R：函数恒成立问题【分析】利用勾勾函数的性质即可求解【解答】解：函数 f（x）=|xa|+ （aR） ，x（0，+）当 xa 时，可得 f（x）=x+ a a4，当且仅当 x=3 时取等，即 6a4，可得：a2当 xa 时，可得 f（x）=ax+ ，y= 在（0，+）是递减函数，对 f（x）4 不成立a 无解故答案为（，213在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A= ，a=4 ，角 A 的平分线交边 BC 于点 D，其中 AD=3 ，则 SABC
15、 = 12 【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】由题意 ABD 和 ADC 面积和定理可得 AD= ，ABC 中利用余弦弦定理即可求解 bc，根据SABC = cbsinA 可得答案【解答】解：由 A= ，a=4 ，余弦定理：cosA= ，即 bc=b2+c2112角 A 的平分线交边 BC 于点 D，由 ABD 和 ADC 面积和定理可得 AD= ，AD=3 ，即 bc=3（b+c）由解得：bc=48那么 SABC = cbsinA=12 故答案为：1214设数列a n共有 4 项，满足 a1a 2a 3a 40，若对任意的 i，j（1ij4，且 i，jN *） ，aia j仍是数列a
16、n中的某一项现有下列命题：数列a n一定是等差数列；存在 1ij4，使得iai=jaj；数列a n中一定存在一项为 0其中，真命题的序号有 （请将你认为正确命题的序号都写上）【考点】8H：数列递推式【分析】根据题意：对任意 i，j（1ij4） ，有 aia j仍是该数列的某一项，因此 0a n，即a4=0，进而推出数列的其它项，可得答案【解答】解：根据题意：对任意 i，j（1ij4） ，有 aia j仍是该数列的某一项，令 i=j，则 0 为数列的某一项，即 a4=0，则 a3a 4=a3a n， （a 30） 必有 a2a 3=a3，即 a2=2a3，而 a1a 2=a2或 a3，若 a1a
17、 2=a2，则 a1a 3=3a3，而 3a3a 2，a 3，a 4，舍去；若 a1a 2=a3a n，此时 a1=3a3，可得数列a n为：3a 3，2a 3，a 3，0（a 40） ；据此分析选项：易得正确；故答案为：二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a=3， ，且 （1）求 b 的值；（2）求 sin（AB）的值【考点】GI：三角函数的化简求值；9R：平面向量数量积的运算【分析】 （1）由题意利用两个向量的数量积的定义求得 c 的值，再利用余弦定理，求得 b 的值（2）利用余弦定理求得 cosA 的值，可得 sinA 的值，再利用两角差的正弦公式求得 sin（AB）的值【解答】解：（1）在ABC 中，由 ，得 accosB=7，即 ，解得 c=3在ABC 中，由余弦定理，得 b2=a2+c22accosB=9+918 =4，b=2
