一阶与二阶常系数线性微分方程及其解法

1、1 对应齐次方程 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法 1 2 1 方程 1 的任意一个解加上方程 2 的任意一个解是 1 的解 2 方程 1 的任意两个解之差是 2 的解 定理2 那么方程 1 的通解为 2 问题归结为求方程 1 的一。

2、一、 f(x)Pm(x)ex型,二、f(x)=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx型,二阶常系数非齐次线性微分方程,方程ypyqyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和 yY(x)y*(x),提示,=Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)ex,Q(x)+2Q(x)+2Q(x)ex+pQ(x)+Q(x)ex+qQ(x)ex,一、 f(x)Pm(x)ex 型,y*Q(x)ex,设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) (),则得,Q(x)ex pQ(x)exqQ(x)ex,y*py*qy*,提示,此时2pq0要使()式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)。

3、一、 f(x)Pm(x)ex型,二、f(x)=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx型,12.9 二阶常系数非齐次线性微分方程,上页,下页,铃,结束,返回,首页,方程ypyqyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和 yY(x)y*(x),提示,=Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)ex,Q(x)+2Q(x)+2Q(x)ex+pQ(x)+Q(x)ex+qQ(x)ex,一、 f(x)Pm(x)ex 型,y*Q(x)ex,设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为,下页,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) (),则得,Q(x)exQ(x)exqQ(x)ex,y*py*qy*,提示,此时2pq0要。

4、1,第三节 二阶常系数线性微分方程的解法,一、二阶常系数线性微分方程解的性质与通解的结构,二阶常系数线性微分方程的标准形式,其中a,b是常数.,(1),(2),称为二阶常系数齐次线性微分方程。,2,二阶常系数齐次线性方程解的性质,回顾,一阶齐次线性方程,1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；,2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；,3,二阶常系数齐次线性方程解的性质,1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解；,2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；,也是(2)的解.,(称线性无关),则上式为(2)的通解.,定理1,(2),4,二、二阶常系。

5、一、 f(x)Pm(x)ex型,二、f(x)=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx型,12.9 二阶常系数非齐次线性微分方程,上页,下页,铃,结束,返回,首页,方程ypyqyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和 yY(x)y*(x),提示,=Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)ex,Q(x)+2Q(x)+2Q(x)ex+pQ(x)+Q(x)ex+qQ(x)ex,一、 f(x)Pm(x)ex 型,y*Q(x)ex,设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为,下页,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) (),则得,Q(x)exQ(x)exqQ(x)ex,y*py*qy*,提示,此时2pq0要。

6、2 2二阶常系数线性微分方程的解法 数学系贺丹 2 3 4 5 6 7 8 小结 求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 二阶常系数非齐次线性方程特解的解法 33 34 35 36 37 38 39 40 41 2 3欧拉方程 42 43 44 。

7、1,第三节 二阶常系数线性微分方程的解法,一、二阶常系数线性微分方程解的性质与通解的结构,二阶常系数线性微分方程的标准形式,其中a,b是常数.,(1),(2),称为二阶常系数齐次线性微分方程。,2,二阶常系数齐次线性方程解的性质,回顾,一阶齐次线性方程,1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；,2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；,3,二阶常系数齐次线性方程解的性质,1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解；,2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；,也是(2)的解.,(称线性无关),则上式为(2)的通解.,定理1,(2),4,二、二阶常系。

8、华中科技大学文华学院,一元函数微积分,2015年9月22日12月22日,基础学部 梁幼鸣,wululym163.com,18171201733（Mobil）,德国数学家 Leibniz,在一切理论成就中，未必有什么像十七世纪下半叶微积分的发明那样，能被看做人类精神的卓越胜利了。如果在某个地方我们有人类精神的、纯粹和专有的功绩，那就正在这里。,F. 恩格斯,英国数学家Newton,微积分学创始人,The one real object of education is to have a man in the condition of continually asking questions. （教育的真正目的是使人处于不断发问的状态） - Mandell Creighton（克莱顿）。