微分应用

1、8.6 微分方程应用实例许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只能间接的得到这些量及其导数之间的关系，从而使得微分方程在众多领域都有非常重要的应用。本节只举几个实例来说明微分方程的应用。进一步的介绍见第十章。一。嫌疑犯问题受害者的尸体于晚上7：30被发现。法医于晚上 8：20赶到凶案现场，测得尸体体温为 ，一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为,室温在几小时内始终保持 ，此案最大的嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班。

2、, 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第十九讲 微分中值定理,脚本编写：刘楚中,教案制作：刘楚中,第四章 一元函数的导数与微分,本章学习要求：理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系。熟悉一阶微分形式不变性。熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定。

3、Liaoning Normal University（ 2011 届 ）本 科 生 毕 业 论 文 (设 计 )题 目：微分中值定理的应用研究学 院：数学学院 专 业：数学与应用数学班级序号：09 数学 23 号 学 号：20091122060020学生姓名：李石 指导教师：李劲松 2011 年 5 月i目 录摘 要 1Abstract（Key words） .1前 言 .21 微分中值定理及其证明.31.1 罗尔定理 .31.2 拉格朗日中值定理 .31.3 柯西中值定理 .41.4 泰勒公式 .41.5 常用微分中值定理及内在联系 .52 微分中值定理的应用 52.1 证明方程根的存在性 .52.2 证明不等式 .62.3 讨论函数的单调性,并利用函数的单调性。

4、1第三章 应用微分学第 1 次课一、微积分是什么？（你有没有应用过微积分知识解决问题？）微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想和数学方法， “无限细分”就是微分， “无限求和”就是积分，微积分是一个处理连续变量的数学工具。微积分诞生之前，人类基本还处在农耕文明时期，16 世纪人类社会渐渐进入了工业时代，由于科学技术发展的需要，为解决天文学、力学、几何学问题，十七世纪后半叶牛顿和莱布尼茨在许多数学家工作的基础上，分别从力学和几何学独立地建立了微积分学。 （导数、积分概念产生的背景是运动、几何问题） 。

5、数学建模微分方程的应用举例微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程的实际应用，尤其是微分方程经济学中的应用. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力.内容分布图示衰变问题逻辑斯谛方程价格调整问题人才分配问题模型追迹问题返回内容要点：一、衰变问题镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量, 这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知, 衰变速度与现存物质的质量成正比, 求放射性元素在时刻 t 的质量.用 x 表示该放射性物质在时。

6、72第六章 微分中值定理及其应用第一次习题课 中值定理及函数单调性一、基本要求：1、进一步理解中值定理的内容和意义。2、学习怎样用中值定理解决一些证明题。3、掌握函数的单调性与导数的关系，会用导数来判断函数的单调性，并会用之证明不等式。二、内容复习：1、罗尔中值定理：设 在 上连续，在 内可导，且 ，()fx,ab(,)ab()fab则至少存在一点 使得： 。(,)ab()0f2、拉格朗日中值定理：设 在 上连续，在 内可导，则至少存x,ab(,)ab在一点 使得： = 。(,)()f()f推论 1 若函数 在区间 上可导，且 ，则 为 上的一个常量函I0fxfI数。推论 2。

7、一、 用微分中值定理证明函数恒等式1 110limdxdxlimbfxdfxd1. 欲证：当 时，有恒等式Ifa解题程序：验证 ，由此推出 ;0fxfxC取区间 内的一个特殊值确定常数：若 ,则有 ，I 0xI0fxa即 。Ca2. 欲证两个函数恒等：当 时，有xIfxg若令 ，这时化为 1 中 的情形。Fxfgx0a3. 用拉格朗日中值定理证明函数恒等式如证明 arcsinros,.2xx二、 直接用微分中值定理证明中值等式所谓中值等式或中值不等式，就是证明等式或不等式仅在区间内的一点或至少一点成立。证明中值等式须用微分中值定理，泰勒公式或积分中值定理。下述情况的中值等式，一般需用微分。

8、微分形式及其应用1 引子两个函数，如何检验它们是否互为函数呢？比如 ， ，它们之间就有关系 ，这很yxf2 60224yxg 602fg明显。但是对于复杂的函数就未必一眼看得出。另一个老实的办法是，计算它们的雅克比行列式，因此它们相关，互为函数关系。 0214/),( yxygfxyxgf对于多元的就要麻烦些，要计算多个雅克比。比如 ，要想判定他们),(),(zyxgf是否互为函数，就要判定， ， 都为 0 才对。yxgf,zf,xgf,有没有更好的表达方式呢？有利用外微分（过一会再解释） 044)()2(2 )2260()60( )6()33 34422 244 242 dyxydxyxdyx yxxyxyxddyyf好奇怪的运算。

9、 本 科 生 毕 业 论 文 （ 设 计 ）系（院）数学与信息科学学院 专 业数学与应用数学 论文题目 微分中值定理及其应用 学生姓名 贾孙鹏 乐山师范学院毕业论文（设计）1指导教师 黄宽娜（副教授） 班 级 11 级数应 1 班 学 号 11290056 完成日期：2015 年 4 月微分中值定理及其应用贾孙鹏数学与信息科学学院 数学与应用数学 11290056【摘要】 微分中值定理是研究复杂函数的一个重要工具，是数学分析中的重要内容。我们可以运用构造函数的方法来巧妙的运用微分中值定理解决问题。本文主要研究微分中值定理的内容和不同形式之间的关系，以及它。

10、第四节函数的微分及其应用,一、微分概念,二、微分的几何意义,第三模块函数的微分学,三、微分的基本公式及其运算法则,四、微分在近似计算中的应用,五、多元函数的全微分,一、微分概念,先来看一个例子，边长为 x 的正方形，,其面积增加多少？,面积的增加部分记作 S，,则,S = (x + x )2 - x2,= 2xx + (x) 2，,当 x 很小时，例如 x = 1， x = 0.01 ，则 2xx = 0.02，,设正方形的面积为 S，,当边长增加 x 时，,而另一部分 x2 = 0.000 1，,当 x 越小时，,x2 部分就比 2xx小的更多.,因此，如果要取 S 的近似值时，,显然 2xx 是 S 的一个很好的近。

11、9.6 微分方程应用举例,解,建立坐标系如图所示,A 点受到的力:,(1) 干扰力: psint,(2) 弹性恢复力 : ky,据牛顿第二定律有,初始条件:,特征方程:,特征根:,齐次方程的通解:,被称为固有频率,下面求非齐次方程的特解,(1) 当 时 , 设非齐次方程的特解为,代入方程整理得,非齐次方程的特解:,非齐次方程的通解:,由,所以初值问题的解,(2) 当 时 , 设非齐次方程的特解为,代入方程可得:,非齐次方程的特解:,非齐次方程的通解:,由 可确定,所以初值问题的解,注意:,位移 y(t) 的振幅为,将随 t 的增大而无限增大 , 从而引起共振现象,当 时 ,解,0.1,根据牛顿第。

12、常微分方程方法与应用,数学与统计学院 张齐鹏 电话：13598262797 信箱：qpzh66163.com,第五节 微分方程的几个实例,微分方程的几个简单实例,在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，,本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。,例1 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。,从图1中不难看出，小球所受。

13、3-5 函数的极值和最值,一、函数的极值,定义1. 设 f (x)在x0的某邻域U(x0)内有定义, 若 (x0), 有,f (x) f (x0),则称 f (x)在x0处取得极大值(极小值) f (x0).,x0称为极大值点(极小值点),极大值和极小值统称为极值.,极大值点和极小值点统称为极值点.,注: 极值是一个局部概念, 如图,o,a,b,x1,x2,x3,x4,x5,y=f (x),x,y,定理1(Fermat定理) 设函数f (x)在某区间I内有定义, 在该区间内的点x0处取得极值, 且 f (x0)存在, 则必有,f (x0) = 0,证: 不妨设 f (x0)为极大值, 则存在U(x0) I,使x (x0), 有 f (x) f (x0),由 f (x)在x0可导, 故当x x0时,同理。

14、第 1 页（共 9 页）第二讲 导数、微分及其应用一、导数、偏导数和微分的定义对于一元函数 yfx0limhfxfdyf对于多元函数 ,zfx0,lixhfxyfxfyh对于函数微分xxfdy2222zxy yz注：注意左、右导数的定义和记号。二、导数、偏导数和微分的计算：1）能熟练运用求导公式、运算法则计算导数、偏导数和微分；2）隐函数、参数方程的导数3）高阶导数：特别要注意莱布尼茨公式 的运用。0nknkuvCuv例 1：求函数 在 处的 阶导数。arcsinyx0解： ，所以有222,1x（1）xyy利用莱布尼茨公式对（1）两边求 阶导数得n12 1221221nn nnnxyCCxyCy 当 时，0 2 2030nnny。

15、第九章 微分方程及其应用9.1 微分方程及其相关概念所谓微分方程，就是含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程。例如，以下各式都是微分方程： . 2xdy ).(2tfkxdthtxm . .)()(QP 0sin2lgttd .0,)(nyxF只含一个自变量的微分方程,称为常微分方程,自变量多于一个的称为偏微分方程。本章只研究常微分方程，因而以后各节提到微分方程时均指常微分方程。微分方程中所含有的未知函数最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶。例如，、为一阶方程，、为二阶方程，而为 n 阶方程。微分方程中可以不含有自变量或未知函数，但。

16、第四章。微分学应用对于变量取实数的函数，我们已经建立了导数与微分的概念，可以应用于研究实变量函数的局部性质。本章讨论的就是如何应用这两个概念来研究实变量函数的性质。函数的极值点和极值的概念。从直观的角度来理解这两个概念，还是比较容易的，不过初学者容易把握不到要点的地方是这两个概念完全是局部性质的概念，即只是在一点的附近，或者是在一点的某个领域内有效，而不管这个邻域是多么的小。因此函数的极值点更为严谨地说，应该是函数的局部极值点。仔细分析一下下面的定义：如果函数在某点的邻域内都有定义，而函数在这个。

17、目 录摘要 11 引 言 22 常微分方程模型 22.1 建立常微分方程模型的方法和步骤 23 常微分方程模型示例 53.1 红绿灯问题 53.2 广告模型 84 总 结 .10参考文献 .11摘要常微分方程是在 17 世纪伴随着微积分而发展起来的一门具有重要应用价值的学科.它是研究连续量变化规律的重要工具，是众多实际问题与数学之间联系常微分方程应用1的重要桥梁.在历史上，牛顿正是通过求解常微分方程证实了地球绕太阳运动的轨道是椭圆；天文学家通过常微分方程的计算，预见了海王星的存在.随着工业化的进展，常微分方程在航海、航空工业生产以及自然科学的研究。

18、第三节 全微分及其应用内容分布图示 偏增量与全增量 全微分的定义 可微的必要条件 可微的充分条件 例 1 例 2 例 3 例 4 多元函数连续、可导、可微的关系. 全微分在近似计算中的应用 例 5 绝对误差与相对误差 例 6 例 7 内容小结 课堂练习 习题 83 返回内容要点：一、 全增量与偏增量二、 全微分的定义三、函数可微的必要条件与充分条件定理 1 (必要条件) 如果函数 在点 处可微分, 则该函数在点 的),(yxfz)( ),(yx偏导数 必存在, 且 在点 处的全微分yzx,f,. (3.4)yzxdz定理 2 (充分条件) 如果函数 的偏导数 在点 处连续, 则函数在),(fyzx,)。

19、第六节 微分方程应用,利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是：,(1) 分析问题，设所求未知函数，建立微分方程，确定初始条件；,(2) 求出微分方程的通解；,(3) 根据初始条件确定通解中的任意常数，求出微分方程相应的特解,本节将通过一些实例说明微分方程的应用,例1,一曲线通过点( 2 , 3 ) ，该曲线上任意一点(x,y)处的法线与x轴的焦点为，且线段P恰被y轴平分，求此曲线的方程,解,）列方程： 设所求曲线方程为yy(x)，,则它在(x,y)处的法线方程为：,即得曲线应满足微分方程:,令=，得法线在x轴上的截距为 ：,由题设条件得:,由于曲线过。