数值分析3数值积分与数值微分

1、2019/3/20,1,计算方法,第四章 数值积分,4.4 龙贝格算法,2019/3/20,2,4.4.1 梯形法的递推化,由上节讨论得知加密节点可以提高求积公式的精度，复化 求积方法对提高精度是行之有效的，但必须事先给出合适 的步长（即n的选取），步长取得太大则精度难以保证， 而步长取得太小又会导致计算量的增加。因此，如何确定 适当的n，使近似值和精确值之差在允许的范围，这又是 一个难题。,在实际计算中常常采用变步长的计算方案，即在步长逐次 二分的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直到 二分前后两次积分近似值之差符合精度要求为止。,2019/3。

2、第四章 数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 10121 120()()()();)(3()2()3)/;4)0/(0);hhhfxdAfhfAfhfffxfxdhafh解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过 m 的多项式均能准确地成立，但对于 m+1 次多项式就不准确成立，进行验证性求解。（1）若 101()()()()hfxdAfhfAfh令 ，则f1012hA令 ，则()fx1令 ，则2()fx31hA从而解得 01433Ah令 ，则()fx30hhdx101()()()AffAf故 成立。101()()()()hfxdAfhfAfh令 ，则4451012()。

3、第五章 数值微分与数值积分 一分别用向前差商，向后差商和中心差商公式计算 ()f xx= 在 2x =的导数的近似值。其中，步长 0.1h = 。 【详解】 00()()(2 0.1) (2) 2.1 2= 0.349 2410.1 0.1fx h fx ffh+ + =向前差商 00() ( ) (2) (2 0.1) 2 1.9= 0.358 0870.1 0.1fx fx h ffh =向后差商 00()()(2 0.1) (2 0.1) 2.1 1.9= 0.353 664220.10.2fx h fx h ffh+ + =中心差商 二已知数据 x 2.5 2.55 2.60 2.65 2.70 ()f x 1.58114 1.59687 2 1.62788 1.64317 求 (2.50), (2.60), (2.70)fff的近似值。 【详解】 0.05h = ，按照三点公式 3 (2.50) 4 (2。

4、数 值 分 析 (7),Numerical Analysis,Wenjian Yu,2,第七章 数值积分与数值微分,Wenjian Yu,3,数值积分的基本概念,Wenjian Yu,4,数值积分,目的与用途 经典问题: 算几何形体的面积、 体积，力学中 物体的重心位置 例: 铝制波纹瓦的长度问题,由一块平整的铝板压制而成. 若每个波纹的高度(自中心线) 为1英寸, 周期为 2英寸, 做4英尺长波纹瓦需多长铝板?,第二类椭圆积分, 无法解析求出 !,Wenjian Yu,5,数值积分基本思想,. . .,积分系数 积分节点,希望用较少的计算量得到较准确的结果,Wenjian Yu,6,插值型求积公式,中矩形公式,梯形公式,Wenjian 。

5、1,第4章 数值积分与数值微分,4.1 数值积分概论 4.2 牛顿-柯特斯公式 4.3 复合求积公式 4.4 龙贝格求积公式 4.5 自适应积分方法 4.6 高斯求积公式 4.7 多重积分 4.8 数值微分,2,4.1 数值积分概论,4.1.1 数值积分的基本思想,依据微积分基本定理，对于积分,只要找到被积函数 的原函数 ，便有下列牛顿-莱 布尼兹(Newton-Leibniz)公式：,但对于下列情形：,3,（1）被积函数，诸如 等，找不到用 初等函数表示的原函数，或者即使能求得原函数但原函数的 表达式非常复杂，计算困难；,（2）当 是由测量或数值计算给出的一张数据表 时，牛顿-莱布尼兹。

6、2019/4/24,1,数值积分与数值微分,引言,一、 问题的提出,既使函数是以解析的形式给出，但由于其表达式比较复杂，我们在高数中所学的方法很难甚至无法计算出其积分或微分的准确值，如,（1）,（2）,在工程技术和科学研究中，很多情况下变量间的函数关系是以数表的形式给出的，无法运用我们学过的方法计算其积分和导数！,2019/4/24,2,二、 数值微积分概述,利用函数在一些点上的函数值，计算出该函数的积分或微分满足一定精度要求的近似值！,（1）,（2）,数值微积分方法是其它数值方法，如微分方程数值解法等的必备基础。,2019/4/24,3,一、 数。

7、2019/4/24,1,数值积分与数值微分,引言,一、 问题的提出,既使函数是以解析的形式给出，但由于其表达式比较复杂，我们在高数中所学的方法很难甚至无法计算出其积分或微分的准确值，如,（1）,（2）,在工程技术和科学研究中，很多情况下变量间的函数关系是以数表的形式给出的，无法运用我们学过的方法计算其积分和导数！,2019/4/24,2,二、 数值微积分概述,利用函数在一些点上的函数值，计算出该函数的积分或微分满足一定精度要求的近似值！,（1）,（2）,数值微积分方法是其它数值方法，如微分方程数值解法等的必备基础。,2019/4/24,3,一、 数。

8、第3章 数值积分与数值微分 3.1 插值型求积公式 3.2 牛顿柯特斯求积公式 3.3 复化求积法 3.4 龙贝格求积公式 3.5 高斯求积公式 3.6 数值微分 3.7 数字图像的导数与梯度3.1 数值积分的基本概念 1.问题的提出 但还有许多解决不了的问题， 因为还会遇到下列一些困难工程应用中常需要计算定积分。() 对于定积分 ， b a f xdx () , 设 在区间 上连续， fx ab () ( ) ( ) 则由 公式有 b a Newton L f x dx F b ei iz F ba n () () 是 的原函数， Fx fx 虽然用该公式我们已经解决了很多理论和应用问题， ) 1( （） 的原函数不是初等函数， fx 2 11。