牛顿-欧拉方程

1、4理想流体动力学 本章主要任务 理想流体 推导理想流体的欧拉运动微分方程 在此基础上讨论伯努利方程的推导以及它的意义和应用 仅有连续性方程远远不能解决实际问题 如 作用力 能量问题等 4 1欧拉运动微分方程 4 1 1欧拉运动微分方程的推导 4 2理想流体恒定元流的伯努利方程 4 2 1理想流体伯努利积分条件 4 2 2在重力场中的理想流体伯努利方程 4 2 3由动能定理推导伯努利方程 4 1 1。

2、第五章 常微分方程数值解 /* Numerical Methods for Ordinary Differential Equations */, 待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:,解的存在唯一性（“常微分方程”理论）：只要 f (x, y) 在a, b R1 上连续，且关于 y Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的。

3、2019/5/13,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十节,欧拉方程,欧拉方程,常系数线性微分方程,第十二章,2019/5/13,高等数学课件,欧拉方程的算子解法:,则,计算繁!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,则由上述计算可知:,用归纳法可证,于是欧拉方程,转化为常系数线性方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,例1.,解:,则原方程化为,亦即,其根,则对应的齐次方程的通解为,特征方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件, 的通解为,换回原变量, 得原方程通解为,设特解:,代入。

4、流体流动的控制方程,第四讲（补充）,流体仿真与应用,牛顿型流体的控制方程,不可压缩流体，根据连续方程,不可压缩牛顿流体流动运动方程，又称为Navier-Stokes方程，简称为N-S方程。,牛顿型流体的控制方程,N-S方程,牛顿型流体的控制方程,理想流体N-S方程欧拉运动方程,牛顿型流体的控制方程,重力场中理想流体的伯努利方程（能量方程）,牛顿型流体的控制方程,重力场中理想流体的伯努利方程,位置水头,测压管水头,压强水头,速度水头,总水头,。

5、欧拉公式 常微分方程,2016/2017 学年 第一学期（16周）, 在科学与工程技术领域中，常需要求解常微分方程的定解问题。这类问题的最简单形式，是一阶常微分方程的初值问题。 我们知道，只要右端函数 f(x,y) 适当光滑，如关于 y 满足利普希茨条件理论上就可以保证初值问题的解 y=y(x) 存在并且唯一。,微分方程数值解法, 在 处的导数 可以近似地表示成差商用 近似地代替 ，可将初值问题离散化成为即以上公式称为显式欧拉公式。 为了不引起混淆 表示解 在 处的精确值，而 表示其近似值。,显式欧拉公式, 在显式欧拉公式中，除了 外，有和 。因此。

6、,高等院校非数学类本科数学课程, 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第五讲 二阶常系数线性微分方程,脚本编写：彭亚新,教案制作：彭亚新,欧拉方程,第七章 常微分方程,本章学习要求：,了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程。 熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. 知道下列高阶方程的降阶法：,了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线性微分方程的解法. 熟练掌握二。

7、第四节变系数线性微分方程的解法,-欧拉方程,欧拉方程,常系数线性微分方程,作业习题7.1(A) 11,欧拉方程的算子解法:,则,计算繁!,则由上述计算可知:,用归纳法可证,于是欧拉方程,转化为常系数线性方程:,例1.,解:,则原方程化为,亦即,其根,则对应的齐次方程的通解为,特征方程, 的通解为,换回原变量, 得原方程通解为,设特解:,代入确定系数, 得,例2.,解:,将方程化为,(欧拉方程),则方程化为,即,特征根:,设特解:,代入 解得 A = 1,所求通解为,例3.,解: 由题设得定解问题,则化为,特征根:,设特解:,代入得 A1,得通解为,利用初始条件得,故所求特解为,思考。

8、-8.1 Euler 方法,第8章 常微分方法的数值解法,8.1.2 局部误差和方法的阶,8.1.1 Euler 方法及其有关的方法,第8章 常微分方法的数值解法,教学目的 1. 掌握解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法； 2. 掌握解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等； 3. 了解单步法的收敛性、相容性与稳定性；多步法的稳定性。 教学重点及难点 重点是解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法和解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等； 难点是理解单步法的收敛性、相。

9、数论,李子星,同余欧拉函数 与欧拉定理，费马小定理中国剩余定理,同余,定义：如果a%m=b%m，那么就称a与b同余a=a%m，b=b%m结论：同余是等价关系（自反，对称，传递性）(a+b)%m = (a+b)%m(a-b)%m = (a-b)%m(a*b)%m = (a*b)%m(a/b)%m 不一定等于 (a/b)%m，即便满足b|a的条件这就出现了一个问题：若我们知道a能整除b，又能够很容易得得到a%m和b%m的结果，但a和b都太大了以至于a/b算起来代价太高， (a/b)%m怎么算。,商的模与乘法逆元,定义：若(b*b)%m=1，b就称为b对于模m的乘法逆元。结论：对于b和m，b对于模m的乘法逆元不一定存在。若(b,m)=1，。

10、 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第三十讲 一元微积分的应用(六), 微积分在物理中的应用,第七章 常微分方程,本章学习要求：,了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. 知道下列高阶方程的降阶法：,了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线性微分方程的解法. 熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项。

11、,第九节,欧拉方程,欧拉方程,常系数线性微分方程,第七章,欧拉方程的算子解法:,计算繁!,则由上述计算可知:,用归纳法可证,于是欧拉方程,转化为常系数线性方程:,例1.,解:,则原方程化为,亦即,其根,则对应的齐次方程的通解为,特征方程, 的通解为,换回原变量, 得原方程通解为,设特解:,代入确定系数, 得,例2.,解:,将方程化为,(欧拉方程),则方程化为,即,特征根:,设特解:,代入 解得 A = 1,所求通解为,例3.,解: 由题设得定解问题,则化为,特征根:,设特解:,代入得 A1,得通解为,利用初始条件得,故所求特解为,思考: 如何解下述微分方程,提示:,原方程,直接。

12、第九节 欧拉方程,一 、欧拉方程二 、小结,解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.,一、欧拉方程,特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同,作变量变换,将自变量换为,上述结果可以写为,一般地，,例,求欧拉方程,的通解,解,作变量变换,原方程化为,即,或,(1),方程(1)所对应的齐次方程为,其特征方程,特征方程的根为,所以齐次方程的通解为,设特解为,代入原方程，得,所给欧拉方程的通解为,二、小结,欧拉方程解法思路,变系数的线性微分方程,常系数的线性微分方程,变量代换,注意：欧拉方程的形式,。

13、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,欧拉方程,欧拉方程,常系数线性微分方程,第十二章,欧拉方程的算子解法:,则,计算繁!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则由上述计算可知:,用归纳法可证,于是欧拉方程,转化为常系数线性方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,解:,则原方程化为,亦即,其根,则对应的齐次方程的通解为,特征方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 的通解为,换回原变量, 得原方程通解为,设特解:,代入确定系数, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,解:,将方程化为,(欧拉方程),则方程化为,即,特征根:,设特解:,代入 解得 A = 1,。

14、3.2欧拉静平衡方程,3.2.1欧拉静平衡方程3.2.2等压面,3.2.1欧拉静平衡方程,静平衡方程中研究的是流体压强与作用在流体上的质量力的关系;以及给定边界压强时,流体内部压强的分布情况.,3.2.1欧拉静平衡方程,3.2.1欧拉静平衡方程,3.2.1欧拉静平衡方程,3.2.1欧拉静平衡方程,3.2.1欧拉静平衡方程,3.2.1欧拉静平衡方程,3.2.1欧拉静平衡方程,3.2.1欧拉静平衡方程,3.2.1欧拉静平衡方程,3.2.2等压面,定义:静止流体中静压强相等的点所组成的面称为等压面.,思考题,。

15、,第九节,欧拉方程,欧拉方程,常系数线性微分方程,第七章,欧拉方程的算子解法:,计算繁!,则由上述计算可知:,用归纳法可证,于是欧拉方程,转化为常系数线性方程:,例1.,解:,则原方程化为,亦即,其根,则对应的齐次方程的通解为,特征方程, 的通解为,换回原变量, 得原方程通解为,设特解:,代入确定系数, 得,例2.,解:,将方程化为,(欧拉方程),则方程化为,即,特征根:,设特解:,代入 解得 A = 1,所求通解为,例3.,解: 由题设得定解问题,则化为,特征根:,设特解:,代入得 A1,得通解为,利用初始条件得,故所求特解为,思考: 如何解下述微分方程,提示:,原方程,直接。

16、 机动目录上页下页返回结束 第十节 欧拉方程 欧拉方程 常系数线性微分方程 第十二章 欧拉方程的算子解法 则 计算繁 机动目录上页下页返回结束 则由上述计算可知 用归纳法可证 于是欧拉方程 转化为常系数线性方程 机动目录上页下页返回结束 例1 解 则原方程化为 亦即 其根 则 对应的齐次方程的通解为 特征方程 机动目录上页下页返回结束 的通解为 换回原变量 得原方程通解为 设特解 代入 确定系数 。

17、山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,3.6小节 机器人的杆件的速度,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,3.6 机器人的杆件的速度,基本思路：已知基座速度和各关节的相对速度，从基座速度开始，一步一步递推出末端执行器的速度。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,3.4.3、机器人的杆件的速度,机器人杆件的速度包括线速度和角速度，下面介绍如何从i杆件的速度递推计算i+1杆件的线速度和角速度。如图所示，设已知i杆件的速度为i和vi，i+1杆件绕Zi+1轴旋转的角速度为 。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2。

18、牛顿- 欧拉方程欧拉方程(Euler equations)，是欧拉运动定律的定量描述，欧拉运动定律是牛顿运动定律的延伸，在牛顿发表牛顿运动定律超过半个世纪后，于 1750 年，欧拉才成功的用欧拉方程表述了该定律：=1( )该方程是建立在角动量定理的基础上的描述刚体的旋转运动时刚体所受外力矩 与角加速度 的关系式，大多时候可简写成: =+()/=+()/=+()/其中， 分别为刚体坐标系 下三个轴的所受的外力矩，, 分别为刚体三个坐标轴的转动惯量 (刚体坐标系下 )。, 欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Euler equations)。