矩阵论课件

1、机动 目录 上页 下页 返回 结束,数学科学学院 陈建华,矩 阵 论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.3 Jordan标准形,一、 - 矩阵,二、Jordan标准形,三、Jordan标准形简单应用,目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结构-Jordan矩阵。,1. 定义,设 P 是一个数域， 是一个文字，作多项式环,P .,一个矩阵，如果它的元素是 的多项式，即,P 的元素,就称为 - 矩阵.,讨论 - 矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上,关于若尔当标准形的主要定理.,因为数域 P 中的数也是 P 的元素，所以在, - 矩阵中也包括以数为元素的矩阵.,一、 - 矩阵,矩阵称为数。

2、Graduate Engineering Mathematics 同济大学数学系 2009-3-22 工科研究生数 学 -矩阵论 第 2 章 矩阵的标准形 吴 群 同济大学数学系 wuquntongji.edu.cn G E M 2.1 一元多项式 定义. 设 F 是一个含有非零数的数集， 若F 中的 2 任意两个数的和、差、积、商 (零不为除数) 仍在F中，则 称F 为数域. Q : 有理数全体构成有理数域； R : 实数全体构成实数域； C : 复数全体构成复数域。 G E M 定义. 设 n 是一个非负整数，表达式 0 1 1 1 a x a x a x a n n n n + + + + 3 上的一元多项式， 称为数域F F a a a n , 1 0 ， ， 其中 . 0 称为零多。

3、4.5.1. 矩、偏态、峰态,定义4.6 设X,Y是两个随机变量,（1）若,存在，则称它为X的k阶原点,矩，记为,（2）若,存在，则称它为X的k,阶中心矩，记为,（3）若,存在，,则称它为k+l阶混合中心矩。,由定义可知，X的数学期望E(X)就是X的一阶原点矩，方差D(X)是X的二阶中心矩，而(X，Y)的协方差cov(X,Y)是二阶混合中心矩。,例1 设随机变量X服从正态分布,中心矩,求它的,解,已知，,因此,令,则,此广义积分绝对,收敛。当k为奇数时,当k为偶数时，令,则,特别，当k=4时,不难知道，如果随机变量的概率分布关于期望值 是对称的，则它的一切奇数阶中心矩都等于。

4、,Matrix Theory,矩 阵 论 教材：矩阵论简明教程（第二版） 徐仲，张凯院，陆全，冷国伟编著 科学出版社,第一章 矩阵的基础知识,1.1 矩阵的运算,1.2 方阵的行列式,1.3 矩阵的秩,1.4 特殊矩阵类,1.1 矩阵的运算,一、 矩阵的概念,1、数集 R实数集，C复数集,2、矩阵的记号,！,Notations,二、 矩阵的运算,1、加法，减法,2、数乘,3、乘法,4、转置与共轭转置,三、 矩阵的块运算,1、加法，减法,2、数乘,3、乘法,4、转置与共轭转置,1.2 方阵的行列式,一、行列式的定义与性质,二、块矩阵的行列式,即某行左乘一个矩阵加到另一行，值不变；某列右乘一。

5、1,工 程,矩阵论,湖北大学物电系,2,矩阵论,课程：矩阵论（Matrix Theory） 学时： 54学时 （54 Lectures） 教材：矩阵论（第2版， 杨明、刘先忠编著），华中科技大学出版社，2005 任课教师： 谌雨章（Dr. Yuzhang Chen）,3,参考书1.线性代数，华中科技大学数学系，高等教育出版社2.Matrix Analysis, R.A.Horn and C.R.Johnson, Cambridge University Press, 2004(中译本，杨奇译，机械工业出版社）,4,一、本课程性质,基础课 承前启后,概述,5,二、学习目的和方法,重点是基本理论，基本方法； 结合授课内容，理解课本； 通过例题，理解概念；。

6、问:111iiiiiimmJ=nullnullnull12.5 若当标准形111iiiiimiimmEJ=nullnullnull的初等因子是什么?imiE J () 1,kD =2() 1,kd =11;ikm () ( )iimmiD =11(),()smms nullE J 11;ikm () ( )iimd =()imi定义：称Ji为若当块,矩阵12sJJJJ = null为若当矩阵的初等因子组为的初等因子只有一个imiE J 311(),()smms null定理：若Ann的特征矩阵E-A的初等因子组为则12sJJAJJ = null当mi = 1时Ji= i当mi 1时111iiiiiimmJ=null若不计J 中若当块的排列次序，则若当矩阵J 由A 唯一确定，称J 为A的若。

7、矩阵理论第9讲-1,矩阵理论-第九讲,兰州大学信息科学与工程学院 2004年,矩阵理论第9讲-2,上节内容回顾,矩阵的条件数 定义矩阵条件数的工程背景 矩阵的奇异值 矩阵序列 矩阵序列收敛的充分必要条件收敛矩阵 矩阵级数 矩阵级数的绝对收敛的充要条件绝对收敛 收敛,矩阵理论第9讲-3,矩阵的幂级数,矩阵幂级数设 ， ，称矩阵级数为矩阵A的幂级数 方阵幂级数收敛的判别定理若复变数幂级数 的收敛半径为r，而矩阵 的谱半径为 ，则 当 时，方阵幂级数 绝对收敛 当 时，方阵幂级数 发散证明：1. ，取，使得,矩阵理论第9讲-4,矩阵的幂级数,由于幂级数。

8、,哈尔滨工程大学理学院矩阵论教学团队,Department of Mathematics, College of Sciences,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,使用讲义, 矩阵论讲义自编待出版,其他辅导类参考书（自选）,课 程 要 求,作业要求,矩阵论网站,http:/matrix.hrbeu.edu.cn/,授课预计(6学时),1,2,3,第一章 线 性 空 间,预备知识,线 性 空 间,线性子空间,教 学 内 容 和 基 本 要 求,2, 掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关性质；,重点: 线性空间的概念；子空间的维数定理；难点: 基变换与坐标变换;不变子空间,1，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐。

9、矩阵论是一门经典的数学学科，也是一门繁琐的、但有广泛应用价值的数学课程。 矩阵理论和方法是现代科技领域中处理有限维空间形式与数量关系的强有力的不可缺少的工具。 尤其是计算机的普及，更为矩阵论的应用提供了广阔的应用舞台，如系统工程、控制工程、最优化方法、管理工程等。,序言,问题一 线性方程组的求解,给定一个m个方程n个变量的线性方程组,记A表示系数矩阵，B表示常数向量，X表示未知向量， 则线性方程组可表示为,其中,解的形式：,（1）当m=n，且 A可逆时，线性方程组AX=B的解可表示为,当m=n，且 A不可逆时，或者当 时，线性。

10、矩阵理论第8讲-1,矩阵理论-第八讲,兰州大学信息科学与工程学院 2004年,矩阵理论第8讲-2,上节内容回顾,Hermite矩阵正定性方阵的范数 三角不等式 绝对齐性 正定性 相容性 各种矩阵范数1 F 2 1 、 2 与矩阵范数相容的向量范数的存在性 从属于向量范数的矩阵范数 矩阵的谱半径及其在特征值估计中的应用,矩阵理论第8讲-3,矩阵的条件数,定义矩阵条件数的工程背景许多工程问题，常常归结为求解矩阵方程由于矩阵A和向量b的元素一般是系统部件（例如电路元件）的参数值，或系统输出的观测值，所以不可能没有微小的误差或扰动。？数据的误差对于问题。

11、矩阵论复习一. 线性空间1. 线性空间的概念2. 线性空间的基，维数与坐标（基变换与与坐标变换）3. 线性子空间的概念与运算 (1)定义 (2) 运算（交与和，直和）,1. 判断 1，sinx, cosx 的线性相关性. 2. 若1, 2, , r线性无关，则向量组1= 1+k1r , 2= 2+k2r , , r= r (kiK)也线性无关. 3. 求向量组,分别生成的子空间的交的基和维数.,4. 设 V1, V2 分别是,证明 Kn=V1V2 5. 设 S,A,T分别为Knn中对称，反对称，上三角方阵构成的子空间，证明： Knn=S A , Knn=T A .,二. 线性变换 1.定义 T:VV且T( k+l )=kT( )+lT( ) 2. 线性变换的值域与核 R(T)=L。

12、第二节 线性变换和矩阵,一、定义,二、核、像空间，亏加秩定理,三、线性变换的矩阵和线性空间 的同构,由空间结构和T的线性性质，T由Te1, ,Ten完全确定，故由T唯一确定一个矩阵A，定义：称A为T在基 e1, ,en在下的矩阵简称A为T的矩阵.如果取定V的一组基，对于任意的V上的线性变换T，则唯一确定一个矩阵A，反之如何？,推论：L(V,V)与Fn n之间存在一一对应关系.,命题：L(V) = L(V,V)是线性空间，引入L(V,V)中的运算：,易验证L(V,V)是F上的一个线性空间，即线性变换空间，,同构的线性空间具有完全一致的空间结构和各种运算规律，故可视为一个空。

13、第3章、 矩阵的分解,Matrix Factorization and Decomposition,矩阵分解的概述,矩阵的分解： A=A1+A2+Ak 矩阵的和 A=A1A2 Am 矩阵的乘积 矩阵分解的原则与意义： 实际应用的需要,理论上的需要 计算上的需要,显示原矩阵的某些特性 矩阵化简的方法与矩阵技术 主要技巧： 各种标准形的理论和计算方法 矩阵的分块,3.1 常见的矩阵标准形与分解,常见的标准形 等价标准形 相似标准形 合同标准形,本节分解： 三角分解 满秩分解 可对角化矩阵的谱分解,AT=A,相似标准形,等价标准形,一、矩阵的三角分解（triangular decomposition),方阵的LU和LDV分解。

14、矩阵论,课程：矩阵论（Matrix Theory） 学时： 48学时 （48 Lectures） 教材：矩阵论（第2版， 杨明、刘先忠编著），华中科技大学出版社，2005 任课教师： 杨 明（Dr. Yang Ming）,http:/ math.hust.edu.cn/gksx/,前言,一、课程介绍 研究内容： 矩阵与线性空间和线性变换 以矩阵为工具研究问题 在其中发展矩阵理论 矩阵在各种意义下的化简与分解 矩阵的分析理论 各类矩阵的性质研究 矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。,二、教学安排,学时配置 讲授第1章至第6章 (48学时)第1章：10学时; 第2。

15、矩阵的分解汇总,目录,三角分解(LU分解) Cholesky分解 满秩分解 矩阵的QR分解 矩阵的奇异值分解 矩阵的谱分解,三角分解(LU分解),矩阵的三角分解主要是用来解方程组Ax=b.如果A=LU,其中L为下三角，U为上三角，则方程组Axb等价于Ly=b,Ux=y.,若下三角矩阵L是单位下三角矩阵，称ALU为Doolittle分解； 若上三角矩阵U是单位上三角矩阵，称A=LU为Crout分解 矩阵分解A=LDU，其中，L为单位下三角矩阵，U为单位上三角矩阵。,Cholesky分解,A是实的对称正定矩阵（或者复Hermite正定矩阵）， 则存在唯一的下三角阵G，使得A=GGT,其中，G的对角元全正。这种。

16、矩 阵 论 电 子 教 程,Department of Mathematics, School of Sciences,哈尔滨工程大学理学院应用数学系,课前预习、课中提高效率、课后复习 书后要求的习题、主动自觉做 改变思维观念“研究”,建 议,E-mail: wuhm_1981 163.com,授课教师： 吴红梅,Tel: 82519384,课程的目的理解抽象！,课程的本质研究结构！,矩 阵 论,线 性 空 间 与 线 性 映 射 Linear space and linear mapping,第 一 章,教 学 内 容 和 基 本 要 求,1，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；,2, 掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关性质；,3, 理解线性。

17、矩 阵 论 电 子 教 程,武汉理工大学理学院数学系,课前预习、课中提高效率、课后复习 书后要求的习题、主动自觉做 改变思维观念“研究”,建 议,使用教材, 矩阵分析简明教程 ,曾祥金张亮主编,其他辅导类参考书（自选）,E-mail: cyj66126.com,授课教师： 楚杨杰,Tel: 15927667299,课程的目的理解抽象！,课程的本质研究结构！,矩 阵 论,。

18、第6章 范数与极限,6.1 向量范数,6.2 矩阵范数,6.3 矩阵序列与矩阵级数,6.4 矩阵扰动分析,6.1 向量范数,定义6.1.1 设V是数域P上的线性空间，|是以V中 的向量为自变量的非负实值函数，如果它满足以 下三个条件：,则称|为向量的范数，并称定义了范数的线性空 间为赋范线性空间。,对赋范线性空间V中任意向量,有,在赋范线性空间V中，由范数可定义两点间的距离。,例. 在线性空间Ca, b中，对任意,例.,定理6.1.1（Hlder不等式）,定理6.1.2（Minkowski不等式）,定理6.1.3,定理6.1.4,定理6.1.5,定理6.1.6,定义6.1.2,定理6.1.7 有限维线性空间V 上的。