1、1,工 程,矩阵论,湖北大学物电系,2,矩阵论,课程：矩阵论（Matrix Theory） 学时： 54学时 （54 Lectures） 教材：矩阵论（第2版， 杨明、刘先忠编著），华中科技大学出版社，2005 任课教师： 谌雨章（Dr. Yuzhang Chen）,3,参考书1.线性代数，华中科技大学数学系，高等教育出版社2.Matrix Analysis, R.A.Horn and C.R.Johnson, Cambridge University Press, 2004(中译本，杨奇译，机械工业出版社）,4,一、本课程性质,基础课 承前启后,概述,5,二、学习目的和方法,重点是基本理论，
2、基本方法； 结合授课内容，理解课本； 通过例题，理解概念； 通过练习题，熟悉理论和方法； 通过MATLAB学习，初步了解和掌握矩阵理论在科研中的作用 考试：（课堂作业+卷面分数）,6,1、证明不重要, 但必须记住并用原理来计算和应用 2、结合实践理解,三、学习要求,学院要求： 1、课堂点名，没有请假，三次不到者取消考试资格 2、实行闭卷卷面考试,7,本课程内容,第一章 线性空间与线性变换 第二章 Jordan标准形 第三章 矩阵分解 第四章 矩阵的广义逆 第五章 矩阵分析 第六章 矩阵的 Kronecker 积与 Hadamard 积 第七章 matlab中的矩阵及其基本运算,8,前言 线性代
3、数,行列式 矩阵及其基本运算 线性方程组 向量组的极大无关组和秩 方阵的特征值与特征向量,9,线性代数回顾,线性代数的重要目标是解线性方程组 而解线性方程组经常要用到行列式的概念,10,二元一次方程组,11,二阶行列式,12,三阶行列式,-,-,-,+,+,+,13,行列式按第一行展开,余子式,代数余子式,14,n阶行列式,定义 由n2个数aij(i,j=1,2,.,n)组成的n阶行列式,当n=1时D=a11; 当n2时, 定义,15,其中 A1j=(-1)1+j M1j , M1j是D中去掉第1行第j列全部元素后, 按原顺序排成的n-1阶行列式, 即,称M1j为元素a1j的余子式, A1j为
4、元素a1j的代数余子式,行列式按任一行(列)展开, 其值相等,16,性质5 行列式中某各元素乘常数k加到另一行对应元素上, 行列式的值不变(简称: 对行列式做倍加行变换, 其值不变), 即,17,18,例 (保留a12, 将第2列其余元素变为0),19,20,矩阵,21,线性方程组可用一张矩形数表 表示,22,定义 数域F中mn个数aij(i=1,2,.,m;j=1,2,n)排成m行n列, 并括以方括弧(或圆括弧)的数表,称为F上的mn矩阵, 通常用大写字母记作A或Amn, 有时也记作A=aijmn (i=1,2,.,m;j=1,2,.,n) 其中aij称为矩阵A的第i行第j列元素.,23,m
5、n个元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记作0. 当m=n时, 称A为n阶矩阵(或n阶方阵). 线性方程组对应的矩阵称为方程组的增广矩阵, 记作A,b, 其中由未知元的系数排成的矩阵A称为方程组的系数矩阵.,24,矩阵的加法 数量乘法,25,定义1 如果两个矩阵A=aij和B=bij的行数和列数分别相等, 且各对应元素也相等, 即aij=bij (i=1,2,.,m; j=1,2,.,n), 就称A和B相等, 记作A=B. 例如由,立即可得x=3, y=2, z=-8.,26,应注意矩阵与行列式的本质区别. 行列式是一个算式, 一个数字行列式经过计算可求得其值, 而矩阵是一个数表, 它的行数和列数也
6、可以不同. 对于n阶方阵, 虽然有时也要算它的行列式, 记作|A|或det A, 但是方阵A和方阵A的行列式是不同的概念, 当det A=0(此时A不一定是零矩阵)时, 称A为奇异矩阵; 当det A0时, 称A为非奇异矩阵.,27,矩阵的加法 定义2 设A=aij和B=bij是两个mn矩阵, 规定,并称A+B为A与B之和. 只有行数与列数都相同的矩阵(即同型矩阵)才能相加, 且同型矩阵之和仍是同型矩阵.,28,矩阵的数量乘法(简称数乘) 定义3 设k是数域F中的任意一个数, A=aij是一个mn矩阵, 规定,并称这个矩阵为k与A的数量乘积.,29,矩阵的乘法 定义4 设A是一个mn矩阵, B
7、是一个ns矩阵,则A与B之乘积AB(记作C=cij)是一个ms矩阵, 且,30,注意BA没有意义(不可乘).,31,则,如AB=0, 称A是B的左零因子, B是A的右零因子.,32,定义5 主对角元全为1, 其余元素全为零的n阶矩阵, 称为n阶单位矩阵, 记作In或I; 主对角元全为非零常数k, 其余元素全为零的n阶矩阵, 称为n阶数量矩阵, 记作kIn或kI, 即,ImAmn=Amn, AmnIn=Amn.,33,定义6 非主对角元皆为零的n阶矩阵称为n阶对角矩阵(简称对角阵), 记作A, 即,34,35,定义7 n阶矩阵A=aijmn, 当ij时, aij=0, (j=1,2,.,n-1)
8、的矩阵称为上三角矩阵; 当ij时, aij=0(j=2,3,.,n)的矩阵称为下三角矩阵. 易证两个上三角矩阵的乘积还是上三角矩阵, 两个下三角矩阵的乘积还是下三角矩阵.,36,定义1 把一个mn矩阵,的行列互换得到的一个nm矩阵, 称之为A的转置矩阵, 记作A或AT, 即,37,矩阵的转置运算满足以下运算规律: (i) (AT)T=A; (ii) (A+B)T=AT+BT; (iii) (kA)T=kAT (k是数); (iv) (AB)T=BTAT (A1A2.Ak)T=AkT.A2TA1T.,38,定义1 对于矩阵A, 如果存在一个矩阵B, 使得 AB=BA=I, 就称A为可逆矩阵, (
9、简称A可逆), 并称B是A的逆矩阵, 记作A-1, 即A-1=B. 由定义可知, 可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵. 由于A与B的地位是平等的, 所以也可称A是B的逆矩阵.,39,用消元法解线性方程组, 其消元步骤是对增广矩阵做三类行变换: (i) 以非零常数c乘矩阵的某一行; (ii) 将矩阵的某一行乘以常数c并加到另一行; (iii) 将矩阵的某两行对换位置. 这三类行变换统称为矩阵的初等行变换, (i)称为倍乘变换, (ii)称为倍加变换, (iii)称为对换变换. 在矩阵的其他一些问题里(如展开方阵的行列式), 也要对矩阵作上述三类初等列变换, 初等行,列变换统称为初等变换.,40,n维向
10、量及其线性相关性,41,数域,一个含有数0,1的数集F, 如果其中任意两个数关于数的四则运算封闭(除法的除数不为零), 即它们的和,差,积,商仍是F中的数,则数集F就称为一个数域.,42,全体有理数, 实数, 复数级成的数集都是数域, 称为有理数域, 实数域, 复数域, 分别记作Q, R, C.,43,定义1 数域F上的n个数a1,a2,.,an构成的有序数组, 称为数域F上的一个n元向量(以后常称n维向量), 记作 a=a1,a2,.,an, (3.2) 其中ai称为a的第i个分量. 向量写作(3.2)的形式, 称为行向量; 向量写作列的形式(也用矩阵的转置记号表示) a=a1,a2,.,a
11、nT (3.3) 称为列向量(3.2),(3.3)式的方括号也可用圆括号). 数域F上全体n元向量级成的集合, 记作Fn.,44,如果对m个向量a1,a2,.,amFn, 有m个不全为零的数k1,k2,.,kmF, 使 k1a1+k2a2+.+kmam=0 成立, 则称a1,a2,.,am线性相关; 否则, 称a1,a2,.,am线性无关. 即只有当k1,k2,.,km全为零时, 才有 k1a1+k2a2+.+kmam=0 成立,就称a1,a2,.,am线性无关.,45,向量组的秩可定义为: 若向量组中存在r个线性无关的向量, 且任何r+1个向量都线性相关, 就称数r为向量组的秩. 由此可知,
12、 秩为r的向量组中, 任一个线性无关的部分组最多只含r个向量. 因此, 秩为r的向量组中含有r个向量的线性无关组, 称为该向量组的极大线性无关组. 一般情况下, 极大线性无关组不唯一, 但不同的极大线性无关组所含向量个数是相同的.,46,对于矩阵A, 把它的每一行(列)称为A的一个行(列)向量, 把A的行(列)向量组的秩称为A的行(列)秩. 显然, mn矩阵A的行秩m, 列秩n.,如果对矩阵A作初等行变换将其化为B, 则B的行秩等于A的行秩.,47,例 设向量组:a1=-1,-1,0,0T, a2=1,2,1,-1T, a3=0,1,1,-1T, a4=1,3,2,1T, a5=2,6,4,-
13、1T. 试求向量组的秩及其一个极大线性无关组, 并将其余向量用这个极大线性无关组线性表示.,解 作矩阵A=a1,a2,a3,a4,a5, 对A作初等行变换将其化为行简化阶梯阵, 即,48,49,50,51,52,将U记作z1,z2,z3,z4,z5. 易见z1,z2,z4是U的一个极大无关组,53,易见z1,z2,z4是U的一个极大无关组, 所以a1,a2,a4也是A的列向量组的一个极大无关组, 故秩a1,a2,a3,a4,a5=3, 令 x1a1+x2a2+x4a4=a3 y1a1+y2a2+y4a4=a5 用高斯消元法解这两个线性方程组可利用阶梯阵U, 得,54,得 a3=a1+a2, a
14、5=a1+2a2+a4. 如果只需求向量组的秩和极大线性无关组, 只要对A作初等行变换将其化为一般的阶梯阵, 而不必化为行简化阶梯阵.,55,56,57,线性空间和线性变换,第一章,58,基本概念, 集合：笼统地说是指一些事物（或者对象，称为元素）组成的整体。 数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。,59,向量空间,设V是数域F上的n维向量构成的非空集合，且满足 （1）若 ， （2）若称集合V为数域F上的向量空间，若F为实/复数域，则称V为实/复向量空间,60,第一节 线性空间的定义,用F表示实数全体（R）或复数全体（C）.,61,如果满足下述公理， 则称V是数域F上的线性空间， V中的元素称为向量。,62,例1,63,例1（续）,64,线性空间的性质,65,第二节 基、维数和坐标,如：,在线性空间中可以定义线性组合、线性表示、线性相关、线性无关，向量组的极大线性无关组、秩等概念。,66,一些重要结论,67,68,例2,69,定义（基，维数）,70,注：,71,例3,72,定理1,73,定义（坐标）：,74,例5,75,例6,76,注,线性空间的基是有序的。 基相当于几何空间中的坐标系。,77,定理2,78,例7,79,例8,
