华东师大-第四版-数学分析上册-课件

1、和一个真分式之和.,其一般形式为:,后退 前进 目录 退出,有理函数的部分分式分解,1. 对分母 Q(x) 在实数系内作标准分解:,2. 根据分母各个因式分别写出与之相应的部分分,其分解步骤称为部分分式分解.具体步骤简述如下:,式.,有理函数的部分分式分解,把所有部分分式加起来,使之等于 Q(x), 由此确定,上述部分分式中的待定系数 Ai , Bi , Ci .,有理函数的部分分式分解,3. 确定待定系数的方法,把所有分式通分相加, 所得分式的分子与原分子,组, 由此解出待定系数.,必定相等的原则, 得到待定系数所满足的线性方程,P(x) 应该相等.,根据两个多项式相等时同次项系数,有理函数的部分分式分解,有理函数的部分分式分解,分式分解.,比较同次项系数, 得到线性方程组,解得,于是完成了R(x) 的部分分式分解:,有理函数的部分分式分解,任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形,有理真分式的递推公式,下面解这两类积分.,式的不定积分之和：,有理真分式的递推公式,有理真分式的递推公式,有理真分式的递推公式,解得,有理真分式的递推公式,解 由例1,例2。

2、易导出以下性质1 和性质2.,无穷积分的性质,则,无穷积分的性质,性质2相当于积分区间可加性.,由性质2还可以得到,收敛的另一个充要条件:,h(x) 在任意 a, u上可积, 且,证 因为,收敛,由柯西准则的必要性,无穷积分的性质,再由柯西准则的充分性,无穷积分的性质,无穷积分的性质,非负函数无穷积分的收敛判别法,收敛的充要条件是:,非负函数无穷积分的收敛判别法,增函数的收敛判别准则,由单调递,非负函数无穷积分的收敛判别法,证,由非负函数无穷积分的判别法,非负函数无穷积分的收敛判别法,设定义在 上的两个非负函数 f , g在任何有,限区间a, u上可积, 且满足,解,显然,非负函数无穷积分的收敛判别法,第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立.,非负函数无穷积分的收敛判别法,设 f (x), g(x) 是 上的非负连续函数. 证,例3,设非负函数 f 和 g 在任何 a, u 上可积, 且,非负函数无穷积分的收敛判别法,证,即,非负函数无穷积分的收敛判别法,非负函数无穷积分的收敛判别法,设 f 是定义在 。

3、调函数,单调函数,例6,单调函数,例7,证,当,单调函数,奇函数和偶函数,奇函数与偶函数,函数，从而它也是奇函数.,而,奇函数与偶函数,周期函数,见下图.,周期函数,注1 周期函数的定义域不一定是R. 例如：,例8,注2 周期函数不一定有最小周期. 例如狄利克雷函,数以任意正有理数为周期，但没有最小周期.,例9 任意正有理数是狄利克雷函数 的周期.,证 设,因此,周期函数,1.f(x)在a,b上定义，是否一定存在某个区间,上是单调函数?,2.构造在0,1上定义的函数f(x),使其在任何,3. 用肯定语句叙述下列概念:,(1) 非周期函数；(2) 非奇函数；,(3) 非单调增函数.,。

4、标平面与平面点集,在平面上确定了一个直角坐标系之后，所有有序实数对(x,y)与平面上所有的点之间就建立了一一对应。
确定了直角坐标系的平面，称为坐标平面； 在坐标平面上满足某种条件P的点的集合称为平面点集，记作,平面点集的例子,二元函数的定义,求二元函数的定义域与值域,中邻域的概念,中邻域的概念,内点、外点与边界点的概念,内点、外点与边界点的概念,1. 点集E的内点一定属于E;2. 点集E的外点一定不属于E;3. 点集E的边界点有可能属于E,也有可能不属于E,聚点与孤立点的概念,开集与闭集，开区域与闭区域,1. 若平面点集E中每一点都是E的内点，则称E为开集. 2. 若平面点集E的所有聚点都属于E，则称E为闭集. 3. 非空的连通开集称为开区域. 4. 开区域连同其边界构成的点集称为闭区域. 若集合E中任意两点之间都可以用属于E的折线连接起来，则称E为连通集!,既开又闭的平面点集,规定 和空集既是开集又是闭集.,点集的直径，有界集与无界集,完备性定理,一元函数极限理论的基础是实数理论，即反映实数系完备性的六个等价定理。
这些定理可以推广到 ，它们是二元函数极。

5、曲面积分的计算,第一型曲面积分的计算,第二型曲面积分,第二型曲面积分的定义：,第二型曲面积分,第二型曲面积分,第二型曲面积分,第二型曲面积分,双侧曲面,在日常生活中我们见到的曲面总是可分出它的两侧(双侧曲面)。
比如一张纸可以谈它的上侧和下侧；一个皮球可以分出里侧和外侧等等.通俗地说在双侧曲面的一侧涂上一种颜色，而在另一侧上涂上另一种颜色，这两种颜色不会相碰。
,双侧曲面,第二型曲面积分的计算,例题,解答,解答,例题,解答,解答,第二型曲面积分的计算,第二型曲面积分的计算,两类曲面积分之间的联系,与曲线积分的情形类似, 当双侧曲面的正侧和负侧确定之后, 可以建立两种类型曲面积分之间的联系。
,Gauss公式,Gauss公式,证明,证明,证明,证明,例题,解答,例题,解答,例题,解答,例题,解答,解答,解答,Stokes公式,Stokes公式,Stokes公式,证明,证明,证明,证明,证明,Stokes公式,例题,解答,曲线积分与积分路径的无关性,利用Stokes公式可以推导出空间曲线积分与积分路径无关的条。

6、性质 3数列极限存在的条件,数列极限的概念,定义1 设 为数列 a为定数，若对 定义1 任给 0 定义2 若 定理2.1 定义3 定义4,收敛函数的性质,定理2.2 定理2.3 定理2.4 定理2.5 定理2.6 定理,第三章 函数极限,1 函数极限的概念 2 函数极限的性质 3 函数极限存在的条件 4 两个重要的极限 5无穷小量与无穷的大量,第四章 函数的连续性,1 连续性概念 2连续函数的概念 3初等函数的连续性,第五章 导数和微分,1 倒数的概念 2求导法则 3参变量的函数 4高阶导数 5微分,第六章微分中值定理及其应用,1 拉格朗日中值定理和函数的单调性 2 柯西中值定理和不定式极限 3泰勒公式 4函数的极值与极大极小值 5函数的凸性与拐点 6 函数图像的讨论 7方程的近似解,1 拉格朗日中值定理和函数的单调性,一 罗尔定理与拉格朗日定理 二 单调函数,罗尔(Rolle)定理,例如,拉格朗日(Lagrange)中值定理,2 柯西中值定理和不定式极限,一 柯西中值定理 二 不定式极限,三、柯西(Cauchy)中值定理,洛比达法则,定义,。