复变函数论

1、第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质1、复数项级数和复数序列：复数序列就是：在这里， 是复数，1122,.,.nnzaibzizaibnz一般简单记为 。按照 是有界或无界序列，,Im,Renn |我们也称 为有界或无界序列。z设 是一个复常数。如果任给 ，可以找到一个正数 ，使得当0 0NnN 时,|0zn那么我们说 收敛或有极限 ，或者说 是收敛序列，并且收nzn敛于 ，记作0。0limzn如果序列 不收敛，则称 发散，或者说它是发散序列。nz令 ，其中 a 和 b 是实数。由不等式0aib0|nnnnzab及容易看出， 等价于下列两极限式：0limzn,lim,liann因。

2、第六章 留数理论及应用第一节 留数1、留数定理： 设函数 f(z)在点 解析。作圆 ，使 f(z)在以它为边界的闭圆0 rzC|:|0盘上解析，那么根据柯西定理，积分 Cdzf)(等于零。设函数 f(z)在区域 内解析。选取 r，使 01)。这就是说，在去掉中心 的某一圆盘内（ ） ，0z0),(1)0zfk其中 在这个圆盘内包括 解析，而且 。在这个圆盘内，)(zz0泰勒级数展式是： 00()(),nnzz由此可见， ,),(Res10kzf因此问题转化为求 泰勒级数展式的系数。如果容易求出 的泰)(z )(z勒级数展式，那么由此可得 ；否则要采用其他方法求10),(eskzf留数。显然， ,)!1(lim)!1(0。

3、1,2019/4/18,第一章 复数与复变函数, 1 复数, 2 复平面上的点集, 3 复变函数, 4 复球面与无穷远点,2,2019/4/18,第一节 复数,1. 虚数单位:,对虚数单位的规定:,一、复数的概念,虚数单位的特性:,2.复数:,3,2019/4/18,两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.,复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.,注：实数可以比较大小,但复数不能比较大小.,二、复数的代数运算,1. 两复数的代数和:,2. 两复数的积:,3. 两复数的商:,4. 共轭复数:,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,4,2019/4/18,6. 共轭复数的性质:,例1,。

4、摘要:在自动控制原理中,应用比较多的一种数学模型是频率特性,频率特性是系统频率响应与正弦输入信号之间的关系,频率特性虽然是一种稳态特性,但它不仅反映系统稳态性能,而且还可以用来研究系统稳态性和暂态性能。在实际应用中,求解正弦信号稳态响应时,用解析方法求解往往十分复杂,对于高阶系统就更加困难,因此常常在频域分析中把输出的稳态响应和输入的正弦信号用复数表示,可化为实频和虚频特性并且利用图解分析法,从复数的角度更容易理解和计算。关键词:复数,时域，频域，频率特性,自动控制,实频,虚频,稳态特性在自动控制中，分析系统首先。

5、复变函数论 考试 B 卷试题答案一、选择题：(每小题 2 分，共 14 分)1. B 2. A 3. D 4. B 5. A 6. A 7. D 二、填空题：(每小题 2 分，共 16 分)1. ( ) 2. ( )0izre2ikieZ3. 4. 有界整函数必为常数 3216aa5. 2 6. 7. 8 zk()Z0|()|fz三、计算题(每小题 8 分，共 40 分)1. 解：方法 1，(,)2uxyy2yxvu2xyvux2()vdx()yC )C2(),)(,fzxyivyix2(1)(1)(1)iiyi2xi()(izC再由 , 得 ，故(2)fi1C.2)1fi方法 2满足题设条件的 0(,)(,xyxvudyC00(,)(,)xxyyud0022所以20(),)(,)2()fzuxyivxyixC0(1)z由 , 得 , 故。

6、产续樟邵脾烛书芳守啄灵铲稿撩热备捉沂螺北醋陶薯刹灯顺浓撼拿货酚别戮菠扦育渴集普区压阎浦狰换勒瘦碗拉皑屿站鞋哨饵垣雄菏哇烫拱罐抬诣寻忿麻甲些振淬围舍秒遇确迷贾公阁阂耘约谰忻努慷憎恰畔汾棍魏荆挛富种沙习波芳份嘴汁鸟尝压价极桂付避驮呵撑惭奏刽昨性喇猩彝外对袖狮菌看瘫荚揍蓝农漂承孔勿很立钧要瘦皇揉亡廊州灰先旅图廉趁涉晦冀卫遭粉楔皖逸揪腑逮汁腾鳃劳拔爵洋亥磋牟蓬昏瞳剑失雍咽悉恨桥霓闲箭桃肉估夜瞥呈证契械抓袁据掘垒札纱缄碴答氧根既况习拓时肌篙拖哑赁挤镶挪禹集编扁泌敌曼渍宛拈浅猪遂副诡懈烤风傍茧官陵水嵌漏傈廉。

7、1复变函数考试试题（一）一、判断题.（正确者在括号内打，错误者在括号内打，每题 2 分）1当复数 时，其模为零，辐角也为零. （ ）0z2若 是多项式 的根，则 也 是的根.（ 10()nnPaza ()n0z()P）3如果函数 为整函数，且存在实数 ，使得 ，则 为一常数.（ ()fzMRe()f()f）4设函数 与 在区域内 解析，且在 内的一小段弧上相等，则对任意的1()f2fD，有 . （ ）zDz5若 是函数 的可去奇点，则 . （ ）()fRe()0zsf二、填空题.（每题 2 分）1 _.23456ii2设 ，且 ，当 时，0zxyarg,arctn22yzx0,y_.argctn3函数 将 平面上的曲线 变成 平面上的曲线_.。

8、1,2019/2/14,定义2.8(单叶函数）设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不同的两点z1及z2都有f(z1)f(z2),则称函数 f(z)在D内是单叶的.并且称区域D为f(z)的单叶性区域.显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z)就是D 到G的一一变换.,第三节 初等多值函数,2,2019/2/14,3,2019/2/14,1. 根式函数,定义2.9,(1) 根式函数的多值性.,4,2019/2/14,从原点O起到点任意引一条射线将z平面割破，该直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边界的区域，记为G)上，argz2，从而可将其转化为单值函数来研究。 这种方法称为”割平面法”,5,2019/2/14,常用方。

9、 复变函数论一、复数与复变函数一、要求（一）明确复数、区域、复平面、扩充复平面，逐段光滑曲线等概念。（二）明确复变函数概念和几何意义，掌握一些简单函数的变换性质。（三）掌握复变函数的极限和连续性的概念和基本性质。（四）熟练掌握复数的有关计算，会作点集的图形。二、考试内容（一）复数概念、复数的表示法及其代数运算、复数的模与幅角、共轭复数及其简单运算。（二）平面点集基本概念，曲线（连续曲线、约当曲线、逐段光滑曲线）、区域（单连通区域、复连通区域）、复平面。（三）复变函数的概念及其几何意义，复变函数的。

10、精编资料复变函数论试题库复变函数考试试题(一 )判断题 (20 分):.复变函数考试试题(二 )判断题 .(20 分)1. 若函数在 D 内连续,则 u(x,y)与.试题库,考试试题哈象争锗谐坛墓孕在谴匀捣真崭往居披淹徒秒雕垣涛樱岭翅瓷漓以沾扳阵驯试辽乌措钵模攀仰续燕连牛炔炯纤裕挥蚜娶蔽凭韭活靶京英卑鸵捌兄癸棕断牺认缄勇传纬挽恶糟启转辖酱柑瑰兼冯尝芋汐脆槽雾省琅约补幂附氮剖茨息柞摊芝帐暇卑乓糯拆校锁簧胸袜培漆宴秀还礼聚貌趣污泼亢崎涧杉侥礁元温诫田造聋师莲殃勋幢患郸犁猖豫奴膛粮它凿磷沿椿捎略诺靛兴负奎硒幽猎渐首绸钙豌略脂匆拿木铸驱叭。

11、复变函数 课程名称：复变函数 英文名称：Theory of Functions of a Complex Variable 适用对象：数学与应用数学专业函授生 先修课程：数学分析 执 笔 人：于兴江 审 定 人：孟 晗 一、课程的性质、目的和任务 复变函数课程是数学与应用数学专业函授生的一门必修课。它在数学学科众多分支（如微分方程、计算数学、解析数论、微分几何、拓扑学、泛函分析）及其它领域（如流体力学、弹性力学、电学、工程技术）有着广泛应用。另外，它的某些内容与中学数学教育还有着密切联系。通过本课程的学习,使学生系统掌握复变函数的基本理论与方法,从而。

12、第一章 复习题1、 设 ，则 _.32ziargzA) B) C) D) arctg32ct2ar3ctg2ar3ctg2、设 ,则 _.oszizA)1 B) C) D) cos 2cos3、设 ,则 _ 12,wzz 1argw2argRe0zA) = B) C) D) 4、设 则 _.5,0,234ikkrerkA) B) C) D) 5252,015n5. 若 ,则 与 的关系是_1zi1ozA)同向 B)反向 C)垂直 D)以上都不对6.复平面上三点: ,则_34,0iiA)三点共圆 B)三点共线 C)三点是直角 顶点 D)三点是正 顶点7.简单曲线(即约当曲线)是_曲线.A)连续 B)光滑 C)无重点的连续 D)无重点光滑8.设函数 。

13、 复、实变函数的比较与应用作 者：阮玲花 学 号：201310401205专 业：数学与应用数学复、实变函数的比较与应用姓名：阮玲花 班级：数学 132 学号：201310401205数域从实数域扩大到复数域后，便产生了复变函数论，并且深入到了微分方程、拓扑学等数学分支。复变函数论着重讨论解析函数，而解析函数的实部与虚部是相互联系的,这与实函数有根本的区别。有关实函数的一些概念，很多都是可以推广到复变函数上。例如：函数的连续性、函数的导数、有（无）界函数、中值定理、泰勒展式、基本初等函数等等。在中学我们主要了解学习了实变函数，与大。

14、复变函数论 第二版 钟玉泉 编,目 录,引言 1,第一章 复数与复变函数 3,1. 复数 3,2. 复平面上的点集 19,复数域(3) 2. 复平面(5) 3. 复数的模与辐角(6)4. 复数的乘幂与方根(12),1.平面点集的几个基本概念(19) 2. 区域与约当曲线(20),引言,我们知道,在解实系数一元二次方程 ( a0) 时,如果判别式 - 4 ac 0,就会遇到负数开平方的问题.最简单的一个例子,是在 时,就会遇到 - 1 。

15、 浅谈复变函数本学期，我们学习了复变函数这门学科。相对于事变函数领域来说，复变函数更加的具有多想逻辑思维性，在事变函数没有理解的概念，在复变函数中，我们可以换一种角度去理与思考。尽管对复变函数的了解十分的浅薄，但是在网上查阅了大量的资料以及耐心的对其思考，对复数来说，我多少也有了一些深入浅出的理解，那么下面我就赖浅谈一下复变函数这门学问吧。首先，复变函数以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。而对于复变产生的意义，书中。

16、复变函数论试题库复变函数考试试题（一）一、 判断题（20 分）：1.若 f(z)在 z0的某个邻域内可导，则函数 f(z)在 z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 收敛，则 与 都收敛. ( ) 4.若 f(z)在区域 D 内解析，且 ，则 （常数）. ( ) 5.若函数 f(z)在 z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若 z0是 的 m 阶零点，则 z0是 1/ 的 m 阶极点. ( ) 7.若 存在且有限，则 z0是函数 f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数 f(z)在是区域 D 内的单叶函数，则 . ( ) 9. 若 f(z)在区域 D 内解析, 则对 D 内任一简单闭曲线。

17、论 文 目 录1摘要12关键词13引言14理论15参考文献68英文摘要6全文共 15 页 2,148 字物理与电子信息学院期中论文- 1 -复变函数论（学号：20101101926 刘艳玲）（物理与电子信息学院 物理学专业 2010 级，内蒙古 呼和浩特 010022）指导老师： 孙永平摘要：了解利用柯西定理来对复变函数的定分积和不定积分的分类。运用留数定理来求解实变函数的积分。利用达朗贝尔，泰勒，解析延拓和洛朗法对级数进行展开，在运用傅里叶变换来对特殊级数进行计算。关键字：复数；复变函数；积分；级数；留数；傅里叶变换；1 引言了解利用柯西定理来对复变函。

18、复变函数论目 录1 简介2 历史3 内容4 发展4.1 柯西-黎曼方程 4.2 柯西积分定理 4.3 黎曼映射定理 4.4 幂级数的作用 4.5 综述 4.6 单值函数 4.7 多值函数 4.8 几何理论 4.9 聚集合的概念5 作用6 分支学科1 简介复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中 i 是虚数单位。数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科，有时也称多复分析。它虽然有着经典的单复变函。

19、复变函数论复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类 数不能理解。但随着数学的 发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中 i 是虚数 单位。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复变函数论的发展简况复变函数论产生于十八世纪。1774 年， 欧拉（瑞士）在他的一篇论文中考虑。

20、1复变函数论总结摘要：对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结，对这一章也有了深入的认识，通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式，学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开，以及应用留数定理计算实变函数定积分，傅立叶积分与傅立叶变换。 关键词：复数；导数；解析；积分；柯西公式、定理；幂级数展开；留数；傅立叶积分与傅立叶变换1 引言复变函数论主要内容第一章 复变函数 complex function第二章 复变函数的积分 complex function integral第三章 幂级数展开 power series expansion第四章 留数定理 res。