1、复变函数论 考试 B 卷试题答案一、选择题：(每小题 2 分，共 14 分)1. B 2. A 3. D 4. B 5. A 6. A 7. D 二、填空题：(每小题 2 分，共 16 分)1. ( ) 2. ( )0izre2ikieZ3. 4. 有界整函数必为常数 3216aa5. 2 6. 7. 8 zk()Z0|()|fz三、计算题(每小题 8 分，共 40 分)1. 解：方法 1，(,)2uxyy2yxvu2xyvux2()vdx()yC )C2(),)(,fzxyivyix2(1)(1)(1)iiyi2xi()(izC再由 , 得 ，故(2)fi1C.2)1fi方法 2满足题设条件
2、的 0(,)(,xyxvudyC00(,)(,)xxyyud0022所以20(),)(,)2()fzuxyivxyixC0(1)z由 , 得 , 故(0)f01C.2()fzi2. ( 1 ) 解： 方法 1因为 在 及其所围的区域内处处解析，由柯西积分公式可得29z|. 2|(9)zdzi2|9zdi29()5i方法 2 显然 是被积函数 的一阶极点，由留数定理得到i 2()(fziRes2|(9)zdzii,2lm()9()zi zi5(2 ) cos1x2cos01x2cossn11xxddRes Resizedi2(,)ize2(,1)ize.()sin2ii i3. 解： ()1(1
3、3zf z0)3nnz12()nn(|1|3)z4. 解：所给函数有两个一阶极点 所以 12,zRes 21,lim()lizzeefRes11, ,2zzz 所以由推广的留数定理，Res .,()2eef5. 解：由于 z=0, 是 的支点，故从原点出发沿负实轴割破 z 平面.z3分出解析分支 wk= |(arg)zeki32由 wk(i)=-i，得-i= 2(),ike故 w(-i)= |iei3416四、证明题（每小题 10 分，共 30 分）1. 证明：设 i , 由题设条件(),)fzuxy()vIm （常数）知 ，再由 C. R. 条件 ，1(),)fzvxyC0vxyuv可得 ，从而由全微分性质 (常数) ，故yu0u 2,Ci (常数).2f12. 证明： 而直线段的长度24)|()|1,fzxiyfzxyM所以有估值定理有,L2|(|id|2.CCfdL3. 证明：令 则在单位圆 上，4)7,)sn,fzgzz|1z4 Im|()|,|2si1|i|37,fz e故在 上， 由儒歇定理，在单位圆 内，1(|,f |与 有相同的零点个数，又在单位7f4)izz圆 内， 只有一个零点，故在单位圆 内，|z7f |1z4()72sinfg只有一个零点，即在单位圆 内， 恰有一个根.|1zi7z
