方程的幂级数解法

1、9.2 常点邻域上的级数解法 一、线性二阶常微分方程 特殊函数方程大多为二阶线性常微分方程， 一般形式(实数域)为： 更一般的形式为(推广至复数域)其中z为复变数，z0为选定的点，c0和c1为任给的,二、常点邻域内的级数解 1. 微分方程解析理论的基本定理： 若p(z)和q(z)在圆|z-z0|R内单值解析，则方程在圆内存在唯一的解w(z) ，且满足初值条件 ， ，且w(z)在圆域内单值解析。 2. 解的形式： 由上述定理，在|z-z0|R内w(z)可写成泰勒级数 将代入可确定系数ak(用c0和c1表示)，这种方法称为级数解法。,三、勒让德方程 自然边界条件 例：x0=0的邻。

2、1,第九章 二阶常微分方程级数解法本征值问题,特殊函数常微分方程 常点邻域上的级数解法 正则奇点邻域上的级数解法 施图姆-刘维尔本征值问题(自学),2,特殊函数常微分方程,1.Laplace方程2.波动方程3.输运方程4.亥姆霍兹方程,3,(1) 球坐标系中的表示球坐标系中的Laplace方程为,1.Laplace方程,首先将r与方向变数分离开，设假设常数为l(l+1),得,4,Y与半径r无关，故称为球面函数，简称球函数，因此 它的方程称为球函数方程。,解关于R的方程,5,将球函数方程进一步分离变数，有第一个方程加上自然周期条件构成本征值问题，本征值为对应的本征函数。

3、第四章 二阶线性常微分方程的级数解法 SturmLiouville 本征值问题4.2 基础训练4.2.1 例题分析例 1 在 的邻域内求解常微分方程 0x 为 常 数 ）（ 02y解：这是一个常系数微分方程，且 ， 显然为方程的常点，)(,)(xqp由 Cauchy 定理，设 kaaxy210)(则 kxx121)()( kaaxy 232把以上结果代入方程【因为 都已是 Taylor 级数】 ，比较系数有2)(0)(xqp和 0453413221aa由此得递推公式 )(12kkk及022042)!(1!akaak 121214523)!()!akaak于是方程的级数解为 xakxxxy kksinco )!12()(!51)(!3(4)(101 220 或写成xaxysinco)(10其中 为任意常数10,a例 2 在 。

4、1,数学物理方法,第九章 二阶常微分方程的级数解法,2,第九章 二阶常微分方程的级数解法,概述常点邻域上的级数解法正则奇点邻域上的级数解法本章小结,3,一、概述,分离变量法,直角坐标系、平面极坐标,本征函数是三角函数,实际,正交曲面坐标系 （球坐标系和柱坐标系）,拉普拉斯方程的分离变量,球坐标系,勒让德方程,m = 0,l 阶勒让德方程,4,拉普拉斯方程,球坐标（r， , ）,（1）,代入（1）, ( 参考 梁 p226-229),5,柱坐标（，z）,贝塞尔方程,柱坐标系,拉普拉斯方程,6,求解线性二阶常微分方程 （带初始条件）,级数解法,收敛问题,方程的常点和奇。

5、2019/5/13,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一节,微分方程的幂级数解法,一、一阶微分方程问题,二、二阶齐次线性微分方程问题,微分方程解法:,积分法, 只能解一些特殊类型方程,幂级数法, 本节介绍,数值解法, 计算数学内容,本节内容:,第十二章,2019/5/13,高等数学课件,一、一阶微分方程问题,幂级数解法:,将其代入原方程, 比较同次幂系数可定常数,由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解.,设所求解为,本质上是待定系数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,例1.,解:,根据初始条件, 设所求特解为,代。

6、2019/4/18,常微分方程,4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法,2019/4/18,常微分方程,一、可降阶的一些方程类型,n阶微分方程的一般形式:,1 不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k1)阶导数的方程是,若能求得(4.58)的通解,对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解,即,2019/4/18,常微分方程,解题步骤:,第一步:,第二步:,求以上方程的通解,即,第三步:,对上式求k次积分,即得原方程的通解,2019/4/18,常微分方程,解,令,则方程化为,这是一阶方程,其通解为,即有,对上式积分4次, 得原方程的通解为,例1,2019/4/18,常微分方程,2 不显含自变量t。

7、幂级数解法本征值问题,第十一章,王建东,沙河校区计算机楼东206 jdwanguestc.edu.cn,11.1二阶常微分方程的幂级数解法,11.1.1幂级数解法理论概述,1. 球坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量,一、分离变量法求解偏微分方程：,可直接求解,可直接求解,对第3个方程作变量替换,为为 l 阶连带勒让德方程，不可直接求解,若讨论问题具有旋转轴对称性，即 m=0,为 l 阶勒让德方程，不可直接求解,2. 柱坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量,可直接求解,可直接求解,对第3个方程： (1) 若 0 ，作变换,为 m 贝塞尔方程，不可直接求解, =0可直接求解,(2) 若 0 ，。

8、二阶线性常微分方程的幂级数解法从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？例 1、求方程 的通解 0yx解：设 201naax为方程的解，这里 是待定常系数，将它对 微分两(,)i x次，有 21231(1)()nnyaxaxax 将 ， 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到， x210a30,a4130,a5240,a或一般的可推得，03256(31)kak，3147()ka320ka其中 ， 是任意的，因而代入设的解中可得：12363 470 1 5256(1)363(1)nxxxxya an 这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（。

9、4.4 高阶微分方程降阶法、二阶线性微分方程幂级数解法(Power series solution to second order linear ODE )教学内容 1. 介绍高阶方程降阶法 . 2. 介绍单摆方程及其椭圆积分函数.3. 介绍刘维尔公式求解二阶线性方程. 教学重难点 重点是知道振幅反应(Amplitude Response） ； 难点是知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换. 教学方法 预习 1、2；讲授 1、2考核目标 1. 知道共振现象. 2. 知道拉普拉斯变换的概念和性质 .3. 知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换. 1. 高阶方程降阶法例 68. 数学摆方程及其求解解：（1）模型描述：一根长度为 的线。

10、第三章 特征值问题与特殊函数,3.1 二阶常微分方程的幂级数解法,特征方程为,特解,1. 变系数常系数 （不是都可以用）,2. 幂级数法f(x)Taylor展开,在收敛区域内 收敛半径,解析：若 f(x) 在0点的某个邻域内C，且Taylor级数收敛，称 f 在0点解析。,解析函数由局部性质可推知整体性质.,3.1.1 幂级数解法理论概述,用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输,运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、,贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程用其他坐标,系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出,现各种各样的特殊。

11、第十二节 微分方程的幂级数解法,一、问题的提出 二、 特解的求法 三、二阶齐次线性方程幂级数求法 四、小结,一、问题的提出,解不能用初等函数或其积分式表达.,寻求近似解法:,幂级数解法;,数值解法.,卡比逐次逼近法;,二、 特解求法,问题,解,例1,比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得,小结:,无初始条件求解,(C是任意常数),定理,三、二阶齐次线性方程幂级数求法,作法,比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y.,解,例2,原方程的通解,四、小结,微分方程解题思路,一阶方程,高阶方程,分离变量法,全微分方程,常数变易法,特征方程法,待定系数法,非全微。

12、 一 问题的提出 解不能用初等函数或其积分式表达 寻求近似解法 幂级数解法 数值解法 卡比逐次逼近法 二 特解求法 问题 解 例1 比较恒等式两端x的同次幂的系数 得 小结 无初始条件求解 C是任意常数 定理 三 二阶齐次线性方程幂级数求法。

13、4.3 高阶方程的降阶法 和幂级数解法,Step-down Order Method and Series Method,4.2 内容回顾,1,2,方程类型,基本解组或通解,常数变易法,特解,相加,比较系数法,拉普拉斯变换法,求解方法,本节内容/Contents/,1 . 几类可降阶高阶方程,2 . 幂级数解法（求特解）,1) 方程不显含未知函数 及,则方程可降为 阶的方程，即可降 阶,4.3.1 可降阶的方程的类型,n 阶方程的一般形式,4.3 Step-down Order Method and Series Method,方法,令,则,的通解,若可求得,逐次积分 次，可得原方程的通解。,4.3 Step-down Order Method and Series Method,特别，对于。

14、微分方程的幂级数解法 一 问题的提出 解不能用初等函数或其积分式表达 寻求近似解法 幂级数解法 数值解法 雅卡比逐次逼近法 二 特解求法 问题 解 例1 比较恒等式两端x的同次幂的系数 得 小结 无初始条件求解 C是任意常数 定理 三 二阶齐次线性方程幂级数求法 作法 比较恒等式两端x的同次幂的系数 确定y 解 例2 原方程的通解 四 小结 微分方程解题思路 一阶方程 高阶方程 分离变量法 全微分。

15、 11 微分方程的幂级数解法 一 问题的提出 解不能用初等函数或其积分式表达 寻求近似解法 幂级数解法 数值解法 卡比逐次逼近法 二 特解求法 问题 解 例1 比较恒等式两端x的同次幂的系数 得 小结 无初始条件求解 C是任意常数 比较恒等式两端x的同次幂的系数 得 定理 三 二阶齐次线性方程幂级数求法 作法 比较恒等式两端x的同次幂的系数 确定y 解 例2 原方程的通解 四 小结 微分方程解题思。

16、,第十一节,微分方程的幂级数解法,一、一阶微分方程问题,二、二阶齐次线性微分方程问题,微分方程解法:,积分法, 只能解一些特殊类型方程,幂级数法, 本节介绍,数值解法, 计算数学内容,本节内容:,第七章,一、问题的提出,解不能用初等函数或其积分式表达.,寻求近似解法:,幂级数解法;,数值解法.,卡比逐次逼近法;,二、 特解求法,问题,假设所求特解可展开为 的幂级数,解,例1,比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得,小结:,无初始条件求解,(C是任意常数),定理,三、二阶齐次线性方程幂级数求法,作法,比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y.,解,例2,原方。

17、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,微分方程的幂级数解法,一、一阶微分方程问题,二、二阶齐次线性微分方程问题,微分方程解法:,积分法, 只能解一些特殊类型方程,幂级数法, 本节介绍,数值解法, 计算数学内容,本节内容:,第十二章,一、一阶微分方程问题,幂级数解法:,由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解.,设所求解为,本质上是待定系数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,解:,根据初始条件, 设所求特解为,代入原方程, 得,比较同次幂系数, 得,故所求解的幂级数前几项为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、二阶齐次线性微分方程,定理.。