1、9.2 常点邻域上的级数解法 一、线性二阶常微分方程 特殊函数方程大多为二阶线性常微分方程， 一般形式(实数域)为： 更一般的形式为(推广至复数域)其中z为复变数，z0为选定的点，c0和c1为任给的,二、常点邻域内的级数解 1. 微分方程解析理论的基本定理： 若p(z)和q(z)在圆|z-z0|R内单值解析，则方程在圆内存在唯一的解w(z) ，且满足初值条件 ， ，且w(z)在圆域内单值解析。 2. 解的形式： 由上述定理，在|z-z0|R内w(z)可写成泰勒级数 将代入可确定系数ak(用c0和c1表示)，这种方法称为级数解法。,三、勒让德方程 自然边界条件 例：x0=0的邻域上求解l阶勒让德
2、方程 解：方程可写成则显然x0=0是方程的常点，可设解为,代入方程，由下表合并相同幂次项的系数：,每列系数之和必为零，得递推公式,得到l 阶勒让德方程解：(两个级数之和) y0(x)只含偶次幂，为偶函数， y1(x)只含奇次幂，为奇函数， a0、a1为任意常数，可由初始条件确定,判断级数解的收敛性: 由递推公式可得收敛半径：所以， y0(x)、y1(x)收敛于|x|1,说明： (1)|x|=|cos|1，不存在x1的情况； (2)x=1，对应=0，=，对应极轴的正负方向，而y0(x)、y1(x)在x=1均发散(见P397)。 (3)可以证明l阶勒让德方程不存在形如且在x=1均有限的无穷级数解(
3、P193)； (4)自然边界条件构成的本征值问题实际问题中要求解在一切方向保持有限，即在x-1，1或0，上有限物理问题要求解在x=1保持有限，而y0(x)、y1(x)不满足该要求。,由及可见： a. l=2n(n是正整数)时，y0(x)退化为多项式，有限。可取a1=0保证解y(x)有限； b. l=2n+1(n是零或正整数)时，y1(x)退化为多项式，有限。可取a0=0保证解y(x)有限； 因此，要满足上述边界条件，即x=1保持有限，必须满足：本征值是l(l+1)(l为零或正整数)，相应的本征函数是l阶勒让德多项式。 通常把“解在x=1保持有限”说成是勒让德方程的自然边界条件。,勒让德方程 本
4、征值问题 解在x=1保持有限(自然边界条件)本征值是l(l+1),(l为零或正整数)，相应的本征函数是l阶勒让德多项式。 习题：(P194.2) 在x0=0的邻域上求解y“-xy=0 解： p(x)=0，q(x)=-x ，x0=0是常点。设,代入方程，比较系数得由上式 (1) a2=a-1=0，(a-1=0) a5=0，.， a3k+2=0， (2),(3)故由递推公式得：,例(P195.3): 在x0=0的邻域上求解埃尔米特(厄密)方程y“-2xy+(-1)y=0，(量子力学谐振子问题中出现)取什么数值可使级数解退化为多项式？这些多项式乘以适当的常数使最高幂项成为 (2x)n形式，叫做厄密多
5、项式，记为Hn(x)，写出前几个Hn(x)。 解：x0=0是方程的常点，设,则：代入方程，得推导得 ，其中,且当=4k-3(k=1，2.)时，y0(x)退化成多项式； 当=4k-1(k=1，2.)时，y1(x)退化成多项式； 取k=1有 =4k-3=1， y0(x)=1，记为H0(x)=(2x)0=1,=4k-1=3 ，y1(x)=x，记为H1(x)=2y1(x)=(2x)1=2x 取k=2有 =4k-3=5，y0(x)=1-2x，记为H2(x)=-2y0(x)=(2x)2-2 =4k-1=7 ，y1(x)=x-2x3/3，记为H3(x)= -(22)3y1(x)=(2x)3-12x 参阅教材P409。,
