21线性规划的对偶模型

1、3 线性规划的对偶问题的提出,每个线性规划都有另一个线性规划(对偶问题)与它密切相关，对偶理论揭示了原问题与对偶问题的内在联系。,0,0,76,8,9,40,4,5,36,4,3,.,30,32,max,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,+,+,+,+,=,x,x,x,x,x,x,x,x,t,s,x,x,z,矩阵形式,实际问题提出：某厂生产甲、乙两种产品，产量、利润、设备台时如下模型所示,从另一个角度讨论这个问题：工厂决定转让设备收取租金，如何确定租价？ 设y1，y2，y3分别为出租单位设备台时的租价和出让单位原材料、的附加额。,为什么目标取最小？租金定的越高就不会有人来租，问题就没有实际意义，。

2、第2章 线性规划的 对偶理论及其应用,线性规划最重要的理论之一 进行经济分析的重要工具,上堂课的主要内容：,1、对称型对偶问题：,2、标准型的对偶问题：,则对偶问题（D）为：,目标函数max,目标函数min,目标函数系数,约束方程常数列,约束方程常数列,目标函数系数,变量个数n,约束方程个数n,约束方程个数m,变量个数m,约束方程,变量0,0,=,无符号约束,变量0,约束方程,0,无符号约束,=,系数矩阵A,3、混合型对偶问题,2.2 对偶线性规划解的理论,最优单纯形表：,最优单纯形表：,常数项,0 1 0 -1/4 3/2 3/2,1 0 0 1/4 -1/2 7/2,0 0 1 5/4 -15/2 15/2,。

3、1,第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析,线性规划的对偶问题对偶问题的基本性质影子价格对偶单纯形法灵敏度分析参数线性规划,2,2.1 线性规划的对偶问题,一、对偶问题的提出,支持对偶理论的基本思想是：每一个线性规划问题都存在一个与其对偶的问题。在求一个问题的解的同时，也给出了另一个问题的解。,例：,二、对称形式下对偶问题的一般形式,线性规划问题具有对称形式，若：变量非负目标函数求极大值时，约束方程均为目标函数求极小值时，约束方程均为,3,二、对称形式下对偶问题的一般形式,对称形式的LP问题(LP1)：,其对偶问题为(LP2) 。

4、线性规划的对偶与对偶单纯形法对偶的定义对偶问题的性质对偶的对偶就是原始问题对偶定理 互补松弛关系 对偶可行基对偶单纯形法对偶的经济解释DUAL炮沟窝澄低簿椎镶雅痕熙愈撰辈练宦异怒摊耙彦凸粥溺佯慎欺螺碳管脉濒线性规划的对偶与对偶单纯形法线性规划的对偶与对偶单纯形法对偶原理对偶问题概念：任何一个线性规划问题都有一个与之相对应的线性规划问题，如果前者称为原始问题，后者就称为 “对偶 ”问题。对偶问题是对原问题从另一角度进行的描述其最优解与原问题的最优解有着密切的联系，在求得一个线性规划最优解的同时也就得到对偶。

5、Chapter 3 对偶理论Dual Theory3.1 线性规划的对偶模型 Dual Model of LP3.2 对偶性质 Dual property 3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method3.4 灵敏度与参数分析 Sensitivity and Parametric Analysis运筹学Operations Research茧伸溺任纽割乏冶灵西绵吮柴纹罐蚀彤殴融戴盯脚夕劳快裔湾杰此娃壮后运筹学02对偶理论(1)线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论3.1 线性规划的对偶模型 Dual Model of LP俊长馁祁署吞浇俊录叭淆摸婿动姨整嗡半置株攻濒最混叉丰凤称弄冠寥殖运筹学02对偶理论(1)线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论Chapter3 对偶。

6、是使目标函数取最小值的解，因此是最优解.,使目标函数值相等的两个问题的可行解 分别是两个问题的最优解.,是使目标函数取最大值的解，因此是最优解.,若 是原问题的可行解，是对偶问题可行解，当 时 , 分别是相应问题的最优解.,(5) 主对偶定理(可行解是最优解的性质）,推论：若原问题和对偶问题两者皆可行,则两者均有最优解,且此时目标函数值相等.,由于原问题和对偶问题均可行,根据弱对偶性,可知两者均有界,于是均有最优解.,互为对偶的线性规划问题中，若一个有最优解,则另一个也有最优解,且目标函数值相等.,证：设原问题有最优解， 对 应。

7、姚据逃刽争妆都蔑悼微沉眶瑞窄台铸却辑磨残抬硬专攫敲欢务佳宋绑谦娥8-线性规划的对偶原理8-线性规划的对偶原理管理科学方法对偶问题 6.0版浙江工商大学吴小钢 制作2009年 9月哎柄绑矣楞缚侩叔已很德椎簧哦充粗街礁陇钳槛七忍泛心剁希哆察俗杰箩线性规划的对偶原理线性规划的对偶原理第 8章 线性规划的对偶原理对偶理论是线性规划的重要内容，是对线性规划研究和应用的深入。对偶理论使得线性规划不仅仅是一种优化方法，而且成为一种经济分析工具。概述对偶理论在解释经济现象方面有独特的作用。DUAL慧矽恨今拢嵌弄仁猩孪疏冕惋稠抓堆音卡。

8、2、线性规划问题的对偶问题,例21胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？,2.1 对偶问题,数学模型max g= 50x1 + 30x2 s.t. 4x1 + 3x2 120 (2.1)2x1 + x2 50x1,x2 0,假如有一个企业家有一批等待加工的订单，有意利用该家具厂的木工和油漆工资源来加工他的产品。因此。

9、,第四节 线性规划的对偶理论,本节内容安排,原问题与对偶问题的关系 对偶问题的基本性质,一 原问题与对偶问题的关系（对偶关系）,满足下列条件的线性规划问题称为标准对称式的对偶关系： （1）一个问题的目标函数求极大值时，所有约束条件 为“”号,变量非负, 简记为（max, ); （2）另一个问题的目标函数求极小值时，所有约束条 件为“”号,变量非负,简记为（min, ).,当原问题对偶问题只含有不等式约束时，称为对称式的对偶关系。,1。标准对称式的对偶关系,原问题(LP1),对偶问题(LP2),(1)矩阵表示形式:,（max, );,（min, ).,(2)一般形式:,。

10、3.4 线性规划对偶理论,1,重庆大学经济与工商管理学院 肖智,第四节 线性规划的对偶理论 一、线性规划的对偶问题1、对偶问题例3.4.1 生产计划问题某家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子售价50元 个，椅子售价30元个，生产桌子和椅子需木工和油漆工 两种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。 生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每月可 用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如 何组织生产才能使每月的销售收入最大?该问题是一典型的线性规划问题,其数学模型如下:,3.4 线性规划对偶理论,2,重庆大学经济与工。

11、第三章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析,线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质影子价格对偶单纯形法灵敏度分析参数线性规划,第一节 线性规划的对偶问题,窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船对偶是一种普遍现象,对偶问题的定义:,标准型为：,列向量,行向量,n个变量,n个约束,任何线性规划问题都有其对偶问题对偶问题有其明显的经济含义,例 1,假设有商人要向厂方购买资源A和B，问他们谈判原料价格的模型是怎样的？,设A、B资源的出售价格分别为 y1 和 y2显然商人希望总的收购价越小越好(目标)工厂希望出售资源后所得不应比生产产品所得少（约束）。

12、2.线性规划的对偶问题 2.1 对偶问题的提出 2.2 原问题与对偶问题 2.3 对偶问题的性质 2.4 影子价格 2.5 对偶单纯形法 2.6 灵敏度分析 2.6.1 Cj 的变化 2.6.2 bi 的变化 2.6.3 增加一个变量 2.6.4 aij 的变化 2.6.5 增加一个约束条件,2.1 对偶问题的提出,设甲企业有m种资源用于生产n种不同产品，各种资源的拥有量分别为bi(i=1,2, ,m)，又生产每单位的第j 种产品(j=1,2, ,n)消耗第i 种资源aij单位，第j 种产品的单位产值为cj元。若用xj代表第j 种产品的产量，则使该企业获得最大产值的线性规划模型应表示为：,现假定乙企业欲收购甲企业拥有。

13、Chapter 2 对偶问题 Dual Problem,1. 线性规划的对偶模型 Dual Model of LP 2.对偶性质 Dual property 3.对偶单纯形法 Dual Simplex Method 4.灵敏度分析 Sensitivity Analysis,运筹学,Operations Research,在线性规划问题中，存在一个有趣的问题，即每一个线性规划问题都伴随有另一个线性规划问题，称它为对偶线性规划问题。,【例2.1】 某企业用四种资源生产三种产品，工艺系数、资源限量及价值系数如下表：,建立总收益最大的数学模型。,【解】设x1，x2，x3分别为产品A，B，C的产量，则线性规划数学模型为：,现在从另一个角度来考虑企业。