1、山东省实验中学 2015 届高三第一次诊断性考试文科数学试卷（解析版）一、选择题1设 是虚数单位，复数 是纯虚数，则实数i2aiaA. B.2 C. D.21【答案】D【解析】试题分析：由于复数 是纯虚数， ，52122iaiai 012a得 ，故答案为 D.21a考点：1、复数的四则运算；2、纯虚数的概念.2已知集合 ，则下列结论正确的是1,2AyxRBxA. B. C. D.3BAAB【答案】C【解析】试题分析：由于 ， 因此1xy1|y，故答案为 C.ABAB,3考点：1、元素与集合的关系；2、集合间的并集、交集3已知函数 ，则“ 是奇函数”是“cos0,fxxRfx”的2A.充分不必要
2、条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：当 为奇函数时，有 ，得xfxff，由诱导公式得AAcoscos，因此 xAxAxcoscoscosA，得 ，得不到 ；当 时，kxx2k22cosAf为奇函数，因此“ 是奇函数”是“ ”的必要不充分条件,故答案xinfx2为 B.考点：1、奇函数的应用；2、充分条件和必要条件的判断.4已知等比数列 的前三项依次为na1,4,naa则A. B. C. D.32n243342n123【答案】C【解析】试题分析：由于等比数列 的前三项依次为 ，得na4,1a，解得 ，因此前三项依次为 4,6,9，公比 ，
3、因此412a523q，故答案为 C.34nn考点：等比数列的通项公式.5如图给出的是计算 的值的一个框图，其中菱形判断横应填入的条件1124620是A. B. C. D.10ii1i1i【答案】A【解析】试题分析：由于 共 10 个数，每执行一次加一个数， 的值增加 1，加20642 i10 个数之后， 的值变为 11，此时判断框的条件成立，退出循环体，判断框内条件应为i，故答案为 A.10i考点：程序框图的应用.6函数 的零点所在的区间为21logfxxA. B. C. D.0,1,3,4【答案】B【解析】试题分析：由于 ， ，因此01log12f 021log2f，故函数 在区间 内有零点
4、，故答案为 B.021fxf,考点：函数零点的判断.7某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针（不包括三角形边界及圆的边界） ，则针扎到阴影区域（不包括边界）的概率为A. B. C. D.以上全错3434【答案】B【解析】试题分析：设正三角形的边长为 ，圆的半径为 ，则正三角形的面积为 ，由正弦aR243a定理得 06sin2aR得 ， 圆的面积 ，有几何概型的概率计算公式得概率32231aRS，故答案为 B.4312aP考点：几何概型的概率计算.8已知双曲线 的离心率为 2，若抛物线21:0,xyCab的焦点到双曲线 的渐近线的距离为 2，则抛物线 的方程为2:0xp1C2CA.
5、B. C. D.283y263xy28xy16xy【答案】B【解析】试题分析：双曲线的其中一条渐近线方程为 ，离心率 ，得 ，0aybx2acea由于 得 ，抛物线的焦点坐标 到渐近线的距离 ，22bacc3,2p2bap整理得 得232pcb，因此抛物线方程 ，故答案为 B.8pyx3162考点：双曲线和抛物线的标准方程和性质应用.9已知 是三角形 所在平面内一定点，动点 满足 （OABCPOAur） ，则 点轨迹一定通过三角形 的sinsiABurr0BCA.内心 B.外心 C.垂心 D.重心【答案】【解析】试题分析：作出如图所示的图形， ，由于BCADADCBAsinsi，OBOAP s
6、insi，ACD因此 在三角形的中线上，故动点 一定过三角形 的重心，故答案为 D.PPABC考点：1、三角形的五心；2、向量加法的几何意义.10已知函数 对任意 ，都有 的图象关于fxR60,1fxfyfx对称，且 则,024,01fA.0 B. C. D.8【答案】B【解析】试题分析：函数 对任意 ，都有 ,fxRxfxf6612fxf,因此函数 的周期 ，把 的图象向左平移 1 个单位的xfxf12T1xfy的图象关于 对称，因此函数 为奇函数，y10,f 267204 ffff，因此答案为 B.考点：1、函数的周期性；2、函数图象平移；3、函数奇偶性的应用.二、填空题11设某几何体的三
7、视图如下（尺寸的长度单位为 m）则该几何体的体积为_ 3m【答案】4【解析】试题分析：由三视图可知几何体为三棱锥，底面积 ，高 ，因此体积63421S2h，故答案为 4.431ShV考点：几何体的体积.12.已知函数 若函数 的图象在点 处的34fxaxRyfx1,Pf切线的倾斜角为 _.4， 则【答案】4【解析】试题分析：导函数 ，由导数的几何意义得 ，axf2314tan31fk解得 4a考点：导数的几何意义13观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第 个等式为_.n【答案】 21321n【解析】试题分析：观察这些等式，第一个式
8、子左边 1 个数，从 1 开始；第二个式子 3 个数相加，从 2 开始；第三个式子 5 个数相加，从 3 开始；第 个式子有 个数相加，从 开始；nn等式的右边为前边 个数的中间数的平方，故第 个等式为12n.21nn考点：归纳推理的应用.14若点 在直线 上，过点 的直线 与曲线 只有P1:30lxyP2l2:516Cxy一个公共点 ，则 的最小值为_.M【答案】4【解析】试题分析：因为点 的直线 与曲线 只有一个公共点 ，因此P2l2:516CxyM为圆 的切线，PC，当 最小时， 最小，当 时， 最小为 为22rMPM1lCP0,5直线 的距离 ，因此03yx24135.62minrPC
9、考点：直线与圆的位置关系.15.已知 满足约束条件 若目标函数 的最大值xy、1,2xy0,zaxby为 7，则 的最小值为_.34ab【答案】7【解析】试题分析：作出不等式 表示的平面区域，得到 及其内部，其中21yxABC1,04,3,1CBA把目标函数 转化为 ，表示的斜率为 ，截距0,bayxz bzxay0ba为 ，由于 当截距最大时， 最大，由图知，当过 时，截距最大， 最大，b0z4,3Bz因此 ， ，743a143ba由于 ， babab 7125725 0,b2aa当且仅当 时取等号， .1b 749217543minba考点：1、线性规划的应用；2、利用基本不等式求最值.三
10、、解答题16已知向量 ，函数sin,co,cos,3s0axbxrr的最小正周期为 .32fxb（1）求函数 的单调增区间；fx（2）如果ABC 的三边 所对的角分别为 ，且满足abc、 、 CBA,的值.23bcfA， 求【答案】 （1） ；（2）Zkk12,523f【解析】试题分析：（1）利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到 的形式，xAysin利用公式 计算周期；（2）求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成T形式，再 的单调区间，只需把 看作一个整体xAysinxAysinx代入 相应的单调区间，注意先把 化为正数,这是容易出错的地方；（3）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角
11、的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围.试题解析：（1） 23coscsin23 xxbaxf 3 分cos23sinix 的最小正周期为 ，且 0xf 4 分,2,1 .3sinxf由 5 分k2Zk,2得 的增区间为 6 分xf 1,5（2）由 ,322bcacb,322bca又由 8 分Aos在 中， 9 分ABC6 12 分32sin2sinf 考点：1、求正弦型函数的单调区间；2、三角形中余弦定理的应用.17为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三
12、所高校 的相关人员中，抽取若CBA,干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）高校 相关人数 抽取人数A 18 xB 36 2C 54 y（1）求 、 ;x（2）若从高校 、 抽取的人中选 2 人作专题发言，求这 2 人都自高校 的概率.CC【答案】 （1） ；（2）3,y103P【解析】试题分析：（1）关键是图中提取数据信息，理解分层抽样的特点，进行统计与概率的正确运算；（2）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（3）当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举
13、，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；（4）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性.试题解析：（1）由题意可得， ，所以 4 分5436218yx13.xy，（2）记从高校 B 抽取的 2 人为 ，从高校 C 抽取的 3 人为 ，则从高校2b， 123c， ，B，C 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有共 10 种 8 分12111321323()()()bcc， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，设选中的 2 人都自高校 C 的事件为 X，则 X 包含的基本事件有 ， ，12()c， 13()c，共 3 种 10 分()c，所以 .10XP
