1、互动课堂疏导引导本课时重点和难点是函数的单调性与导数的关系.1.函数的单调性与导函数的关系我们知道,如果函数 f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说 f(x)在这一区间具有单调性,先看下面的例子:函数 y=f(x)=x2-4x+3 的图象如图所示.考虑到曲线 y=f(x)的切线的斜率就是函数 f(x)的导数,从图象可以看到:在区间 (2,+)内,切线的斜率为正,即 f(x)0 时,f(x)为增函数;在区间(-,2)内,切线的斜率为负,即 f(x)0 时,f(x)为减函数.再观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.一般地,函数的单调性与导函数的正负有如下关系:在某个区
2、间(a,b)内,如果 f(x)0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增; 如果 f(x)0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递减 .2.利用导数判断函数单调性(区间 )的一般步骤：(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求 f(x);(3)令 f(x)0 解得函数 f(x)的增区间；令 f(x)0 解得函数 f(x)的减区间.3.f(x) 0(或0)是函数递增(或递减)的充分条件.但这个条件并不是必要的.如:y=x 3 在实数集内是严格增函数,但 f(0)=0.在(a,b)内可导的函数 f(x)在(a,b)上递增( 或递减)的充要条件应是 f(x)0或 f(x)0,x(a,b)恒成
3、立,且 f(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于 0,这就是说,函数 f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有 f(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处 f(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间.因此,在已知函数 f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时,应令 f(x)0或 f(x)0恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解), 然后检验参数的取值能否使 f(x)恒等于 0,若能恒等于 0,则参数的这个值应舍去,若 f(x)不恒为 0,则由 f(x)0或 f(x)0恒成立解出的参数的取值范围确定.4.构造函数,再采用求导的方法,利用函数的单
4、调性证明不等式,是证明不等式常运用的方法,要掌握好.其中关键在于构造恰当的函数,有利于问题的解决.5.利用导数解决题目还应注意(1)证函数 f(x)在(a,b)内单调,可以用函数的单调性定义,也可用导数来进行判别,前者较繁,后者较易,要注意若 f(x)在(a,b)内个别点上满足 f(x)=0(或不存在但连续),其余点满足 f(x)0或 f(x)0,函数 f(x)仍然在 (a,b)内单调递增(或递减 ),即导数为零的点不一定是增、减区间的分界点.(2)对于含有字母系数的问题,根据题设正确地确定字母的取值范围是解决问题的关键之一 .函数的导数与函数单调性的关系,为我们研究函数的单调性提供了有力的工
5、具,在今后的学习中要养成使用导数研究函数单调性的习惯.案例 1 已知向量 a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数 f(x)=ab 在区间(-1,1)上是增函数，求 t 的取值范围.【探究】解法一 依定义 f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t，则 f(x)=-3x2+2x+t.若 f(x)在(-1,1)上是增函数，则在 (-1,1)上可设 f(x)0.f(x)0 t3x2-2x,在区间(-1,1)上恒成立，考虑函数 g(x)=3x2-2x,由于 g(x)的图象是对称轴为 x= ,31开口向上的抛物线，故要使 t3x2-2x 在区间(-1,1)上恒成立 tg(-
6、1),即 t5.而当 t5 时，f(x)在(-1,1)上满足 f(x)0，即 f(x)在(-1,1)上是增函数.故 t 的取值范围是 t5.解法二 依定义 f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,f(x)=-3x2+2x+t.若 f(x)在(-1,1)上是增函数，则在 (-1,1)上可设 f(x)0.f(x)的图象是开口向下的抛物线，当且仅当 f(1)=t-10,且 f(-1)=t-50 时f(x)在(-1,1)上满足 f(x)0,即 f(x)在(-1,1)上是增函数.故 t 的取值范围是 t5.【规律总结】这是导函数增减性的一个简单应用，也就是说，根据函数导数可判断增
7、减性，反之也可以根据导函数的增减性，求有关的参变量.对于含有字母系数的问题，根据题设正确地确定字母的取值范围是解决问题的关键之一.函数的导数与函数单调性的关系，为我们研究函数的单调性提供了有力的工具，在今后的学习中要养成使用导数研究函数单调性的习惯.案例 2 (2005 福建高考)已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图像过点 P(0，2)，且在点 M(-1,f(-1)处的切线方程为 6x-y+7=0.(1)求函数 y=f(x)的解析式；(2)求函数 y=f(x)的单调区间.【探究】(1)由 f(x)的图像经过点 P(0,2)，知 d=2,f(x)=x 3+bx2+cx+2,f(x)=
8、3x2+2bx+c.由在点 M(-1,f(-1)处的切线方程是 6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0,即 f(-1)=1,f(-1)=6. 即1,2c-b160,c-b3解得 b=c=-3.故所求的解析式是 f(x)=x3-3x2-3x+2.(2)f(x)=3x2-6x-3.令 3x2-6x-3=0,即 x2-2x-1=0.解得 x1= ,x2= .当 或 时，f(x)0;21xx当 时，f(x)0.故 f(x)=x3-3x2-3x+2 在(-, )内是增函数，在( , )内是减函数，在(2121,+)内是增函数.1活学巧用1.求下列函数的单调区间，并指出其单调性.(1)f(x)=x3
9、;(2)f(x)=2x3-9x2+12x-3;(3)f(x)=lnsinx.解析：(1)f(x)=3x 2,当 x0 时，f(x)0;当 x=0 时，f(x)=0.又当 x0 时 f(x)0,x 0 时 f(x)0,x=0 时 f(x)=0,根据函数的连续性知，f(x) 在(-,+)上是增函数,即 y=x3 的增区间为(-,+).(2)f(x)=6x 2-18x+12,由 f(x)0 得 1x2,由 f(x)0 得 x1 或 x2.故 f(x)的增区间为 (-,1)及(2 ，+),减区间为(1 ，2).(3)函数 f(x)的定义域为 2kx2k+(kZ).f(x)= =cotx,由 f(x)0
10、 及函数定义域得 2kx 2k+ (kZ).xsinco 2由 f(x)0 及函数定义域得2k+ x2k+(kZ).2故该函数的单调增区间为(2k,2k+ )(kZ ),减区间为(2k+ ,2k+)(kZ).222.证明函数 f(x)=ex+e-x 在0,+)上是增函数.证明:f(x)=(e x)+( )=ex+( )=ex-e-x= ,当 x0,+) 时 ex1，f(x)0.e1xe1)(f(x)=e x+e-x 在0,+)上为增函数.3.确定函数 f(x)=x2-4x+3 的增减区间 .解析：f(x)=2x-4.令 f(x)0 即 2x-40，解得 x2，故当 x2,+)时，是增函数；令
11、f(x)0 即 2x-40，解得 x2，故当 x-,2)时，是减函数.4.已知函数 f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k0).若 f(x)的单调递减区间是(0,4),(1)求 k 的值；(2)当 kx 时，求证： .x1解析：(1)f(x)=3kx 2-6(k+1)x由 f(x)0 得 ,kf(x)的递减区间是(0,4) =4,k=1.k2(2)设 g(x)= ,g(x)= .x1221x当 x1 时， ,2g(x)0,g(x)在 x1,+) 上单调递增x1 时，g(x)g(1). 即 ,312x x325.设 f(x)在 R 上是偶函数，在区间(-,0)上 f(x)0 且有 f(
12、2a2+a+1)f(-3a 2+2a-1)，求 a 的取值范围.解析：在(-,0)上 f(x)0,f(x)在(-,0)上为增函数.又 f(x)为偶函数， f(x)在(0 ，+) 上为减函数,且 f(-3a2+2a-1)=f(3a2-2a+1).原不等式可化为 f(2a2+a+1)f(3a 2-2a+1).又 2a2+a+10,3a 2-2a+10 恒成立,2a 2+a+13a 2-2a+1.解得 0a3 为所求.6.证明不等式 ln(1+x) (x0).21x证明:令 f(x)=ln(1+x)-x+ ,则 f(x)= .xx112当 x-1 时，f(x) 0，因此 f(x)在(-1，+) 内为
13、增函数 .于是当 x0 时，f(x) f(0)=0.当 x0 时，ln(1+x) .27.已知函数 y=ax 与 y= 在(0,+) 上都是减函数，试确定函数 y=ax3+bx2+5 的单调区间.xb解析：函数 y=ax 与 y= 在(0,+) 上都是减函数，则 a0,b0.由 y=ax3+bx2+5 得 y=3ax2+2bx.令 y0,得 3ax2+2bx0, .0xab当 x( ,0)时，函数为增函数.3令 y0,即 3ax2+2bx0， ,或 x0.ab当 x(-, )或(0,+)时，函数为减函数.ab328.设 t0,点 P(t,0)是函数 f(x)=x3+ax 与 g(x)=bx2+
14、c 的图象的一公共点，两函数的图象在点 P处有相同的切线.(1)用 t 表示 a、b、c;(2)若函数 y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减，求 t 的取值范围.解析：(1)因为函数 f(x)、g(x)的图象都过点(t,0)，所以 f(t)=0,即 t3+at=0.因为 t0,所以 a=-t2.g(t)=0,即 bt2+c=0,所以 c=ab.又因为 f(x)、g(x)在点(t,0)处有相同的切线，所以 f(t)=g(t).而 f(t)=3x2+a,g(x)=2bx,所以3t2+a=2bt.将 a=-t2,代入上式得 b=t.因此 c=ab=-t3,故 a=-t2,b=t,c=-t3
15、.(2)方法一：y=f(x)-g(x)=x 3-t2x-tx2+t3,y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).当 y=(3x+t)(x-t)0 时，函数 y=f(x)-g(x)单调递减.由 y0,若 t0,则 xt;若 t0,则 tx .t3t由题意，函数 y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减，则(-1,3) ( ,t)或(-1,3) (t, ).t3t所以 t3 或 3,即 t-9 或 t3.3t又当-9t3 时，函数 y=f(x)-g(x)在(-1,3) 上单调递减.所以 t 的取值范围为(-,-93,+).方法二：y=f(x)-g(x)=x 3-t2x-tx2+t3,y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t)因为函数 y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减，且 y=(3x+t)(x-t)是(-1,3)上的抛物线.所以 即 解得 t-9 或 t3.0|31xy.0)(9,1t所以 t 的取值范围为(-,-9)3，+).
