1、第六章 线性方程组的数值解法,主要内容： 1、引言 2、高斯消去法 3、向量范数和矩阵范数 4、解线性方程组的迭代法,第一节 引言,（1）在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组。例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，解非线性方程组问题，用差分法或者有限元法解常微分方程，偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组，而且后面几种情况常常归结为求解大型线性方程组。 （2）线性代数方面的计算方法就是研究求解线性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特征值及特征向量的数值方法。,第一节 引言,设线性方程组简记 AX=b,第一节
2、 引言,1、用克莱姆法则求解线性方程组（1）克莱姆法则在理论上有着重大意义，但在实际应用中存在很大的困难，其计算量大。 （2）克莱姆法则的计算量 如果方程组有唯一解，按克莱姆法则求解，必须计算n+1个n阶行列式。 由行列式的定义，n阶行列式包含有n!项，每一项含有n个因子，计算一个n阶行列式就需要做(n-1)n!次乘法。 克莱姆法则共要计算n+1个n阶行列式，共需做(n2-1)n!次乘法。 此外,还要做n次除法才能算出xi(i=1, n)。 因此，用克莱姆法求解就要做乘除法的次数： N=(n2-1)n!+n,第一节 引言,（3）例如，当n=10(即求解一个含10个未知量的方程组)，乘除法的运算
3、次数共为32659210次；当n=20时候，N=9.70731020；当=40，乘除法运算次数可达3.181049次。对于上百个未知量的方程组，次数运算量就更大了。因此可莱姆规则在理论上尽管是完善的，但在实际计算中却没有什么实用价值。本文我们将重点讨论求解线形方程组的一种有效的数值方法。,P113,第二节 高斯消去法,高斯消去法是一种古老的直接法，由它改进得到的选主元消去法，是目前计算机上最常用的求低阶稠密线性方程组的有效方法。其基本思想是通过消元将线性方程组的求解问题转化成三角形式方程组的求解问题。 一、三角方程组及其解法 1、上三角形方程组,第二节 高斯消去法,记：则上方程组可以写成矩阵形
4、式：Ux=b 当 det(U) 0时，即aii0时，方程组有惟一解。,第二节 高斯消去法,2、方程求解过程如下： 由最后一个方程可以得：带入倒数第二个方程得：一般地，假设已经求得 ，带入第i个方程得到：,求解过程称为回代过程,第二节 高斯消去法,3、回代过程的计算量 （1）乘除法运算次数（2）加减法运算次数,第二节 高斯消去法,二、高斯消去法 1、举例 例1用消元法解方程组,第二步：1 x（2）+（4）,第一步：-2 x（1）+(3)得,回代得：x=1,2,3T例2，P114，例61,第二节 高斯消去法,2、高斯消元法 思路：首先将A化为上三角阵，再回代求解 。对一般的n阶方程组，消去过程分n
5、-1步：第一步消去a11下方元素。第二步消去a22下方元素，第n-1步消去an-1,n-1下方元素。,第二节 高斯消去法,高斯消去法实现的目标：,增广矩阵,记系数矩阵为： 记右端向量为：,第二节 高斯消去法,具体步骤如下： 第一步消元：上述消元过程除第一个方程不变以外, 第2第 n 个方程全消去了变量 1，而系数和常数项全得到新值：得到同解方程组：,第二节 高斯消去法,第二步消元：得到同解方程组：,第二节 高斯消去法,第k步消元：,P116,得到同解方程组：,第二节 高斯消去法,第n1步后：我们可以得到变换后的矩阵为：,得到同解方程组：,第二节 高斯消去法,回代：解同解的上三角形方程组注意此处
6、增广矩阵不是原始增广矩阵，而是变换后的增广矩阵，b是变换后增广矩阵的第n+1列。回代过程可写为：,第二节 高斯消去法,3、高斯消元法两个定理 （1）定理61：如果A为n阶非奇异矩阵，且约化主元素 则可以通过高斯消去法将方程组化为三角形方程组。其计算公式为： 消元计算，对于,第二节 高斯消去法,回代计算：（2）定理62：约化主元素的充分必要条件是，矩阵A的顺序主子式：,第二节 高斯消去法,4、高斯消元法的计算量 （1）消元过程乘除法的计算量 除法计算量：第k步消元的除法计算量为n-k，其中k=1,2,3,n-1 所以：除法计算量为：乘法计算量：第k步消元法的计算量为： 该步每行从k1个数开始到n
7、1个数都需乘一个数（lik）共有：n+1-k次乘法； 该步共有n-k行（ 从第k1行到第n行）。 所以乘法计算量为：,第二节 高斯消去法,所以高斯消元过程乘除法的计算量为：,第二节 高斯消去法,（2）消元过程加减法的运算量 可以从第k步消元计算过程得到： 第k步消元时候，从第k+1行开始到第n行为止；每行的第k+1个数开始到第n+1个数止进行加法运算。 所以该步的加减法次数为：(n-k)(n+1-k) 消元过程总的加减法运算次数为：,第二节 高斯消去法,（3）回代过程的计算量 乘除法的计算量为：加减法的计算量为：（4）高斯消元法总过程的计算量 乘除法的计算量为：加减法的计算量为：,第二节 高斯
8、消去法,三、列主元高斯消去法 高斯消去法消去过程中，第k步求n-k个倍数 用到的除数 ，称为主元。它若为零或接近于零，计算机将“溢出”而停止计算，或产生较大误差。 1、例1如解下方程组：P119准确到九位小数的解是x1=0.250 001 875，x2=0.499 998 749，若在4位计算机上按高斯消去法求解,第二节 高斯消去法,解：回代解得 =0.5， =0，显然严重失真。 造成这种结果的原因，就是小主元的出现。用它做除数产生大乘数，出现大数吃小数产生舍入误差（如34106=-3999 997-1070.400 0），从而 有误差。代回第一个方程时，因10-6x1+2x2=1， 10-6 +2 =1 该两个式相减得到：,表明 x2的误差被放大2000 000倍， x1 自然失真。,解决方法：为了避免出现小主元，可在第k步的第k列的元素 中选主元，即在其中找出绝对值最大的元素 然后交换第k和第p行，继续进行消去过程。交换行相当于改变方程顺序，不会影响原方程组的解。这种消去法称为列主元消去法。 用该方法解上方程组：可以解出：,第二节 高斯消去法,第二节 高斯消去法,2、例2求解方程组,第二节 高斯消去法,（1）用顺序高斯消去法,第二节 高斯消去法,（2）用列主元消去法,第二节 高斯消去法,3、例题 P120 例63,
