1、第二节 行列式的性质,Chapter 1,23 - 2,一 行列式的性质,性质 1 将行列式的行与列互换，行列式的值不变。即,该性质表明：行列式的行与列具有同等地位。,23 - 3,例如,行列交换后有,23 - 4,性质2 行列式中的某一行（列）若有公因 子，则可将公因子提到行列式外，即,证明 左边按第i 行展开,左边,23 - 5,性质3 若行列式中的某一行（列）的每个元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和,这两个行列式除该行（列)以外其余行（列）全与原来行列式对应的行（列）一样，即,例如,23 - 6,性质4 交换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。即,23 - 7,例如,二
2、、三两行交换后有,23 - 8,性质5 若行列式中两行（列）相同，则行列式的值等于零。即,由于交换两行后行列 式没变，因此,23 - 9,性质6 若行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式的值等于零。即,例如,23 - 10,性质7 若行列式中的某一行（列）的各元素都乘以同一数k，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变，即,k,23 - 11,23 - 12,性质8 行列式的某一行（列）的元素与另一(列)的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。即,23 - 13,比较等式两边，可得,总结,按第i 行展开,按第i 列展开,23 - 14,为了便于以后的计算过程更清楚，现引入一些 记号，
3、其中： r 表示 row，c 表示 column：,23 - 15,例1 计算行列式,解,-8 0 4 -6,2 0 1 -1,16 0 -2 7,23 - 16,例2 计算行列式,解,该行列式的特点是：,各行（列）的元素之和为6,23 - 17,例3 解方程,解 因为,23 - 18,D,例4 计算 ,解,r4r3,r3r2,r2r1,r4r3,r3r2,r4r3,a4,下页,23 - 19,对D1作运算rikrj 把D1化为下三角形行列式 设为,证,对D2作运算cikcj 把D2化为下三角形行列式 设为,于是 对D的前k行作运算rikrj 再对后n列作运算cikcj 把D化为下三角形行列式
4、,故Dp11 pkk q11 qnnD1D2,下页,23 - 20,把D2n中的第2n行依次与2n1行、第2行对调(作2n2次相邻对换) 再把第2n列依次与2n1列、第2列对调 得,根据例4的结果 有D2nD2D2(n1)(adbc)D2(n1) 以此作递推公式 即得D2n(adbc)2D2(n2) (adbc)n1D2(adbc)n,解,结束,23 - 21,证,用数学归纳法,23 - 22,23 - 23,n-1阶范德蒙德行列式,23 - 26,小结,（1）行列式的性质,（2）行列式的基本计算方法,23 - 27,性质 1 将行列式的行与列互换，行列式的值不变。,性质2 行列式中的某一行（
5、列）若有公因子，则可 将公因子提到行列式外。,性质3 若行列式中的某一行（列）的每个元素都是 两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和,这 两个行列式除该行（列)以外全与原来行列式对应的 行（列）一样。,性质4 交换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。,23 - 28,性质5 若行列式中两行（列）相同，则行列式的值 等于零。,性质6 若行列式中两行（列）对应元素成比例，则 行列式的值等于零。,性质7 若行列式中的某一行（列）的各元素都乘以 同一数k，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。,性质8 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。,2
6、3 - 29,小结,（1）行列式的性质,二 小结、 练习,（2）行列式的基本计算方法,23 - 30,1、 计算行列式,练习,2、 解方程,23 - 31,3、 计算行列式,4、 计算行列式,0,23 - 32,克拉默(Cramer)法则 由于求解量巨大,没有实际应用价值,一般用于理论上推导,定理 3 如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,23 - 33,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为,23 - 34,证明,在把 个方程依次相加，得,23 - 35,由代数余子式的性质可知,于是,当 时,方程组 有唯一的一个解,23 - 36,也是方程组的 解.,逆否命题 如果线性方程组 无解或有两个不同 的解，则它的系数行列式必为零.,23 - 37,例 4 解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,23 - 38,同理可得,故方程组的解为:,23 - 39,齐次线性方程组的相关定理,推论1 如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 只有零解.,三、重要定理,23 - 40,23 - 41,例10 下列齐次方程组中的参数 为何值时，方程组有非零解,23 - 42,解,23 - 43,齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解.,
