1、垂径定理,（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？ （2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？,思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时，弦AB有可能被直径CD平分？,O,A,B,C,D,E,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为E .,垂径定理的几何语言叙述:,AE=BE，,AC=BC，,AD=BD,（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？,（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,AE=BE,AC=BC,AD=BD,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且 平分弦所对的两条弧,CDAB,垂径定理,如图,小明的理由
2、是:,连接OA,OB,则OA=OB.,在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM，,RtOAMRtOBM.,AM=BM.,点A和点B关于CD对称.,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,夯实基础,判断下列图形，能否使用垂径定理？,注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！,我学习，我快乐,Ramming foundation,判断下列图形，能否使用垂径定理？,垂径定理三种语言,定理: 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.,老师提示: 垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,CDAB,如图 CD是直径,AM=BM
3、,判断：,( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧.,( )(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.,( )(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.,如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径。,E,练一练：试 金 石,E,变形2、CE=8,DE=2,则AB= 。,D,C,变形1、AB=8,CD=10,则圆心O到AB的距离 是 。,变形3、CD=10,AB=8,则DE= 。,3,8,2,若CD为圆O的直径，弦ABCD于点E,到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？,如图，两个圆都以点O为圆心， 求证:AC
4、=BD,O,A,B,C,D,活动4,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,题设,结论,（1）过圆心 （2）垂直于弦,（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧,你可以写出相应的命题吗?,垂径定理的逆定理,如图,在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论., CD是直径, AM=BM, CDAB,知二推三,垂径定理及逆定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦
5、所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦., CD是直径, AM=BM, CDAB,填空：如图，在O中 （1）若MNAB，MN为直径；则（ ），（ ），（ ）； （2）若ACBC，MN为直径；AB不是直径，则（ ），（ ），（ ）； （3）若MNAB，ACBC，则（ ），（ ），（ ）； （4）若弧AM弧BM，MN为直径，则（ ），（ ），（ ）。,我能行！,更上层楼,Upper formation buildin
6、g,判断,垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧( ),弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心 ( ),圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 ( ),平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ( ),圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）,直径,两条直径,不是直径,（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。,（2）平分弦的直线，必定过圆心。,（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。,不是直径,直径,1.平分弧的直线，平分这条弧所对的弦.,2.弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.,1、如图，在O中，AB为O的弦，C、D是 直线AB上两点，且ACBD 求证：OC
7、D为等腰三角形。,2、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的 弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上。你认 为AC与BD的大小有什么关系？为什么？,变式1. 已知：如图，线段AB与O交于C、D两点，且OA=OB 求证：AC=BD ,证明圆中与弦有关的线段相等时, 常借助垂径定理,利用其平分弦的性质来解决问题.,如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.,M,N,3,4,5,2,如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。,10,4,6,8,16,变式2 连接 OC，OD，设 OC=OD，求证：AC=BD,练习1:如图，CD为圆
8、O的直径，弦AB交CD于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦AB的长。,O,2:在圆O中，直径CEAB于D， OD=4 ，弦AC= ，求圆O的半径。,A,B,C,D,E,O,挑战自我填一填,1、判断：垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ） 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ） 经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ） 圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）,2.已知：如图,O 中,弦ABCD,ABCD, 直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 :. 图中相等的劣弧有:.,
9、D,1.P为O内一点,且OP=2cm,若O的半径为3cm,则过P点的最短弦长等于( )A.1cm B.2cm C. Cm D.,2.已知:O中弦ABCD且AB=9cm,CD=12cm, O的直径为15cm,则弦AB,CD间的距离为( )A.1.5cm B.10.5cm; C.1.5cm或10.5cm D.都不对;,C,2,3,解：（1）,OAB+ AOC=90,已知：如图，O 中， AB为 弦，C 为 弧AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ， CD = 1cm. 求O 的半径OA.,x,x-1,3,课堂学习检测 一、基础知识填空 1圆是_对称图形，它的对称轴是_；圆又是_对称图
10、形，它的对称中心是_ 2垂直于弦的直径的性质定理是_ 3平分_的直径_于弦，并且平分_,二、填空题 4圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=_cm 5如图，CD为O的直径，ABCD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=_cm,6如图，O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=_cm，AOB=_ 7如图，AB为O的弦，AOB=90，AB=a，则OA=_，O点到AB的距离=_ 8如图，O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD的距离是_,9如图，P为O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，O的半径为5，则OP=_ 10如图，O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则O的半径等于_cm,
