1、计算方法教案课程名称： 计算方法 适用专业： 医学信息技术 适用年级： 二年级 任课教师： 张利萍 编写时间： 2011 年 8 月 新疆医科大学工程学院 张利萍2教案目录计算方法教学大纲 3一、课程的性质与任务 3二、课程的教学内容、基本要求及学时分配 3三、课程改革与特色 4四、推荐教材及参考书 4计算方法教学日历 5第一章 绪论 6第 1 讲 绪论 有效数字 6第 2 讲 误差 第二章 线性方程组的直接法 12第 3 讲 直接法、高斯消去法 13第 4 讲 高斯列主元消去法 21第 5 讲 平方根法、追赶法 27第三章 插值法与最小二乘法 30第 6 讲 机械求积、插值型求积公式 30第
2、 7 讲 牛顿柯特斯公式、复化求积公式 35第 8 讲 高斯公式、数值微分 41第 9 讲第 10 讲第 12 讲第四章 数值积分与数值微分 46第 11 讲 欧拉公式、改进的欧拉公式 46第 12 讲 龙格库塔方法、亚当姆斯方法 51第 13 讲 收敛性与稳定性、方程组与高阶方程 54第 14 讲第 15 讲第五章 微分常微分方程的差分方法 57第 16 讲 迭代收敛性与迭代加速 58第 17 讲 牛顿法、弦截法 62第 18 讲第 19 讲第 20 讲第六章 线性方程组的迭代法 65第 21 讲 迭代公式的建立 663第 22 讲第 23 讲第 24 讲 向量范数、迭代收敛性 69第 25
3、 讲计算方法教学大纲课程名称 ：计算方法/Computer Numerical Analysis B 学时/学分：54/4 先修课程 ：高等数学、线性代数、高级语言程序设计（如：Matlab 语言）适用专业 ：计算机科学与技术、信息管理与信息系统开课学院（部） 、系(教研室)：医学工程技术学院、医学信息技术专业一、课程的性质与任务计算方法是一门专业必修课。当前，由于科学技术的快速发展和计算机的广泛应用，学习和掌握计算机上常用的数值计算方法及有关的基础理论知识，并能用某种高级语言（如 Matlab 语言）将这些常用算法编程实现，这对于计算机专业的学生来说是非常重要的。本课程着重介绍进行科学建设所
4、必须掌握的一些最基本、最常用的算法，向高等院校有关专业的学生普及计算方法的知识。二、课程的教学内容、基本要求及学时分配（一）教学内容1引论 数值分析的研究对象、误差及有关概念、数值计算中应注意的一些原则。2线性代数方程组的数值解法Gauss 消去法、Gauss 消去法的矩阵形式、主元消去法、三角分解法、迭代法、迭代法的收敛条件及误差估计。3插值方法Lagrange 插值、Newton 插值、分段插值、 Hermite 插值、三次样条插值、数据拟合的最小二乘法。4数值积分与微分机械求积、Newton-Cotes 求积公式、复化求积、Romberg 求积算法、Gauss 求积公式、数值微分。5常微
5、分方程初值问题的数值解法Euler 方法及其改进、龙格-库塔(Runge-Kutta)方法、线性多步法、收敛性与稳定性、一阶方程组与高阶方程。6方程求根的数值方法二分法、迭代法、迭代过程的加速、Newton 迭代法、Newton 迭代法的几种变形。（二）基本要求1了解数值分析的研究对象、掌握误差及有关概念。2正确理解使用数值方法求方程的解的基本思想、数学原理、算法设计。3了解插值是数值逼近的重要方法之一，正确理解每一种算法的基本思想、计算公式、算法设计、程序框图设计和源程序。4掌握数值积分的数学原理和程序设计方法。5能够使用数值方法解决一阶常微分方程的初值问题。6理解和掌握使用数值方法对线性方
6、程组求解的算法设计。5（三）学时分配本课程的理论教学时数为 54 学时分配如下表：教学环节课程内容 学时 讲 课引论 4线性代数方程组的数值解法 6插值方法 12数值积分与微分 10常微分方程初值问题的数值解法 10方程求根的数值方法 10总复习 2合计 54（四）课程内容的重点、难点重点：Lagrange 插值、Newton 插值、分段插值、Hermite 插值、三次样条插值、机械求积、Newton-Cotes 求积公式、复化求积、Romberg 求积算法。难点：Gauss 消去法、Gauss 消去法的矩阵形式、主元消去法、三角分解法、迭代法、迭代法的收敛条件及误差估计。三、课程改革与特色本
7、课程是一门重要的专业基础课。数值计算方法既是一门古老的学科，又是一门新兴的学科。电子计算机的产生和发展极大地促进了数值计算方法的发展。只有把数值计算方法和程序设计紧密结合起来，把算法变为计算机能直接执行的程序，才能真正使计算机帮助人们解决各种复杂的计算任务。本课程试图将数值计算方法和程序设计方法学融为一体，这也是一种尝试。四、推荐教材及参考书推荐教材：计算机数值方法 （第三版） ，主编：施吉林、刘淑珍、陈桂芝，出版社：高等教育出版社，出版时间：2005 年 3 月参考书：数值计算方法和算法 ，主编：张韵华、奚梅成、陈效群，出版社：科学出版社，出版时间：2002 年 3 月Numerical A
8、nalysis ，主编：Richard L.Burden ，出版社：高等教育出版社影印，出版或修订时间：2003数值分析 ，主编：金聪、熊盛武，出版社：武汉理工大学出版社，出版时间：2003年 8 月6第一章 绪论一、教学目标及基本要求通过对本章的学习，使学生对了解涉及工程和科学实验中常见的数学问题，其中包括线性方程组、函数插值、离散数据的拟合、微积分、微分方程等，这些问题是其他数学问题的基础。二、教学内容及学时分配本章主要介绍数值分析的研究对象及误差的概念。具体内容如下：第 1-2 学时讲授内容：计算方法的研究内容、对象与特点；误差的基本概念。三、教学重点难点1教学重点：误差、误差种类；误差
9、分析：误差与有效数字的关系。2. 教学难点：误差分析、误差与有效数字的关系。四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解。第 1 讲 绪论基本求解步骤实际问题 建立数学模型构造数值 算法编程上机计算结果数学模型是通过科学实验或者观察分析一系列数据后，用数学作为工具近似地描述客观事物的一种数学表达式。在数学模型中，往往包含了若干参量，这些物理参数通常由实验仪器测得，根据仪器的精密程度，物理参数的确定也会产生一定的误差。在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机直接求解，还必须寻找用计算机计算这些数学模型的数值方法，即将数学模型中的连续变量离散化，转化成一系列相应的算法步
10、骤，编制出正确的计算程序，再上机计算得出满意的数值结果。算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算及规定的运算顺序，最后求出未知量的数值解，这样构成的完整计算步骤称为算法。例 132()46pxx计 算 多 项 式 的 值 。2,由 计 算 出 后 再 进算 法 ： 行 计 算 。需乘法 5 次，加法 3 次。7()(34)226pxx算 法 ：需乘法 3 次，加法 3 次。一般地，计算 n 次多项式的值 110()nPxaxax如若按 k有 次乘法运算,计算 nP共需122n次乘法和 n次加法运算。采用：秦九韶算法(1247) 有递推公式: 1210()()nnnPxaxa 从内往外一层一
11、层计算，社 层表 示 第 kkvknkk xv nkax01需乘法 n 次，加法 n 次，存储单元 n+3 个。YN开始输入 na.10,kvnknaxk=n输出 v结束k1对算法所要考虑的问题,包括如下:计算速度例如,求解一个 20 阶线性方程组,用消元法需 3000 次乘法运算；而用克莱姆法则要进行209.71次运算,如用每秒 1 亿次乘法运算的计算机要 30 万年。8存储量大型问题必要考虑计算机的数据存贮。数值稳定性在大量计算中,舍入误差是积累还是能控制,这与算法有关。实际算法往往表现为某种无穷递推过程算法的精度控制方程根的二分法求解 *,0)( ,)(0)(, xbaxf baff定
12、实 根 为内 一 定 有 唯 一 实 根 。 假在即 方 程 内 一 定 有 实 的 零 点 ，在， 根 据 连 续 函 数 性 质 ，上 单 调 连 续 ，在 20a若 ，则 为所求根)(xf0x否则若 ,则根在区间 ，取)(fa,0xa01,xba若 ,则根在区间 ，取)(0xbf b01.,.,1k每一区间为前一区间的一半，有根区间 长度,ka)(21abbkk)(2)(21* babxkkk 1.2 预备知识和误差(1) 误差的来源实际问题 建立数学模型 研究计算方法 编程上机计算解结果。模型误差: 在建立数学模型过程中,不可能将所有因素均考虑,必然要进行必要的简化,这就带来了与实际问
13、题的误差。测量误差: 测量已知参数时,数据带来的误差。截断误差: 模型的准确解与某种数值方法的准确解之间的误差称为截断误差或方法误差。舍入误差: 计算机的字长是有限的,每一步运算均需四舍五入,由此产出的误差称舍入误差。如：、13，取小数点 8 位、16 位。截断误差的实例 23111,!x nexx 已 知求 的 近 似 值 ， 并 估 计 误 差 。解：利用展开式的前三项，取 n=2，12()(1)0.5e00()(1)10!nnnTaylorfxfxfx由 公 式 ： 91(),01)!nxnRxe1 120.5.7*3!e 截断误差为：0.17舍入误差的实例，设在一台虚构的 4 位数字的
14、计算机上计算942.6.49.，舍入误差为 0.000472。11数值计算方法主要讨论截断误差和舍入误差的影响,不讨论模型误差和测量误差。三、误差的基本概念(1) 误差与误差限误差不可避免，设以 代表数 的近似值，称 *xe是近似值 的绝对误差。简称误x*差。误差是有量纲的,可正可负。误差通常是无法计算的,但可以估计出它的一个上界。即 *x称 是近似值 的误差限，或称精度，即x*。(2) 相对误差与相对误差限绝对误差并不能完全反应精度，称 xe*为近似值 的相对误差,记作 re。相对误x差是个相对数,是无量纲的,也可正可负。相对误差的估计 re,称 r为相对误差限,即rx*。(3) 有效数字定
15、义: 如果近似值 的误差限是n102(某一数位的半个单位),则称 准确到小数点后 nx位,并从第一个非零的数字到这一位的所有数字均为有效数字。如：3.1415926535,3.14 有三位有效数字,误差限 =0.005;3.1416 有五位有效数字,误差限为 0.00005。(4) 有效数字与误差限的关系：有 n 位有效数字，标准形式为 其中 ai(i=1,2,)是 09 之间的x nmax.0121整数,且 ,如果误差 ，称 为 的具有 l 位有效数值的01all,* x*近似值.(5)有效数字与相对误差的关系：10标准形式为 ，则：nmax.0121*a) nxn1* 0|位证： nmnn
16、max 11* 221021|b) ，则na11*0)(2|位 位x*证： nmnn aax 102)(10)(211例，已知 ，试问其近似值.4596.3各有几位有效数字？并给出它们的误差限和46.3,.21 x相对误差限。，十分位以前都是有效数字，有两位有效数字111 04.xe 12111 63r有三位有效数字222 0.xe 23122 6r，有四位有效数字333 009.xe 34133 62r，有五位有效数字444 00.xe 45144 632r例：为使 *的相对误差小于 0.001%,至少应取几位有效数字？解： %01.1021nra11，则 *=3.141596,6lognn
17、位位1.3 数值计算的若干原则1. 避免两相近数相减当 x 较大时，计算 ，可先转化为x1 xx11,精确值hff 2)(2)( 得 导 数 值在 35.0)2(f令 h=0.1 得 0378419)( hf令 h=0.0001 得 02.2)( f计算 ，分子出现相近数相减，可转换为。1,sinco1x，再计算s2.避免绝对值太小的数做除数分母接近零的数会产生溢出错误,因而产生大的误差,此时可以用数学公式化简后再做. 1010y3.要防止大数“吃掉”小数计算机在进行算术计算时,首先要把参加运算的数对阶，即把两数都写成绝对值小于 1,而阶码相同的数。如： 必须改写成: 如果19x 1010 x
18、计算机只能表示 8 位小数，则算出 , 大数吃掉了小数。这种情形是要尽量避10.免的。4. 简化计算步骤，提高计算效率简化计算步骤是提高程序执行速度的关键，它不仅可以节省时间，还能减少舍入误差。例 4：设 A、B、C、D 分别是 1020、 2050、 501、 1100 的矩阵，试按不同的算法求矩阵乘积 E=ABCD.解：由矩阵乘法的结合律，可有如下算法1. E=(AB)C)D. 计算量 N=11500flop2. E=A(B(CD). 计算量 N=125000flop3. E=(A(BC)D. 计算量 N=2200flop5.要使用数值稳定的算法我们已经知道，所谓算法的稳定性，是指误差的传
19、播可以得到控制，在用计算机解决实际问题时，运算次数成千上万。如果误差的传播得不到控制，那么误差的累积会使问题的解答成为荒谬的，尤其是某些病态问题（如病态方程组） ，舍入误差对其计算结果往往有非常12严重的影响。因此，在选择计算方案时，要特别谨慎。考察方程组解为 6047 12365 413 2 1x1,132xx四舍五入系数后，解为 49.1,8.,9.321x尽管系数变动不大，但求出得解却变动很大，这类问题称为病态的。例：蝴蝶效应（气象学家洛伦兹，1963） 南美洲亚马孙河流域热带雨林中的一只蝴蝶翅膀一拍，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯引起一场龙卷风？！1314第二章 插值法
20、一、教学目标及基本要求通过对本章的学习，使学生掌握插值法计算常见的数学问题。二、教学内容及学时分配本章主要介绍数值分析的插值法。具体内容如下：第 3-4 学时讲授内容：问题的提法、拉格朗日插值公式。第 5-6 学时讲授内容：插值余项、牛顿插值公式。第 7-8 学时讲授内容：曲线拟合。三、教学重点难点1教学重点：插值方法的由来、拉格朗日插值公式、牛顿插值公式、曲线拟合。2. 教学难点：拉格朗日插值公式、牛顿插值公式。四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解。第 2 讲 拉格朗日插值公式众所周知，反映自然规律的数量关系的函数有三种表示方法：A. 解析表达式 5)(3
21、xf.(开普勒(Kepler)方程) ysin.。悬链线方程: )/co(y。B. 图象法C. 表格法151、插值法 对于一组离散点 ，选定一个便于计算的简单),.210(),(nixfi函数 ，如多项式函数，要求 满足 ，由此确定函数 作P(x)P(iixf P(x)为 的近似函数，然后通过处理 获得关于 的结果。这就是插值方法。f2、曲线拟合 选定近似函数 时，不要求近似函数 必须满足(x)(x)，而只要求在某种意义下（最小二乘法原理），使近似函数)(iixfP在这些点上的总偏差量最小，这类方法成为曲线拟合。)1.1 多项式插值问题的一般提法1 插值法的概念:假设函数 y=f(x)是 a,
22、b上的实值函数， x0,x1,xn是 a,b上 n+1 个互异的点， f(x)在这些点上的取值分别为 y0,y1,yn,求一个确定的函数 P(x),使之满足:P(xi)=yi (i=0,1,2,n) (1)称 x0,x1,xn为插值节点，关系式(1)称为插值原则，函数 P(x)称为函数 y=f(x)的插值函数，区间 a,b称为插值区间。2 泰勒插值：人们熟悉的泰勒展开方法其实就是一种插值方法，泰勒多项式：（1）nnn xfxfxfxfP )(!.)(!2)()( 0020000 与 在点 邻近会很好的逼近 。泰勒余项定理:16定理 1 假设 在含有点 的区间a,b内有直到 n+1 阶导数，则当
23、f(x)0x时，对于式（1）给出的 ，成立,bax()Pn101()!)(nnfPf其中 介于 与 x 之间，因而 。0 ,ba所谓泰勒插值指下述问题：问题 1 求作 n 次多项式 ，使满足 ， 为()Pn nky)(xkn,.210,)(0)(0ky一组已给数据。易看出，上述插值问题的解就是泰勒多项式（1） 。例 1 例题分析:求作 在 的一次和二次泰勒多项式，利用它们计算 的近似xf()10 15值并估算误差。解：， ， ， f()2/1 ()f 2/341x()f 2/583x()f， ， ， 10x00x00 00在 的一次泰勒多项式是f() xxffP5.)()(001 时5x 71
24、15P根据定理 1 可估计误差 05.281.0)(2)(2)( 00 xfxfpf误差小于十分位的一半，故十分位及前面的数字为有效数字，所以结果有三位有效数字。修正 可进一步得到二次泰勒公式)(1xP2002 )(xf72185.08.751)5(2 f 05.06321.)()() 3302 xffxpf误差小于百分位的一半，故百分位及前面的数字为有效数字，所以结果有四位有效数字。泰勒插值是一种有效的插值方法，对函数要求严格（要足够光滑，存在高阶导数），要计算函数的高阶导数，而高阶导数的计算对计算机来说就很困难；另外，计算过程不能形成机械重复的过程，不利于计算机程序实现。1.2 拉格朗日(
25、Lagrange)插值1 多项式插值的存在惟一性:多项式导数易于计算，函数表达式简单，计算机易于计算，故考虑用多项式函数作为插值函数来模拟实际函数。从如下数据表着手,并假定 njixji 0,，17x : x0 x1 x2 xny : y0 y1 y2 yn 求 n 次多项式nnaaP10)(, 使得：P(xi)=yi (i=0,1,2,n) 。根据插值条件，有： nnnyxax 10110)(1)显然，这是一个关于 ,的 n+1 元线性方程组，其系数矩阵的行列式为 nnnxxV ),(1010注意到插值节点 ,2i两两相异，而 0)(),(010nijjxV故方程组(1)有惟一解 na10,
26、于是满足插值条件的多项式存在且惟一。定理 由 n+1 个不同插值节点 可以惟一确定一个 n 次多项式xaxP10)(满足插值条件 iinyxP)(。从理论上说，由方程组(1)可以求出 ,10的惟一解,从而确定 )(xP。但从数值计算上看，当 n 较大时求解线性方程组的工作量较大且不便应用。解方程组（1）需计算 n+1 个 n 阶行列式，每个 n 阶行列式为 n!项之和，每项又是 n 个元素的乘积，需 n-1 次乘法，所以求解需要 次乘法，)1(!n当 n 较大时，计算量非常大。为解决此问题，现已提出了不少构造 )(x的巧妙办法。2 Lagrange 插值的基函数构造法首先讨论 n=1 时的情形
27、。已知 10,;yx，求 aL10)(使得 10)(;yxL显然 )(是过 和 ,y两点的一条直线。18由点斜式容易求得 iiyxlxyxL)()()( 1010011 其中， ),(ixli具有如下特点：1(;01xl称其为线性插值基函数。 L可以通过函数 )1,0(ixli 组合得出，且组合系数恰为所给数据 y0,y1。再讨论 n=2 时的情形。显然 )(2x是过 ),0、 ,(1y、 ),2三点的一条抛物线。仿照线性插值基函数的构造方法，令 )()()()(120212010xxlxl其中， ,ii具有如下特点：)(;)(;212021lxl称其为抛物线插值基函数(如下图所示)。19于是
28、， 20120100212 )()()()(iiyxlxxL最后讨论一般情形。求 Ln(x)使得 L(xi)=yi (i=0,1,2,n) 。令 n 次多项式插值基函数为: njijil0,),1(),xli具有如下特点： ),1,(njiijji 。于是，满足插值条件的 n 次多项式可以直接写为: iiijjin yxlxL00)()我们称 Ln(x)为 Lagrange 多项式， )(i其 Lagrange 插值基函数。20YN开始输入 niyxi .2,10),(,k1tnkjtxjk ,.,.0*ytykk=n输出 y结束k1思考 给定 xi = i +1, i = 0, 1, 2,
29、3, 4, 5. 下面哪个是 l2(x)的图像？3 插值余项如图所示，其截断误差 Rn(x)=f(x)-Ln(x)，称为 Lagrange 插值多项式的余项。21定理 假设 f(x)在a,b上有连续的直到 n+1 阶导数，且在不同插值节点n,10取值为 iiyf)(, (xL是经过插值样点,iy的 Lagrange 插值多项式，若引进记号： niin 010 )()则当 ,bax时，有如下的误差估计： ),(!)(10)( baxnffRiin证明：因为 niLiiin 于是可假定 )x具有如下形式： iinxkk010 )()(将 x 看作(a,b)上的一个固定点，作辅助函数 iin nxt
30、tLf tt01)()(容易看出， 有 x,1,0 共 n+2 个相异零点,且在 a,b上存在 n+1 阶导数。根据罗尔, t在 的两个零点之间至少有一个零点，故 )(t在 a,b上至少有 n+1 个零点。如此类推, )(t在( a,b)上至少有 1 个零点 ,使得)(0)11)1( tiinnxdkf注意到 nL是 n 次多项式， ()t； ii的首项为 ，1nt故 !(0)1xtdii。由上述方程解得 ),)1bafk。于是 niinR0(!224 例题例 1 已知函数 y=f(x)的观察数据为xk 2 0 4 5yk 5 1 3 1试构造 f(x)的拉格朗日多项式 Ln (x)，并计算
31、f(1)。解 先构造基函数所求三次多项式为L3(x)= - L3(1) 第 3 讲 牛顿公式1.4 差商与差分及其性质1 差商的概念:称 010)(,xff为函数 f(x)的一阶差商；称 2102,为函数 f(x)的二阶差商；23一般地，称 01110 ,.,.,.xffxfnnn为函数 f(x)的 n 阶差商；特别地，定义 )(0f为函数 f(x)关于 xo的零阶差商。由此可知，高阶差商总是由比它低一阶的的两个差商组合而成。2 差商性质（a） 性质 1:n 阶差商可以表示成 n+1 个函数值 01,nyy 的线性组合,即 ki niiii xxxfxf0 1110 )()()(,. 该性质说
32、明： k 阶差商 ,.nf计算是由函数值 f(x0),f(x1),f(xk)线性组合而。如: , 01201210fxf；)()(xf)()()()()()(, 120210201210 01021020 xfxfxffxfff (b) 性质 2(对称性): 差商与节点的顺序无关。即0110,fxfx，202021,xfx这一点可以从性质 1 看出。3 利用差商表计算差商利用差商的递推定义,可以用递推来计算差商。差商表： ix()if一阶差商 二阶差商 三阶差商240x0()fx1 101,2x2()f2012,fx3 3x3,30123,fx如要计算四阶差商,应再增加一个节点,表中还要增加一
33、行。4 差分的概念定义设函数 y=f(x)在等距节点 ),(0nihi 上的函数值 f(xi)=fi,其中， h 为常数称作步长。称 fi=fi+1-fif i=fi-fi-1fi=f(xi+h/2)-f(xi-h/2)= 21iif分别为 f(x)在 i处以 h 为步长的一阶向前差分，一阶向后差分和一阶中心差分。称符号 、 、 分别为向前差分算子，向后差分算子和中心差分算子。21-n1-n-iiiiiiff在节点等距情况下，差商可用差分表示，设步长 ，有iixh1iiii yhxffxf )(),(11 iiiiiiii yhyhxf 212212 )(),(, 一般形式(数学归纳法可证)
34、ikkii yhxf !1),.11.5 牛顿插值公式1. 牛顿插值公式的构造Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数 li(x) 都需重新算过。本节介绍另外一种方法-牛顿插值法，并用它解决上面所述问题。25由线性插值，令)()(0101 xxyN )()(, 0101010 xaxNxyay二次插值能否写成 )()()( 1020102 xaxax由条件 得221, yNyyN12002010, xaxay推广得 ).(. ()(1010210nnnxaN,其中， ,10 为待定系数。如何求 na0 ?解: 因为0()ffxx, 所以 0() (0)又00101 1,
35、fffxx,有()(1)又 01012012 2,fxfxfx010120122,()fffx(2)一般地, nnn xfx ,.,. 101(n)(,.,.,. 1010110 nnnxffxf 将式(n)代入式(n-1), .,式(2)代入式 (1),式(1)代入式 (0),如此可得:260010(),()fxfx12,(01 01 1,()()()n nfxxxxx 01 01,()()()n nfxxxxx 尤为注意的是：最后一项中,差商部分含有 ,乃是余项部分,记作 ()nRx;而前面 n+1 项中,差商部分都不含有 ,因而前面 n+1 项是关于 的 n 次多项式,记作 )N,这就是
36、牛顿插值公式 。2 算例例 1:当 n=1 时， 0010()(),()fxffxx0101,()()fxxx,其中, 10010()(),()Nff0 001()yxx。这就是牛顿一次插值多项式，也就是点斜式直线方程。当 n=2 时, 0010()(),()fxfxfxx01201,()()fxxxx012012, ()() 20010()(),()Nxfxfxx 01201,()()fxxx这就是牛顿二次插值多项式。显然, 200()()f, 01210 01()()()() )()fxfxNxfx xfx0120 20()()()() )ffxxfx x0112202102()()()(
37、)1 )()fxfffxxxx ()f。即 2()Nx满足二次插值条件。例 2: 已知27ix1 2 4 7()if0 1 15 12求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。解: 由于: 0()fx, 01,fx, 012,4fxx,0123,.25f ;则牛顿三次插值多项式为 3()0(1)4(1)(3)Nxxxx1.25(1)(3)()。3 拉格朗日插值与牛顿插值的比较(1) ()nPx和 ()nNx均是 n 次多项式,且均满足插值条件: ()()(), 0,1,nknkkxfxn。由多项式的唯一性, nPN,因而,两个公式的余项是相等的,即(1)01,()()!nn nffxxx(2)当插
38、值多项式从 n-1 次增加到 n 次时,拉格朗日型插值必须重新计算所有的基本插值多项式;而对于牛顿型插值,只需用表格再计算一个 n 阶差商,然后加上一项即可。4 等距牛顿插值公式插值节点为等距节点：0kxkh， 0,1,n ,如下图：h h h . h0x1x 2 3x . 1nx nx牛顿插值公式设等距节点 0kxkh，记 (),1,kkyfn .当 0,nx，令 0xth， 0tn. 例如（下图）0x 1x 2x 3x28x 在 x2， x3的中点时， 02.5xh。将牛顿插值公式中的差商用差分代替,而 00()()(),kthxktkh从而,牛顿插值公式在等距插值节点下的形式为: 00(
39、)nNxyty32 0 00111()2()(1)()3! !2! nttyttyt n 余项为 ()()()Rxfxfnn1()()()nhttn这是等距牛顿向前插值公式。例 4: 设 ()xyfe插值节点为 ,.52,.3x,相应的函数值如下表,求 f(2.2)。xi yi y i 2yi 3yi 4yi1 2.71828 1.76341 1.14396 0.74210 0.481461.5 4.48169 2.90737 1.88606 1.223562 7.28906 4.79343 3.109622.5 12.18249 7.903053 20.08554解：精确值 f(2.2)=e
40、2.2=9.025011。此时 xk, xk+1,x=2.2=1+2.4h 故 t=2.4,于是2200 08.723(.)(1)2!Nytty求 3.时，在 .N后加一项： (1)0!ty,44.66，所以32(.)(.)0.16239.085N求 4(.)时，在 3(.)N后再加一项：401()2(3)4!ttty2912.4(1)(2.4)(.3)0.48160.168，所以43(.).0.6189.27N2 301569 ,354 ,0.264RRR第 4 讲 曲线拟合1.9 曲线拟合的最小二乘法1 拟合问题的数学提法通过观测、测量或试验得到某一函数在 12,nxx 的函数值 12,n
41、yy 。我们可以用插值的方法对这一函数进行近似,而插值方法要求所得到的插值多项式经过已知的这 n 个插值结点;在 n 比较大的情况下,插值多项式往往是高次多项式,这也就容易出现振荡现象:虽然在插值结点上没有误差,但在插值结点之外插值误差变得很大,从“整体”上看,插值逼近效果将变得“很差”。于是,我们采用曲线拟合的方法。所谓曲线拟合是求一个简单的函数 ()yx,例如 ()x是一个低次多项式,这儿不要求 ()yx通过已知的这 n 个点,而是要求在整体上“尽量好”的逼近原函数。这时,在每个已知点上就会有误差 ()kkyx, 1,2,n ,数据拟合就是从整体上使误差 ()kkyx, 1,2,n 尽量的
42、小一些。x1 x2 x3 xn-1 xn如果要求1()nkkkyx达到最小，因误差 ()kkyx可正可负,本来很大的误差可能会正负抵消,为防止正负抵消,可以要求 1nk达到最小,但是由于绝对值函数不可以求导，分析起来不方便,求解也很难。为了既能防止正负抵消,又能便于我们分析、求解，提出如下问题：30求一个低次多项式 ()x,使得 21()nkkQyx达到最小,此问题便是一个曲线拟合的最小二乘问题。1 直线拟合（一次函数）a) 问题的提法通过观测、测量或试验得到某一函数在 12,nxx 的函数值 12,nyy ，即得到 n 组数据 1(,)xy, 2(,),()nxyy 如果这些数据在直角坐标系
43、中近似地分布在一条直线上，我们可以用直线拟合的方法。问题:已知数据 12(,),(,),yy,(,)nxy ,求一个一次多 项式 )xabx（实际上，就是求 a,b）, 使得2 21 1(, ()n nkkkkk kQabyyx 达到最小注意到 (,)中, ,kx均是已知的，而 a,b 是未知量, (,)Qab是未知量 a,b的二元函数,利用高等数学中求二元函数极小值(最小值)的方法，因此，上述问题转化为求解下列方程组 (,)0,Qabb) 正则方程组由21(,)nkkQabyabx得：11(,)2()0(,)()nkknkkQyabxab得到如下的正则方程组 112111nnkknnnkkkaxbyxx这是个关于 a,b 的二元一次方程组，称其为最小二乘问题的正则方程组.解得a,b,便得到最小二乘问题的拟合函数 yabx。c) 算例
