1、.: .:增 大 而 减 小随在 对 称 轴 右 侧 ， 增 大 而 增 大 ；随在 对 称 轴 左 侧 ，开 口 向 下 增 大 而 增 大随在 对 称 轴 右 侧 ， 增 大 而 减 小 ；随在 对 称 轴 左 侧 ，开 口 向 上 xyxy一、二次函数的定义1.下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( )Ayx(x1) Bxy1 Cy2x 22(x1) 2 D 132xy2.当 m 时，函数 y(m2)x 24x5(m 是常数)是二次函数3.若 是二次函数，则 m 122)3(mxy4.若函数 y3x 2的图象与直线 y=kx3 的交点为(2，b)，
2、则 k= ，b .5.已知二次函数 y4x 22mx+m 2与反比例函数 的图象在第二象限内的24yx一个交点的横坐标是2，则 m的值是 二、二次函数的图象与性质)(4)(2),()4,2)(222yxabckyhxxabkcaakhxycbxy代 入 求或 将 值小最 大 值小最 大 时 ，最 值 ： 当时 ，最 值 ： 当 对 称 轴 ：对 称 轴 ： 顶 点顶 点 （ 开 口 方 向开 口 方 向 公 式 1.对于抛物线 yax 2，下列说法中正确的是( )Aa 越大，抛物线开口越大 Ba 越小，抛物线开口越大Ca越大，抛物线开口越大 Da越小，抛物线开口越大2.下列说法中错误的是( )
3、A在函数 yx 2中，当 x0 时，y 有最大值 0B在函数 y2x 2中，当 x0 时，y 随 x的增大而增大C抛物线 y2x 2，yx 2， 中，抛物线 y2x 2的开口最小，抛物线21yx 2的开口最大D不论 a是正数还是负数，抛物线 yax 2的顶点都是坐标原点配方),1(3yC ),2(),1(yByA3.二次函数 y=2（x3） 2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）A开口向下，对称轴 x=3，顶点坐标为（3,5）B开口向上，对称轴 x3，顶点坐标为（3，5）C开口向上，对称轴 x=3，顶点坐标为(3,5)D开口向下，对称轴 x=3，顶点坐标为(3,5）4.已知抛物线
4、的解析式为 y=(x2) 2+1，则抛物线的顶 点坐标是 ( )A(2，1) B(2，1) C(2，1) D(1，2)5.已知二次函数 y x24 x5 的顶点坐标为( )A(2，1) B(2,1) C(2，1) D(2,1)6.抛物线 y=x2+2x-1的对称轴是 ，当 x 时，y 随 x的增大而增大；当 x 时，y 随 x的增大而减小7.抛物线 的顶点坐标为 ，则 b= ,c= .cb23)0,32(8.函数 yx 22xl 的最小值是 ；函数 y-x 2+4x的最大值是 .9.已知抛物线 的顶点在坐标轴上，则 a= .9)2(xa二次函数的对称性二次函数 ：)0(2acbxy（1）此函数
5、的对称轴为直线 ；abx2（2）若函数与 x轴相交于点 ，则对称轴可表示为 ；)0,(,21BA21x（3）若函数与 x轴相交于点 （特点是纵坐标相同），则对称轴可表示为,21nx.21x10.抛物线 的一部分图象如图所示，该抛物线在 y轴2)1(xay右侧部分与 x轴交点坐标是 .11.如图，抛物线的对称轴是 x=1，与 x轴交于 A、B 两点，B 点坐标为，则点 A的坐标是 .)0,3(12.抛物线 与 x轴交于 两点，则线段 AB的长 .)0()1(2akxy )0,3(,1BA13.已知二次函数 ，若点 在此函数的图象上，且c,),(2yx，则 的大小关系是 .21x21,y14.已知
6、二次函数 的对称轴是直线 ，若点在cax1x此函数的图象上，则 的大小关系是 321,y15.已知二次函数 中，其函数 y与自变量 x之间的部分对应值如下表：cbx2x 0 1 2 3 4 y 4 0 1 0 4 点 在函数的图象上，则当 ， 时， 与 的大小关系),(),(21yxBA21x32x1y2正确的是（ ） 21212121 yDyCyy 三、二次函数的平移、旋转与对称1.把抛物线 向左平移一个单位，然后向上平移 3个单位，则平移后抛物线的表达式（ 2yx） 3)1(.)1(.3)1(.3)1(. 2222 xyDxyCxyBA2.抛物线 经过平移得到抛物线 ，平移的方法是2xy
7、3A向左平移 1个单位，再向下平移 2个单位B向右平移 1个单位，再向下平移 2个单位C向左平移 1个单位，再向上平移 2个单位D向右平移 1个单位，再向上平移 2个单位3.在平面直角坐标系中，如果 的图象不动，而把坐标轴分别向上平移 2个单位，向右3xy平移 3个单位，那么新坐标系中此抛物线的解析式为 .4.将抛物线 的图象向左平移 1个单位，再向下平移 2个单位，平移后的解642xy析式为 .5.将抛物线 的图象向右平移 2个单位再向下平移 2个单位，所得图象的关系式cbxy2为 ，则 b= ,c= .32x6.已知抛物线 ，542xy（1）将其绕着顶点旋转 180后抛物线关系式是 .（2
8、）关于 y轴对称的抛物线关系式是 ;（3）关于 x轴对称的抛物线关系式是 ;（4）关于原点对称的抛物线关系式是 .4、确定二次函数的表达式用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般cbxay2 xy式.(2)顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.kh2(3)交点式： .已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交21xayx1x2点式.1.顶点为（1，3），与 y 轴交点为（0，5）.2.与 x 轴交于 A（1,0）、B（1,0），并经过点 M(0,1).3.图像经过点 A(0，1) 、B(1 ，2)、C(2，1).4.顶点坐标为
9、（1,3）且在 x 轴上截得的线段长为 4.5.图象经过点（1,0）、（0，-3），且对称轴是直线 x=1.6.已知抛物线 如图所示，求它对应的表达式.cbxy25、二次函数的应用知识铺垫：最值问题（1）开口向上1.当对称轴 在所给范围内，必在顶点处取得最小值，在离对称轴较远端点abx2处取得最大值；2.当对称轴 不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最大值，离对称abx2轴较近端点处取得最小值.（2）开口向下1.当对称轴 在所给范围内，必在顶点处取得最大值，在离对称轴较远端点abx230m处取得最小值；2.当对称轴 不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最小值，离对称abx2轴较近端点处
10、取得最大值.1.当 时，求函数 的最大值和最小值2x32xy2.当 时，求函数 的最大值和最小值21x12xy3.当 时，求函数 的最大值和最小值0x)2(xy几何问题4.在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，其中 AB和 AD分别在两直角边上.（1）如果设矩形的一边 AB=x m,那么 AD边的长度如何表示？（2）设矩形的面积为 y m2，当 x取何值时，y 的值最大？最大值是多少？（3）若将矩形改为图 2所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？5.用长为 80 m的栅栏，再借助外墙围城一个矩形羊圈 ABCD，已知房屋外墙长 50 m，设矩形 ABCD的边 AB=x m，面
11、积为 S m2.（1）写出 S与 x之间的关系式，并指出 x的取值范围；（2）当 AB,BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？C40m6.有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽 AB=20 m，当水位上升 3 m时，水面宽 CD=10 m.（1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；（2）有一条船以 5 km/h的速度向此桥径直行来，当船距离此桥 35 km时，桥下水位正好在 AB处，之后水位每小时上涨 0.25 m，当水位达到 CD处时，将禁止船只通行.如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？最大利润问题7.某旅馆有客房 120间，每间客房的日租金为 160元，每
12、天都客满，经市场调查，如果每间客房的日租金增加 10元，那么客房每天出租数会减少 6间。不考虑其他因素，旅馆将每天的日租金提高多少元时，客房日租金的总收入最高？8.某人开始时,将进价为 8元的某种商品按每件 10元销售,每天可售出 100件.他想采用提高最大售价的办法来增加利润.经试验,发现这种商品每件每提价 1元,每天的销售量就会减少 10件.每件定价多少元时,才能使一天的利润最大?最大利润是多少？9.某大型酒店有包房 100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费 100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高 20元，则减少 10间包房租出. （1）设每间包房收费提高 x（元），则每间
13、包房的收入为 y1（元），但会减少 y2间包房租出，请分别写出 y1、y 2与 x之间的函数关系式. （2）为了投资少而利润大，每间包房提高 x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为 y（元），请写出 y与 x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由.6、二次函数与一元二次方程二次函数 的图象与 x轴交点的坐标和一元二次方程 的cbxay2 02cbxa根的关系：1.当0 时,抛物线与 x轴有两个交点，这两个交点的横坐标是方程1x21x1x的两个不相等的实数根；02cbxa2.当=0 时, 抛物线与 x轴有一个交点，这个交点的横坐标是方程 的02cb
14、xa两个相等的实数根，并且这一个交点即为抛物线的顶点；3.当0 时，图象与 x 轴有两个交点 ，两点距离 .)0,(,21x)2112x当 a0 时，当 或 时， ；当 时， .12y210y当 a0 时，x 为任何实数时，函数值 ；y当 a0 时，图象落在 x 轴的上方，x 为任何实数时，都有 y0；当 a0，则 x 的cby2取值范围是（ ）A-41 Dx17、二次函数中 的意义cba,二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则 a0；否则 a0（2）b 由对称轴和 a 的符号确定：由对称轴公式 判断符号，左同右异bx2（3）c 由抛物
15、线与 y 轴的交点确定：交点在 y 轴正半轴，则 c0；否则 c0；过 原点，c=0（4）b 2-4ac 的符号由抛物线与 x 轴交点的个数确定：2 个交点，b 2-4ac0；1 个交 点，b 2-4ac=0；没有交点， b2-4ac0（5）当 x=1 时，可确定 a+b+c 的符号；当 x= -1 时，可确定 a-b+c 的符号；当 x=2 时，可确定 4a+2b+c 的符号，当 x=-2 时，可确定 4a-2b+c 的符号（6）由对称轴公式 与 x=1 和 x= -1 比较，可确定 2a+b，2a-b 的符号abx21.已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下结论
16、：a+b+c0；a b+c0； b+2a0；abc0其中所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D.2.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：a0；c0；b 24ac0； 0 中，正确的结论有（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.如图，二次函数 y=x2+（2m）x+m 3 的图象交 y 轴于负半轴，对称轴在 y 轴的右侧，则 m 的取值范围是（ ）A. m2 B. m3 C. m3 D. 2m34.如图为二次函数 y=ax2bxc 的图象，在下列说法中正确的说法有 .ac0； 方程 ax2bxc=0 的根是 x1= 1, x 2= 3
17、 a bc0 当 x1 时，y 随 x 的增大而增大.5.二次函数 y=ax2bxc 的图象如图所示，对称轴是直线 x=1.有以下结论：(1)abc0; (2)4ac2.其中正确的结论的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4第 4 题 第 5 题 -第 6 题 6.如图所示，二次函数 的图象经过点 ，且与 轴交点的横坐标2(0)yaxbc(12)， x分别为 ，其中 ， ，下列结论中正确的有（ ）12x， 121x ； ； ； 40abc0aba284bacA1 个 B2 个 C3 个 D4 个7.如图，二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 y轴正半轴相交，其顶点坐标为（ ，1）
18、，下列结论：ac0；a+b=0；4ac-b2=4a；a+b+c0其中正确结论个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.48.已知：二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中：b0；c0；4a+2b+c 0；（a+c） 2b 2，其中正确的个数是 （ ）A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个9.已知抛物线 y=ax2+bx 和直线 y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）A B C D10.如图为二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，给出下列说法：ab0；方程 ax2+bx+c=0 的根为 x1=1，x 2=3； a+b+c0； 当 x1 时，y 随
19、x 值的增大而增大；当 y0 时，x 1 或 x3其中，正确的说法有（ ）A. B. C. D.8、二次函数与几何图形（一）二次函数与三角形类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或与坐标轴平行这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适方法求出图形的面积。1.已知：抛物线的顶点为 D（1，-4），并经过点 E（4，5）.（1）求抛物线解析式；（2）求抛物线与 x轴的交点 A、B 坐标，与 y轴交点 C坐标；（3）求下列图形的面积ABD、ABC、ABE、OCD.2.如图，二次函数 y=ax2bxc 与 x 轴交于两点 ，与 y轴)0,(,21
20、xBA)21负半轴交于点 C，若抛物线顶点 D的横坐标是 1，A、B 两点间的距离是 4，且ABC的面积是 6.（1）求 A和 B两点的坐标； （2）求此二次函数的表达式；（3）求四边形 ACDB的面积.类型二：三角形三边均不与坐标轴平行，作三角形的铅垂高（歪歪三角形拦腰截）1.关于 的知识点：如图，过 ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直2铅 垂 高水 平 宽 S的 三条直线，外侧两条直线之间的距离叫 ABC的“水平宽”( a)，中间的这条直线在 ABC内部 线段的长度叫 ABC的“铅垂高( h)”.可得出一种计算三角形面积的新方法： ，ahSABC21即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一
21、半. 2.铅垂高：横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值，表示为 ； DCy水平宽：两个点的横坐标差的绝对值，表示为 .BAx1.如图，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0)，交 y 轴于点 B.（1）求抛物线和直线 AB 的解析式；（2）点 P 是抛物线(在第一象限内 )上的一个动点，连结 PA，PB，当 P 点运动到顶点 C 时，求CAB 的铅垂高 CD 及 ；CABS（3）是否存在一点 P，使 SPAB = SCAB ，若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由.89如 2. 如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，0），连结 OA，将线段 OA 绕原点 O
22、 顺时针旋 转 120，得到线段 OB.（1）求点 B 的坐标； （2）求经过 A、 O、 B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐坐 标；若不存在，请说明理由.（4）如果点 P 是（2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么PAB 是否有最大面积？若有，求出此时 P 点的坐标及PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.3.如图，已知直线 y=3x3 分别交 x轴、y 轴于 A、B 两点，抛物线 y=x2+bx+c经过 A、B 两点，点 C是抛物线与 x轴的另一个交点（与 A点不重合） （1）求抛物线的解析式； （2）求ABC 的面积； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点 M，使ABM 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点 M的坐标4.如图，已知一次函数 y=0.5x+2的图象与 x轴交于点 A，与二次函数 y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点 B，二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x轴只有唯一的交点 C，且 OC=2 （1）求二次函数的解析式； （2）设一次函数 y=0.5x+2的图象与二次函数 y=ax2+bx+c的图象的另一交点为 D，已知 P为 x轴上的一个动点，且PBD 为直角三角形，求点 P的坐标
