1、Monte Carlo法的原理及其在通信仿真中应用主讲人:华北电力大学电子系张京席蒙特卡洛 (Monte Carlo)简介 蒙特卡洛是摩纳哥公国的一个城镇，拥有世界闻名的大赌场。 摩纳哥，位于欧洲西南部，地中海边峭壁上的公国，它建在阿尔卑斯山山脉突出地中海的悬崖之上，北、东、西三面都与法国接壤。它的面积只有1.95 平方公里，是世界上海岸线最短的国家，堪称世界“ 袖珍国” 。摩纳哥依山傍海，景色宜人，犹如一个五彩缤纷的海滨公园。摩纳哥也因蒙特卡洛而得名赌博之国。Monte Carlo方法的基本思想 Monte Carlo方法亦称为随机模拟（Random simulation ）方法，有时也称作
2、随机抽样(Random Sampling) 技术或统计试验(Statistical Testing) 方法。蒙特卡洛模拟法的概念 当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型，或者模型太复杂而不便应用则可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值。随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。由于需要大量反复的计算，一般均用计算机来完成。Monte Carlo方法的基本思想Monte Carlo方法的基本思想是，为了求解数学、物理、工程技术以及生产管理等方面的问题，首先建立一个概率模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征，最后给出所求解的近似
3、值。而解的精确度可用估计值的标准误差来表示。 事件A 在n 次试验中出现的次数为nA，其出现的频率为 ， 依概率收敛于事件A 出现的概率P 的问题。用随机变量X表示事件A，Xi表示第i次实验。若A出现则Xi=1，否则Xi=0，若A出现的概率为P，则AnnAnn()1 0(1 )iEX p p p= + =11() ( ) ( )nniiiiE XEX EXnp=22 2()1 0(1)iE Xp pp= + =22 2() ( ) () (1 )ii iDX EX E X p p p p= =11() ( ) ( ) (1 )nniiiiD XDX DXnpp= =()AEn np=() (1
4、 )ADn np p= ()AnE pn=21(1)() ()AAnppDDnnn n=契比雪夫不等式由契比雪夫不等式得，对任意 0，有()AAAnnnPp PE = 22()(1 )11AnDppnn =若令 ，便得到 。该式说明 时，事件A的频率可认为是事件A发生的概率。nlim 1AnnPpn =n/Ann接收机的错误比特 若我们想通过仿真的方法测量系统的误码率BER，我们需发送N比特的数据，并计算接收机的错误比特数 。()eNN()()eeNNPNN=那么误码率lim ( )eenP PN= 为了确定误码率，仿真无限比特是不现实的。问题是为了得到相对准确的估计，需多少比特？对该问题的回
5、答取决于怎样定义准确。令Xn是一个贝努利随机变量，它指出仿真中第n比特是否正确地接收到，若正确，Xn=0，否则Xn=1。那么 。依中心极限定理， 是一个高斯随机变量。11()NennPN XN=()ePN11 1()NN Nennenn nEPN E X EX P PNN N= = = ()22211 11()NN NNenmnmnm nmE PN E XX EXX= = 222111NN Nnm nnmn nmEX EX EX= =+ 2221()eeNNPNPN =+ 方差为：()222() var () () ()1(1 )1eeeeeeeD PN PN E PN E PNPPNPN =
6、 = =1() (, )eeeP NNPPN假设我们希望误码率的估计值 在真实值 附近一定百分比，即其中是我们的估计精度，越小，则估计越精确。()ePNeP(1)()(1)eeePPNP +把 归一化，令 ，则那么，其中，()ePN()/eeeP NPuP N=(0,1)uN221()2txQx e dt=()()12/12eeee eeeePPPN P P P u PNPPPu QPN PNQNP = = =1-是置信水平，若令可得这里我们得出Pe的估计精度，估计的可信度 1- 和需要仿真的比特数目之间的一个定量关系。由上式可得： Pr (1 ) ( ) (1 ) 1eeePPNP +=( )2eQNP=21112eNQP = 结论：如果我们希望 Pe的估计精度在真实值附近 100%范围内的可信度为 1-，我们应仿真度的比特数是。我们仿真中可统计错误数目，一旦满足要求的错误数目达到，即中止仿真，这样，错误比特数的数学期望为：21112eNQP = ()2112eeEN NP Q = 例：若要求 Pe估计值在真实值附近0.1的可信度为0.95，即 =0.1， =0.05，试求达到该置信水平需要统计的错误比特数的期望值。解：这样统计39个错误比特可以以95%的概率使估计精度在真实值附近10%。()21138.42eeEN NP Q= =
