1、2.1.2 由曲线求它的方程、 由方程研究曲线的性质,第二章 圆锥曲线与方程,引入课题,解析几何研究的主要问题 (1)根据已知条件，求出表示_； (2)通过曲线的方程，研究曲线的_,曲线的方程,性质,知识点一：直接法求轨迹方程,例1 已知一条直线l和它上方的一个点F， 点F到l的距离是2. 一条曲线也在l的上方， 它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.,定点、定直线,形成曲线的动点满足的几何条件,x,F,O,y,l,解：,以l所在直线为x轴， 过F垂直于l的直线为y轴， 建立坐标系xOy,则F(0,2).,曲线的范围,何为适当？,x,F,O,y,
2、M,设M(x,y)为曲线上任意一点，,点M满足的限制条件为|MF|-|ME|=2，,E,将点M的坐标代入条件，得, 2 + (2) 2 =2，,化简，得：= 1 8 2 ，,由于曲线在x轴的上方，y0，,所求曲线方程= 1 8 2 (x0)，,移项，平方,知识点一：直接法求轨迹方程,跟踪训练,1.已知在直角三角形ABC中，角C为直角，|AB|=2， 求满足条件的点C的轨迹方程,x,O,y,A,B,C,解：以AB所在直线为x轴， 以线段AB的垂直平分线为y轴， 建立坐标系xOy，则A(-1,-0),B(1,0)，,设C(x,y),则 =(+1,), =(1,)，,由已知， =0，,代入得： (x
3、1)(x1)y20，,化简得x2y21，,由已知A、B、C不共线， y0， 点C的轨迹方程为 x2y21(y0),知识点二:定义法求轨迹方程,例2 已知圆C：(x1)2y21，过原点O作圆的弦OQ， 求所作弦的中点P的轨迹方程,x,O,y,C,Q,M,P,设P(x,y)为其中点， 则CPOQ，设M为OC的中点， 则M的坐标为( 1 2 ,0). OPC90， 动点P在以点M为圆心， OC为直径的圆上，由圆的方程得 (x- 1 2 )2y2 1 4 (0x1),解：,弦的中点 的几何性质,直角三角形顶点的轨迹,斜边为定值,跟踪训练,2.已知定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动， 线
4、段AB的中点为M，求M点的轨迹方程,解：根据直角三角形的性质可知，,|OM| 1 2 |AB|3，,所以M的轨迹为以原点O为圆心， 以3为半径的圆， 故M点的轨迹方程为x2y29.,知识点三：代入法求曲线方程,例3 已知动点M在曲线x2y21上运动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程,x,O,y,M,P,B,设P(x，y)，M(x0，y0)，,P为MB的中点，,解：,即,又M在曲线x2y21上， (2x3)24y21， P点的轨迹方程为(2x3)24y21.,主动点在已知曲线上运动,从动点在未知曲线上运动,坐标关系,= 0 +3 2 ， = 0 +0 2 ，, 0 =2+3，
5、 0 =2，,跟踪训练,3.已知ABC的顶点A(3，0)，B(0，3)，另一个顶点C在曲线x2y29上 运动求ABC重心M的轨迹方程,解：设ABC顶点C(x0，y0)，则x02y029. 设ABC重心M(x，y) 由三角形重心坐标公式得：,代入式得：(3x3)2(3y3)29， 化简得：(x1)2(y1)21. 此即为ABC重心M的轨迹方程,即,= 0 3 3 ， = 0 3 3 ，, 0 =3+3， 0 =3+3，,知识点四：两曲线的交点问题,例4 已知直线l：yxb与曲线C：y 1 2 有两个公共点， 求实数b的取值范围,解：数形结合：如图所示，,曲线C：y 1 2 为单位圆的上半圆， 与
6、yxb这一组斜率为1的平行直线系有两个交点， b的范围为：1， 2 ),跟踪训练,4.若曲线xyy(k5)x20和直线xyk0的交点的横坐标为正，求实数k的范围,解：将两曲线方程联立得： 消去y得：x24x2k0， 由已知，方程的根为正数， 0且2-k0， 解得：2k2,知识点五：由方程研究曲线,例5 下列方程分别表示什么曲线： (1)(xy1) 1 0；(2)2x2y24x2y30.,解：(1)由方程(xy1) 1 0，可得 即xy10(x1)或x1. 故方程表示一条射线xy10(x1)和一条直线x1. (2)对方程左边配方得2(x1)2(y1)20. 2(x1)20，(y1)20， 解得x
7、=1，y=-1， 从而方程表示的图形是一个点(1，1),x-10， x+y-1=0，,或x-1=0，,跟踪训练,5.下列方程分别表示什么曲线，为什么？ (1)x2xyxy0；(2)(x2)2 2 4 0.,解:(1)原方程化为(xy)(x1)0， xy0或x1. 因此，原方程表示xy0和x1两条直线 (2)由(x2)2 2 4 0，得 x-2=0,y2-4=0，x=2,y=2或x=2,y=-2， 因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，2),归纳小结,1.直接法求轨迹方程：建、设、限、代、化,2.定义法求轨迹方程： 将形成轨迹的动点满足的条件进行合理转化， 结合已知的轨迹定义，发现动点形成的是何轨迹.,3.代入法求轨迹方程： 必有多个动点，其中一个点在已知轨迹上运动， 另一动点随着其运动而运动， 明确它们的坐标关系时解决问题的关键.,当堂训练,1.在ABC中，若B、C的坐标分别是(2,0)、(2,0)， BC边上的中线的长度为5，则A点的轨迹方程是( ) Ax2y25 Bx2y225 Cx2y25(y0) Dx2y225(y0),D,2方程(x2)2(y2)20表示的图形是( ) A圆 B两条直线 C一个点 D两个点,C,
