1、考前突破 考前回扣,一、集合、复数与常用逻辑用语,知识方法,1.集合的概念、关系及运算 (1)集合中元素的特性:确定性、 、无序性,求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验. (2)集合与集合之间的关系:AB,BCAC,空集是任何集合的子集,含有n个元素的集合的子集数为 ,真子集数为 ,非空真子集数为 . 2.复数 (1)复数的相等:a+bi=c+di(a,b,c,dR) . (2)共轭复数:当两个复数实部 ,虚部互为 时,这两个复数叫做互为共轭复数.,互异性,2n,2n-1,2n-2,a=c,b=d,相等,相反数,(ac)+(bd)i,(ac-bd)+(bc+ad)i,3.四种命题的关系
2、(1)两个命题互为逆否命题,它们有 的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 4.充分条件与必要条件 若pq,则p是q的 条件,q是p的 条件;若pq,则p,q互为 . 条件.,相同,充分,必要,充要,易忘提醒,2.区分命题的否定和否命题的不同,否命题是对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定. 3.“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,但A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B,但B不能推出A. 4.复数z为纯虚数的充要条件是a=0且b0(z=a+bi(a,bR).还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧.,习题回扣(命题人
3、推荐),1.(集合的运算)设U=R,A=x|1x3,B=x|2x4,则AB= ,AB=,AUB= .,答案:x|2x3 x|1x4 x|x3或x4,3.(充分必要条件)“ab”是“a2b2”的 条件.,答案:既不充分也不必要,答案:xR,x2-x+10,二、平面向量、框图与合情推理,知识方法,1.平面向量中的四个基本概念 (1)零向量模的大小为0,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为0.,单位向量,(3)方向相同或相反的向量叫 . (4)向量的投影: 叫做向量b在向量a方向上的投影.,共线向量(平行向量),|b|cos,2.平面向量的两个重要定理 (1)向量共线定理:向量a(a0)与b共
4、线当且仅当存在唯一一个实数,使. (2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1,2,使 ,其中e1,e2是一组基底. 3.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)aba=b ; (2)abab=0 .,b=a,a=1e1+2e2,x1y2-x2y1=0,x1x2+y1y2=0,易忘提醒,1.若a=0,则ab=0,但由ab=0,不能得到a=0或b=0,因为ab时,ab=0. 2.两向量夹角的范围为0,向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价.,习题回扣(命题人推荐),答案:-
5、2或11,3.(平面向量的数量积)已知向量a与b不共线,|a|=3,|b|=4,若a+kb与a-kb垂直,则k= .,4.(类比推理)在等差数列an中,若a10=0,则有a1+a2+an=a1+a2+a19-n (n19,且nN*)成立,类比上述性质,在等比数列bn中,若b9=1,则有 .,答案:b1b2bn=b1b2b17-n(n17且nN*),三、不等式与线性规划,知识方法,1.一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax2+bx+c0(a0),再求相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集. 2.线性规划 (1)判断二
6、元一次不等式表示的平面区域的方法 在直线Ax+By+C=0的某一侧任取一点(x0,y0),通过Ax0+By0+C的符号来判断Ax+By+C0(或Ax+By+C0)所表示的区域. (2)解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何意义,数形结合找到目标函数取到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决.,易忘提醒,1.解分式不等式时注意同解变形. 2.作可行域时,注意边界线的虚实;及非线性目标函数的几何意义. 3.在利用基本不等式求最值时,不要忽略“一正、二定、三相等”.,习题回扣(命题人推荐),答案:17 -11,2.(不等式的解法)若关于x
7、的一元二次方程mx2-(1-m)x+m=0没有实数根,则m的取值范围为 .,答案:(-,-22,+),四、函数图象与性质、函数与方程,知识方法,1.函数的性质 (1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则; (2)奇偶性:若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x);若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0;奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;,2.函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图和用图,作函数图象有两种基本方法:一是描点法
8、;二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.,3.函数的零点与方程的根 (1)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标. (2)零点存在性定理 注意以下两点: 满足条件的零点可能不唯一; 不满足条件时,也可能有零点.,易忘提醒,1.函数具有奇偶性时,定义域关于原点对称,但定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性. 2.求单调区间时易忽略函数的定义域,切记:单调区间必须是定义域的子集且当同增(减)区间不连续时,不能用并集符号连接. 3.忽略函数的单调性、奇偶性、周
9、期性的定义中变量取值的任意性. 4.画图时容易忽略函数的性质,图象左右平移时,平移距离容易出错.,习题回扣(命题人推荐),答案:0,1.(奇偶性)若函数f(x)=x2-mx+m+2是偶函数,则m= .,答案:(-,-4,2.(单调性)若函数f(x)=x2+mx-2在区间(-,2)上是单调减函数,则实数m的取值范围为 .,3.(函数图象)已知函数y=loga(x+b)的图象如图所示,则a= ;b= .,4.(零点的应用)若方程7x2-(m+13)x-m-2=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,则实数m的取值范围是 .,答案:(-4,-2),五、导数的简单应用,知识方法,1.
10、导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,即k=f(x0). 2.导数与函数单调性的关系 (1)若可导函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则 在区间(a,b)上恒成立;若可导函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则 . 在区间(a,b)上恒成立.可导函数y=f(x)在区间(a,b)上为增函数是f(x)0的 条件. (2)可导函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)=0是y=f(x)在x=x0处取得极值的 条件.,f(x)0,f(x)0,必要不充分,必要不充分,3.函数的极值与最值 (1)函数
11、的极值是局部范围内讨论的问题,函数的最值是对整个定义域而言的,是在整个范围内讨论的问题. (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有. (3)闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内的函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是函数的最值.,易忘提醒,1.求切线方程时,注意“在点A处的切线”与“过点A的切线”的区别. 2.利用导数研究函数的单调性时不要忽视函数的定义域. 3.函数y=f(x)在区间上单调递增不等价于f(x)0.一般来说,已知函数y=f(x)单调递增,可以得到f(x)0(有等号);求函数y=f(x)的单调递增区间,解f(x)0(没有等
12、号)和确定定义域. 4.对与不等式有关的综合问题要有转化为函数最值的化归思想;对含参数的综合问题要有分类讨论的思想.,习题回扣(命题人推荐),答案:6,2.(极值)已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则c= .,3.(最值)已知函数f(x)=x2+px+q,当x=1时,f(x)有最小值4,则p= , q= .,答案:-2 5,六、导数的综合应用,知识方法,1.利用导数求函数最值的几种情况 (1)若连续函数f(x)在(a,b)内有唯一的极大值点x0,则f(x0)是函数f(x)在a,b上的 ,minf(a),f(b)是函数f(x)在a,b上的 ;若函数f(x)在(a,b)内有唯一的
13、极小值点x0,则f(x0)是函数f(x)在a,b上的 , maxf(a),f(b)是函数f(x)在a,b上的 . (2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则 是函数f(x)在a,b上的最小值, 是函数f(x)在a,b上的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则 是函数f(x)在a,b上的最大值, 是函数f(x)在a,b上的最小值.,最大值,最小值,最小值,最大值,f(a),f(b),f(a),f(b),(3)若函数f(x)在a,b上有极值点x1,x2,xn(nN*,n2),则将f(x1),f(x2), ,f(xn)与f(a),f(b)作比较,其中最大的一个是函数f(x)在a,b上的 ,最小
14、的一个是函数f(x)在a,b上的 . 2.与不等式有关的恒成立与存在性问题 (1)f(x)g(x)对一切xI恒成立I是f(x)g(x)的解集的子集f(x)-g(x)min0(xI). (2)存在x0I使f(x)g(x)成立I与f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)-g(x)max0(xI). (3)对x1,x2D使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min. (4)对x1D1,x2D2使得f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min,f(x)定义域为D1,g(x)定义域为D2.,最大值,最小值,3.证明不等式问题 不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值,再由
15、单调性或最值来证明不等式,其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.,易忘提醒,1.不要忽略函数的定义域. 2.在需分类讨论时,要做到不重不漏,不要忽略导函数中二次项系数的正负,以及根的大小比较. 3.存在性问题与恒成立问题容易混淆,它们既有区别又有联系: 若f(x)m恒成立,则f(x)maxm; 若f(x)m恒成立,则f(x)minm. 若f(x)m有解,则f(x)minm; 若f(x)m有解,则f(x)maxm.,习题回扣(命题人推荐),1.(导数几何意义的应用)如图,直线l和圆C,当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90)时,它扫过的圆内阴影部分的面积S是
16、时间t的函数,这个函数的图象大致是( ),D,2.(比较大小)当x(0,)时,sin x x.,答案:,七、三角函数的图象与性质、三角恒等变换,知识方法,3.三种三角函数的图象和性质,易忘提醒,1.求单调区间时应先把变量系数化为正值再求解,且不要忘记周期性及kZ. 2.注意“在区间a,b上单调递增(减)”与“单调区间是a,b”的区别. 3.图象变换时,变换前后的函数名称要一致. 4.图象变换时,注意“先相位后周期”与“先周期后相位”图象平移的单位个数的区别.(平移只对“x”而言) 5.解三角变换问题的基本思路是:一角、二名、三结构.,习题回扣(命题人推荐),答案:-1,八、解三角形,知识方法,
17、4.解三角形 (1)已知两角及一边,利用正弦定理求解. (2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不 唯一. (3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解. (4)已知三边,利用余弦定理求解.,易忘提醒,1.已知三角函数值求角时,要注意角的范围的挖掘. 2.利用正弦定理解三角形时,注意解的个数的讨论,可能有一解、两解或无解.在ABC中,ABsin Asin B. 3.已知两边和其中一边的对角,利用余弦定理求第三边时,应注意检验,否则易产生增根. 4.在判断三角形的形状时,注意等式两边的公因式不要约掉,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能.,习题回扣(命题人推荐),
18、3.(求三角形面积)在ABC中,已知c=10,A=45,C=30,则b= , SABC= .,4.(三角形形状判断)在ABC中,已知a2tan B=b2tan A,则ABC是 三角形.,答案:等腰或直角,5.(解三角形实际应用问题)在一座20 m高的观测台顶测得对面水塔塔顶的仰角为60,塔底俯角为45,则这座水塔的高度是 m.,九、等差数列与等比数列,知识方法,1.等差、等比数列的通项公式及前n项和公式,a1+(n-1)d,a1qn-1,2.等差、等比数列的性质,4.等差、等比数列的单调性 (1)等差数列的单调性 d0an为递增数列,Sn有最小值. d0an为递减数列,Sn有最大值. d=0a
19、n为常数列.,易忘提醒,1.忽略公式an=Sn-Sn-1成立的条件是n2,nN*. 2.证明一个数列是等差或等比数列时,由数列的前几项,想当然得到通项公式,易出错,必须用定义证明. 3.应用等比数列的前n项和公式时,应注意条件是否暗示了q的范围,否则,应注意讨论. 4.等差数列的单调性只取决于公差d的正负,等比数列的单调性既要考虑公比q又要考虑首项a1.,习题回扣(命题人推荐),十、数列求和及简单应用,知识方法,(2)递推关系形如an+1-an=f(n),常用累加法求通项公式.,(4)递推关系形如“an+1=pan+q(p,q是常数,且p1,q0)”的数列求通项公式,常用待定系数法.可设an+
20、1+=p(an+),经过比较,求得,则数列an+是一个等比数列. 2.数列求和常用的方法 (1)分组求和法:分组求和法是解决通项公式可以写成cn=an+bn形式的数列求和问题的方法(其中an与bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列).,(3)错位相减法:形如anbn(其中an为等差数列,bn为等比数列)的数列求和,一般分三步:巧拆分;构差式;求和. (4)倒序求和法:距首尾两端等距离的两项和相等,可以用此法,一般步骤:求通项公式;定和值;倒序相加;求和;回顾反思. (5)并项求和法:先将某些项放在一起求和,然后再求Sn.,易忘提醒,1.求解an的前n项和的最值时,无论是利用Sn还是an,
21、都要注意条件nN*. 2.运用错位相减法求和时,相减后,要注意右边的n+1项中的前n项,哪些项构成等比数列,以及两边需除以代数式时,注意要讨论代数式是否为零.,习题回扣(命题人推荐),十一、空间几何体的三视图、表面积与体积,知识方法,1.棱柱、棱锥 (1)棱柱的性质 侧棱都相等,侧面是平行四边形;两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形;直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形. (2)棱锥的性质 棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形;某侧面上的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直
22、角三角形;侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形.,2.三视图 (1)正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的投影图.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高; (2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视图的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样. 3.几何体的切接问题 (1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即是棱柱的体对角线. (2)解决柱、锥的内切球问题的关键是找准切点位置,化归为平面几何问题.,4.柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不
23、要求记忆) (1)表面积公式 圆柱的表面积S=2r(r+l); 圆锥的表面积S= ; 圆台的表面积S=(r2+r2+rl+rl); 球的表面积S=4R2. (2)体积公式 柱体的体积V=Sh;,r(r+l),【温馨提示】 在有关体积、表面积的计算应用中要注意等积法的应用.,易忘提醒,1.台体可以看成是由锥体截得的,但要注意截面与底面平行. 2.空间几何体以不同位置放置时,对三视图会有影响. 3.画三视图的轮廓线时,可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线为虚线.,习题回扣(命题人推荐),1.(直线与球的关系)一条直线被一个半径为5的球截得的线段长为8,则球心到直线的距离为 .,答案:3,2.(
24、球与几何体的接切问题)已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上,则球的表面积与正方体的全面积之比为 .,3.(三视图)一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m),则它的体积为.,4.(几何体间的关系)正三棱柱的内切圆柱与外接圆柱的体积比为 .,答案:14,十二、点、直线、平面之间的位置关系,知识方法,1.直线与平面平行的判定和性质 (1)判定: 判定定理:ab,b,aa; 面面平行的性质:,aa; ab,b,a,则a. (2)性质:l,l,=mlm.,2.直线与平面垂直的判定和性质 (1)判定: 判定定理:ab,ac,b,c,bc=O a. ab,ab. l,l. ,=l,a,ala. (
25、2)性质: l,ala. l,mlm.,3.两个平面平行的判定和性质 (1)判定: 判定定理:a,b,ab=P,a,b. l,l. ,. (2)性质:,=a,=bab. 4.两个平面垂直的判定和性质 (1)判定:a,a. (2)性质:,=l,a,ala.,易忘提醒,1.在应用平行或垂直的判定定理时,常因忽略定理的条件或步骤跳跃而失分. 2.“展开”“翻折”问题易忽略展开及翻折前后元素之间的关系. 3.将空间问题转化为平面问题时,易忽略挖掘平面图形的几何性质.,习题回扣(命题人推荐),1.(两平行平面的性质)已知:如图,点P是平面,外的一点,直线PA,PD分别与,相交于点A,B和C,D.已知PA
26、=4 cm,AB=5 cm,PC=3 cm,则PD= .,2. (两直线的关系)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,则(1)AC与BD 时,四边形EFGH为菱形; (2)AC与BD 时,四边形EFGH为正方形.,答案:(1)相等 (2)相等且垂直,3.(线面垂直的判定)如图,在ABC中,M为边BC的中点,沿AM将ABM折起,使点B在平面ACM外.当 时,直线AM垂直于平面BMC.,答案:AB=AC,4.(两平面的关系)已知:如图,平面平面,在与的交线l上取线段AB=4 cm,AC,BD分别在平面和平面内,它们都垂直于交线l,并且AC=3 cm,BD=
27、12 cm,则CD= .,答案:13 cm,十三、直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质,知识方法,1.直线方程的五种形式,y-y0=k(x-x0),y=kx+b,Ax+By+C=0(A2+B20),2.直线的两种位置关系 (1)两直线平行 对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1l2 . 对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1l2 . (2)两直线垂直 对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1l2 . 对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1l2 .,k1=k2且b1b2,A1B2
28、-A2B1=0且,B1C2-B2C10,k1k2=-1,A1A2+B1B2=0,【温馨提示】 运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式;运用两平行线的距离公式时,需先把两平行线方程中x,y的系数化为相同的形式.,4.圆的方程的两种形式 (1)圆的标准方程: ,其中 为圆心, 为半径.,(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),(a,b),r,D2+E2-4F0,5.直线与圆、圆与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系:相交、相切、相离,根据圆心到直线的距离与半径的关系判断直线与圆的位置关系. (2)圆与圆的位置关系:相交、相切、相离,根据圆心距离与半径之和差的关系判断两圆的位置关系.,
29、6.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质,|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|),|PF1|-|PF2|=2a(2a|F1F2|),y2=2px(p0),|x|a,|y|b,|x|a,x0,(a,0),(0,b),(a,0),(0,0),(c,0),【温馨提示】 (1)椭圆、双曲线的很多问题有相似之处,在学习中要注意应用类比的方法,但一定要把握好它们的区别和联系. (2)与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. (3)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可
30、直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则用一般弦长公式.,易忘提醒,1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;二是要考虑正切函数的单调性. 2.在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在. 3.过圆外一定点求圆的切线,应该有两个结果,若只求出一个结果,应该考虑切线斜率不存在的情况. 4.求圆的弦长问题,注意应用圆的性质解题,即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质,可以用勾股定理或斜率之积为-1列方程来简化运算. 5.抛物线中出现与焦点有关的问题时,易忽略定义的使用. 6.圆锥曲线中焦点位置没有明确给出时,应对焦点位置进行分情况讨
31、论. 7.混淆椭圆、双曲线中a,b,c的关系,椭圆:a2=b2+c2,双曲线:c2=a2+b2.,习题回扣(命题人推荐),1.(两直线垂直的条件)已知直线l1:(m+2)x-(m-2)y+2=0,直线l2:3x+my-1=0,且l1l2,则m的值为 .,答案:-1或6,2.(圆的方程)已知半径为5的圆过点P(-4,3),且圆心在直线2x-y+1=0上,则该圆的方程为 .,答案:(x-1)2+(y-3)2=25或(x+1)2+(y+1)2=25,5.(抛物线定义的应用)抛物线y2=4x上一点到焦点的距离为5,则该点的坐标为 .,答案:(4,4)或(4,-4),十四、直线与圆锥曲线的位置关系,知识
32、方法,1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法 将直线方程与圆锥曲线方程联立,由方程组解的组数确定直线与圆锥曲线的位置关系,特别地,当直线与双曲线的渐近线平行时,该直线与双曲线只有一个交点;当直线与抛物线的对称轴平行时,该直线与抛物线只有一个交点.,(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接计算弦长. 3.弦的中点问题 有关弦的中点问题应灵活运用“点差法”“设而不求法”来简化运算.,【温馨提示】 (1)若涉及直线过抛物线焦点的弦问题,一般可利用抛物线的定义去解决. (2)在直线与圆锥曲线的问题中,要充分重视根与系数的关系和判别式的运用. (3)涉及直线与抛物线相切问题时,可以借助导数求解.,易
33、忘提醒,1.代数法判断直线和圆锥曲线位置关系,利用判别式时要注意前提:二次项系数不为0. 2.解决过定点的直线与圆锥曲线的位置关系时,不能遗漏斜率不存在的情况. 3.解决中点弦问题时,要注意前提是直线和圆锥曲线相交,故利用点差法求出直线方程后要验证.,习题回扣(命题人推荐),2.(求弦长)斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,则线段AB的长为 .,答案:8,3.(由直线与圆锥曲线位置关系求参数)已知直线y=x+b与抛物线x2=2y交于A,B两点,且OAOB(O为坐标原点),则b= .,答案:2,十五、圆锥曲线的综合问题,知识方法,1.定点问题 (1)解析几何中直
34、线过定点或曲线过定点是指不论直线或曲线中的参数如何变化,直线或曲线都经过某一个定点. (2)求解直线或曲线过定点问题的基本思路是把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x,y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. (3)对于直线过定点问题,若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m).,2.定值问题 (1)解析几何中的定值是指某些几何量(线段的长度、图形的
35、面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值. (2)求证某几何量为定值首先要求出这个几何量的代数表达式,然后对表达式进行化简、整理,根据已知条件列出必要的方程(或不等式),消去参数,最后推出定值. (3)求解定值问题时,如果事先定值不知道,可以先对参数取特殊值,通过特殊值求出这个定值,然后再对一般情况进行证明.,3.最值问题 圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是几何方法,即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是代数方法,即把要求最值的几何量或代数表达式表
36、示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. (1)常用的几何方法有. 直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为该点P到直线的垂线段的长度. 圆C外一定点P到圆上各点距离的最大值为|PC|+R,最小值为|PC|-R(R为圆C 半径). 过圆C内一定点P的圆的最长的弦即为经过P点的直径,最短的弦为过P点且与经过P点的直径垂直的弦.,圆锥曲线上本身存在最值问题,如a.椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长);b.双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长);c.椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为a-c,a+c,a-c与a+c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离;d.抛物
37、线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近. (2)常用的代数方法有 利用二次函数求最值. 利用基本不等式求最值. 利用导数法求最值. 利用函数单调性求最值.,易忘提醒,解决圆锥曲线中的定点、定值问题,其关键点是信息解读,注意条件信息与设问信息的联系,从中寻找解题思路,一般是直线方程与圆锥曲线方程联立,再应用已知条件,进行推理、求解,注意圆锥曲线中变量的取值范围.,习题回扣(命题人推荐),答案:(2,3),1.(定点问题)当k取不同的数值时,直线y-3=k(x-2)都经过点 .,答案:28,3.(直线与圆锥曲线的关系)已知过抛物线y2=2px(p0)焦点F的直线交抛物线于A,B两点,A,B在抛物线准
38、线上的射影分别为A1,B1,则A1FB1= .,答案:90,4.(直线与圆锥曲线的关系)已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k,则: (1)若直线l和抛物线只有一个公共点,则k ; (2)若直线l和抛物线有两个公共点,则k ; (3)若直线l和抛物线没有公共点,则k .,十六、概率,知识方法,频率fn(A),(2)对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的 稳定在某个常数上,把这个 记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.,常数,2.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围: . (2)必然事件的概率P(E)= . (3)不可能事件的概率P(
39、F)= . (4)互斥事件概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥,则P(AB)= . 若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)= . 3.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是 的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 的和.,0P(A)1,1,0,P(A)+P(B),1-P(B),互斥,基本事件,4.古典概型 (1)特点,只有有限个,相等,(2)古典概型的概率公式P(A)= .,5.几何概型 (1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 (面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. (2)特点:无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;
40、等可能性:每个结果的发生具有等可能性.,长度,(3)公式: P(A)= .,【温馨提示】 (1)基本事件的发生具有等可能性,一般可以抽象转化为古典概型问题,解决古典概型问题的关键是分清基本事件个数n与事件A中包含的基本事件个数m; (2)与图形的长度、面积或体积有关的概率应用问题,一般可以应用几何概型求解,即随机事件A的概率可用“事件A包含的基本事件所占图形的度量(长度、面积或体积)”与“试验的基本事件所占图形的度量(长度、面积或体积)”之比表示; (3)两个事件或几个事件不能同时发生的应用问题,可转化为互斥事件来解决,解决这类问题的关键是分清事件是否互斥.,易忘提醒,1.混淆互斥事件与对立事
41、件,对立事件是互斥事件的特殊情况,互斥事件不一定是对立事件. 2.不能准确理解“至多”“至少”“不少于”等词语的含义. 3.几何概型中,线段的端点、图形的边框等是否包含在事件之内不影响所求 结果. 4.在几何概型中,构成事件区域的是长度、面积还是体积,判断不明确,不能正确区分几何概型与古典概型.,习题回扣(命题人推荐),2.(几何概型)某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,则他等待的时间不多于10分钟的概率为 .,1.(古典概型)某数学兴趣小组有男生3名,记为a1,a2,a3;有女生2名,记为b1,b2,现从中任选2名学生去参加学校数学竞赛,则 (1)参赛学生中恰好有1名男生的
42、概率为 . (2)参赛学生中至少有1名男生的概率为 .,3.(随机模拟试验)假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家的时间在早上7:008:00之间,则你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率为 .,十七、统计及统计案例,知识方法,1.抽样方法 抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种,这三种抽样方法各自适用于不同特点的总体,但无论哪种抽样方法,每一个个体被抽到的概率都是相等的,都等于样本容量和总体容量的比值,并且都是不放回地抽样.,1,2.频率分布直方图 (1)小长方形的高= ,小长方形的面积= =频率; (2)各小长方形的面积之
43、和等于 .,3.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数,最高的小长方形底边中点的,横坐标,频率分布直方图划分左右两个,面积相等的分界线,【温馨提示】 (1)随机抽样的方法有三种,其中简单随机抽样适用于总体中的个体数量不多的情况,当总体中的个体数量较多且差别不大时要使用系统抽样,当总体中的个体具有明显的层次时使用分层抽样.系统抽样最重要的特征是“等距”,分层抽样最重要的特征是总体中个体有明显的“层次”,且各层抽样比相等.,易忘提醒,1.混淆简单随机抽样、系统抽样、分层抽样,不能正确地选择抽样方法. 2.不能正确地从频率分布直方图中提取相关信息,混淆了频数与频率. 3.回归
44、分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法,只有在散点图大致呈线性时,求出的回归直线方程才有实际意义.,习题回扣(命题人推荐),D,2.(分层抽样)某工厂生产A,B,C 3种不同型号的产品,产量之比为235.现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本,若样本中A种型号的产品有16种,则样本容量n= .,答案:80,3.(频率分布直方图)若200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示,则时速在区间40,50)内的汽车大约有 辆.,答案:20,4.(独立性检验)某组织对男女青年是否喜爱古典音乐进行了一个调查,调查者随机调查了146名青年,表中给出了调查的结果(单位:人):有 以上的
45、把握认为男女青年喜爱古典音乐的程度有差异.,答案:99.9%,十八、选修4系列,知识方法,当圆心位于M(a,0),半径为a: ;,=2acos ,(3)直线的极坐标方程 若直线过点M(0,0),且与极轴所成的角为,则它的方程为sin(-) =0sin(0-). 几个特殊位置的直线的极坐标方程: 直线过极点:=0和=-0;,直线过点M(a,0)且垂直于极轴: ;,cos =a,2.不等式选讲 (1)绝对值不等式 定理1:如果a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立. 定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号
46、成立.,(2)|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法 |ax+b|c(c0) . |ax+b|c(c0) . (3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法 利用绝对值不等式 求解,体现数形结合思想. 利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想. 通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想. (4)证明不等式的基本方法 比较法;综合法;分析法;反证法;放缩法. (5)二维形式的柯西不等式 若a,b,c,dR,则(a2+b2)(c2+d2) ,当且仅当 时等号成立.,-cax+bc,ax+bc或ax+b-c,几何意义,(ac+bd)2,ad=bc,易忘提醒,(1)将曲线的参数方程化为普通方程主要消去参数,简称为“消参”.把参数方程化为普通方程后,很容易改变变量的取值范围,从而使得两种方程所表示的曲线不一致,因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性. (2)“零点分段法”是解绝对值不等式的最基本方法,一般步骤是:令每个绝对值符号里的代数式等于零,求出相应的根;把这些根按由小到大进行排序,n个根把数轴分为n+1个区间;在各个区间上,去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式,求出它们的解集;这些不等式解集的并集就是原不等式的解集.,
