1、1考前回扣一、集合、复数与常用逻辑用语知识方法1.集合的概念、关系及运算(1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性,求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验.(2)集合与集合之间的关系:AB,B CAC,空集是任何集合的子集,含有 n个元素的集合的子集数为 2n,真子集数为 2n-1,非空真子集数为 2n-2.2.复数(1)复数的相等:a+bi=c+di(a,b,c,dR)a=c,b=d.(2)共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.(3)运算:(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i,(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i,
2、(a+bi)(c+di)= + i(c+di0).2+2(4)复数的模:|z|=|a+bi|=r= (r0,rR).2+23.四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.4.充分条件与必要条件若 pq,则 p是 q的充分条件,q 是 p的必要条件;若 pq,则 p,q互为充要条件.5.全(特)称命题及其否定(1)全称命题 p:xM,p(x). 它的否定p: x0M,p(x 0).(2)特称命题 p:x0M,p(x 0).它的否定p: xM,p(x) .易忘提醒1.遇到 AB=时,注意“极端”情况:A= 或 B=;同样在
3、应用条件 AB=BAB=AA B时,不要忽略 A=的情况.2.区分命题的否定和否命题的不同,否命题是对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定.3.“A的充分不必要条件是 B”是指 B能推出 A,但 A不能推出 B;而“A 是 B的充分不必要条件”则是指 A能推出 B,但 B不能推出 A.4.复数 z为纯虚数的充要条件是 a=0且 b0(z=a+bi(a,bR).还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧.习题回扣(命题人推荐)1.(集合的运算)设 U=R,A=x|1x3,B=x|2b”是“a 2b2”的 条件. 答案:既不充分也不必要4.(命题的否定)已知 p:x0R, -x0+
4、10,则p 为 . 20答案:xR,x 2-x+10二、平面向量、框图与合情推理知识方法1.平面向量中的四个基本概念(1)零向量模的大小为 0,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为 0.(2)长度等于 1个单位长度的向量叫单位向量,与 a同向的单位向量为 .|(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量).(4)向量的投影:|b|cos叫做向量 b在向量 a方向上的投影.2.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理:向量 a(a0)与 b共线当且仅当存在唯一一个实数 ,使 b=a.(2)平面向量基本定理:如果 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a,有且
5、只有一对实数 1, 2,使 a= 1e1+ 2e2,其中 e1,e2是一组基底.3.平面向量的两个充要条件若两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)aba=b x1y2-x2y1=0;(2)abab=0 x1x2+y1y2=0.4.平面向量的三个性质(1)若 a=(x,y),则|a|= = .2+2(2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则| |= .(21)2+(21)2(3)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 为 a与 b的夹角,则 cos = = .|易忘提醒1.若 a=0,则 ab=0,但由 ab=0,不能得到 a=0或 b=0,因为 ab 时,a
6、b=0.2.两向量夹角的范围为0,向量的夹角为锐角与向量的数量积大于 0不等价.习题回扣(命题人推荐)1.(平面向量的线性运算)设 D,E,F分别是ABC 的边 BC,CA,AB上的点,且AF= AB,BD= BC,CE= CA,若记 =m, =n,则 = (用 m,n表示). 12 13 14答案:- m- n232.(平面向量的坐标运算)设向量 =(k,12), =(4,5), =(10,k),若 A,B,C三点共线,则k= . 3答案:-2 或 113.(平面向量的数量积)已知向量 a与 b不共线,|a|=3,|b|=4,若 a+kb与 a-kb垂直,则 k= .答案:344.(类比推理
7、)在等差数列a n中,若 a10=0,则有 a1+a2+an=a1+a2+a19-n(n0(a0),再求相应一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根,最后根据相应二次函数图象与 x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集.2.线性规划(1)判断二元一次不等式表示的平面区域的方法在直线 Ax+By+C=0的某一侧任取一点(x 0,y0),通过 Ax0+By0+C的符号来判断 Ax+By+C0(或Ax+By+C0,b0);(4)ab 2(a,bR);+2 +2(5) (a0,b0).+2 2+易忘提醒1.解分式不等式时注意同解变形.2.作可行域时,注意边界线的虚实;及非线性目标函数的几何意义.
8、3.在利用基本不等式求最值时,不要忽略“一正、二定、三相等”.习题回扣(命题人推荐)1.(求线性目标函数的最值)若 x,y满足约束条件 则 z=3x+5y的最大值为 ,最5+315,+1,53, 小值为 . 答案:17 -112.(不等式的解法)若关于 x的一元二次方程 mx2-(1-m)x+m=0没有实数根,则 m的取值范围为 . 答案:(-,-1) ,+43.(利用基本不等式求最值)函数 f(x)=x+ 的值域是 . 答案:(-,-22,+)四、函数图象与性质、函数与方程知识方法1.函数的性质(1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、变形、
9、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则;(2)奇偶性:若 f(x)是偶函数,那么 f(x)=f(-x);若 f(x)是奇函数,0 在其定义域内,则f(0)=0;奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;(3)周期性:若 y=f(x)对 xR,f(x+a)=f(x-a)或 f(x-2a)=f(x)(a0)恒成立,则 y=f(x)是周期为 2a 的周期函数;若 y=f(x)是偶函数,其图象又关于直线 x=a对称,则 f(x)是周期为 2|a|的周期函数;若 y=f(x)是奇函数,其图象又关于直线 x=a对称,则 f(x)是周期为4|a|的周期
10、函数;若 f(x+a)=-f(x) 或 f(x+a)= ,则 y=f(x)是周期为 2|a|的周期函数.2.函数的图象对于函数的图象要会作图、识图和用图,作函数图象有两种基本方法:一是描点法;二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.3.函数的零点与方程的根(1)函数的零点与方程根的关系函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x)的根,即函数 y=f(x)的图象与函数 y=g(x)的图象交点的横坐标.(2)零点存在性定理注意以下两点:满足条件的零点可能不唯一;不满足条件时,也可能有零点.易忘提醒1.函数具有奇偶性时,定义域关于原点对称,但定义域关于原点
11、对称的函数不一定具有奇偶性.2.求单调区间时易忽略函数的定义域,切记:单调区间必须是定义域的子集且当同增(减)区间不连续时,不能用并集符号连接.3.忽略函数的单调性、奇偶性、周期性的定义中变量取值的任意性.4.画图时容易忽略函数的性质,图象左右平移时,平移距离容易出错.习题回扣(命题人推荐)1.(奇偶性)若函数 f(x)=x2-mx+m+2是偶函数,则 m= . 答案:02.(单调性)若函数 f(x)=x2+mx-2在区间(-,2)上是单调减函数,则实数 m的取值范围为 .答案:(-,-43.(函数图象)已知函数 y=loga(x+b)的图象如图所示,则 a= ;b= . 5答案: 334.(
12、零点的应用)若方程 7x2-(m+13)x-m-2=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,则实数 m的取值范围是 . 答案:(-4,-2)五、导数的简单应用知识方法1.导数的几何意义函数 y=f(x)在 x=x0处的导数 f(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0)处的切线的斜率,即 k=f(x0).2.导数与函数单调性的关系(1)若可导函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则 f(x)0 在区间(a,b)上恒成立;若可导函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则 f(x)0 在区间(a,b)上恒成立.可导函数 y=f(x)在区间(a,b
13、)上为增函数是 f(x)0的必要不充分条件.(2)可导函数 y=f(x)在 x=x0处的导数 f(x0)=0是 y=f(x)在 x=x0处取得极值的必要不充分条件.3.函数的极值与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题,函数的最值是对整个定义域而言的,是在整个范围内讨论的问题.(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有.(3)闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内的函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是函数的最值.易忘提醒1.求切线方程时,注意“在点 A处的切线”与“过点 A的切线”的区别.2.利用导数研究函数的单调性时不要忽视函数的定
14、义域.3.函数 y=f(x)在区间上单调递增不等价于 f(x)0.一般来说,已知函数 y=f(x)单调递增,可以得到 f(x)0(有等号);求函数 y=f(x)的单调递增区间,解 f(x)0(没有等号)和确定定义域.4.对与不等式有关的综合问题要有转化为函数最值的化归思想;对含参数的综合问题要有分类讨论的思想.习题回扣(命题人推荐)1.(导数的几何意义)曲线 y= 在点 M(,0)处的切线方程为 . 答案:y=- +12.(极值)已知函数 f(x)=x(x-c)2在 x=2处有极大值,则 c= . 答案:63.(最值)已知函数 f(x)=x2+px+q,当 x=1时,f(x)有最小值 4,则
15、p= ,q= . 6答案:-2 54.(单调性)函数 f(x)=x+cos x,x 0, 的单调增区间为 . 答案: 0,六、导数的综合应用知识方法1.利用导数求函数最值的几种情况(1)若连续函数 f(x)在(a,b)内有唯一的极大值点 x0,则 f(x0)是函数 f(x)在a,b上的最大值,minf(a),f(b)是函数 f(x)在a,b上的最小值;若函数 f(x)在(a,b)内有唯一的极小值点 x0,则 f(x0)是函数 f(x)在a,b上的最小值,maxf(a),f(b)是函数 f(x)在a,b上的最大值.(2)若函数 f(x)在a,b上单调递增,则 f(a)是函数 f(x)在a,b上的
16、最小值,f(b)是函数f(x)在a,b上的最大值;若函数 f(x)在a,b上单调递减,则 f(a)是函数 f(x)在a,b上的最大值,f(b)是函数 f(x)在a,b上的最小值.(3)若函数 f(x)在a,b上有极值点 x1,x2,xn(nN *,n2),则将 f(x1),f(x2),f(xn)与 f(a),f(b)作比较,其中最大的一个是函数 f(x)在a,b上的最大值,最小的一个是函数f(x)在a,b上的最小值.2.与不等式有关的恒成立与存在性问题(1)f(x)g(x)对一切 xI 恒成立I 是 f(x)g(x)的解集的子集 f(x)-g(x)min0(xI).(2)存在 x0I 使 f(
17、x)g(x)成立I 与 f(x)g(x)的解集的交集不是空集 f(x)-g(x)max0(xI).(3)对x 1,x2D 使得 f(x1)g(x 2)f(x)maxg(x) min.(4)对x 1D 1,x2D 2使得 f(x1)g(x 2)f(x)ming(x) min,f(x)定义域为 D1,g(x)定义域为 D2.3.证明不等式问题不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值,再由单调性或最值来证明不等式,其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.易忘提醒1.不要忽略函数的定义域.2.在需分类讨论时,要做到不重不漏,不要忽略导函数中二次项系数的正负,以及根的大小比较.3.
18、存在性问题与恒成立问题容易混淆,它们既有区别又有联系:若 f(x)m 恒成立,则 f(x)maxm;若 f(x)m 恒成立,则 f(x)minm.若 f(x)m 有解,则 f(x)minm;若 f(x)m 有解,则 f(x)maxm.习题回扣(命题人推荐)1.7(导数几何意义的应用)如图,直线 l和圆 C,当 l从 l0开始在平面上绕点 O按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过 90)时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S是时间 t的函数,这个函数的图象大致是( D )2.(比较大小)当 x(0,)时,sin x x. 答案:Bsin Asin B.3.已知两边和其中一边的对角,利用余弦定理求第三边
19、时,应注意检验,否则易产生增根.4.在判断三角形的形状时,注意等式两边的公因式不要约掉,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能.习题回扣(命题人推荐)1.(正弦定理)在ABC 中,已知 a=6,b=6 ,B=120,则 c= . 答案:62.(余弦定理)在ABC 中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则 A= . 答案:3.(求三角形面积)在ABC 中,已知 c=10,A=45,C=30,则 b= ,S ABC = . 答案:5 +5 25( +1)34.(三角形形状判断)在ABC 中,已知 a2tan B=b2tan A,则ABC 是 三角形. 答案:等腰或直角5.(解三角形实
20、际应用问题)在一座 20 m高的观测台顶测得对面水塔塔顶的仰角为 60,塔底俯角为 45,则这座水塔的高度是 m. 10答案:20(1+ )九、等差数列与等比数列知识方法1.等差、等比数列的通项公式及前 n项和公式等差数列 等比数列通项公式 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1(q0)前 n项和Sn=(1+)2=na1+ d(1)2(1)q1,Sn= = ;1(1)1(2)q=1,Sn=na12.等差、等比数列的性质类型 等差数列 等比数列2ak=am+al(m,k,lN *且 m,k,l成等差数列) =amal(m,k,lN *且 m,k,l成等差数列)项的性质am+an=ap+aq
21、(m,n,p,qN *,且m+n=p+q) aman=apaq(m,n,p,qN*且 m+n=p+q)当 n为奇数时,Sn=n+12 当 n为偶数时,=q(公比)和的性质 依次每 k项的和:S k,S2k-Sk,S3k-S2k,构成等差数列依次每 k项的和:S k,S2k-Sk,S3k-S2k,构成等比数列(公比 q-1)3.证明(或判断)数列是等差(比)数列的四种基本方法(1)定义法:a n+1-an=d(常数)(nN *)an是等差数列; =q(q是非零常数)a n是等比+1数列.(2)等差(比)中项法:2a n+1=an+an+2(nN *)an是等差数列; =anan+2(nN *,a
22、n0)an是等比数列.(3)通项公式法:a n=pn+q(p,q为常数)a n是等差数列;a n=a1qn-1(其中 a1,q为非零常数,nN *)an是等比数列.(4)前 n项和公式法:S n=An2+Bn(A,B为常数)a n是等差数列;S n=Aqn-A(A为非零常数,q0,1)a n是等比数列.4.等差、等比数列的单调性(1)等差数列的单调性d0an为递增数列,S n有最小值.11d0),其中(a,b)为圆心,r 为半径.(2)圆的一般方程:x 2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是 D2+E2-4F0,其中圆心为 - ,- ,半径 r= .2+2425.直线与圆、圆与圆的位置
23、关系(1)直线与圆的位置关系:相交、相切、相离,根据圆心到直线的距离与半径的关系判断直线与圆的位置关系.(2)圆与圆的位置关系:相交、相切、相离,根据圆心距离与半径之和差的关系判断两圆的位置关系.6.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称 椭圆 双曲线 抛物线定义|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|)|PF1|-|PF2|=2a(2ab0)- =12222(a0,b0)y2=2px(p0)17图形范围 |x|a,|y|b |x|a x0顶点 (a,0),(0,b) (a,0) (0,0)对称性 关于 x轴,y 轴和原点对称 关于 x轴对称焦点 (c,0),0轴 长轴长 2a,短轴长
24、2b实轴长2a,虚轴长 2b离心率e=122(01)e=1准线x=-渐近线y= x【温馨提示】 (1)椭圆、双曲线的很多问题有相似之处,在学习中要注意应用类比的方法,但一定要把握好它们的区别和联系.(2)与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.(3)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x 1+x2+p,若不过焦点,则用一般弦长公式.易忘提醒1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;二是要考虑正切函
25、数的单调性.2.在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.3.过圆外一定点求圆的切线,应该有两个结果,若只求出一个结果,应该考虑切线斜率不存在的情况.4.求圆的弦长问题,注意应用圆的性质解题,即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质,可以用勾股定理或斜率之积为-1 列方程来简化运算.5.抛物线中出现与焦点有关的问题时,易忽略定义的使用.6.圆锥曲线中焦点位置没有明确给出时,应对焦点位置进行分情况讨论.7.混淆椭圆、双曲线中 a,b,c的关系,椭圆:a 2=b2+c2,双曲线:c 2=a2+b2.习题回扣(命题人推荐)1.(两直线垂直的条件)已知直线 l1:(m+2)x-(m-2)y+
26、2=0,直线 l2:3x+my-1=0,且 l1l 2,则m的值为 . 18答案:-1 或 62.(圆的方程)已知半径为 5的圆过点 P(-4,3),且圆心在直线 2x-y+1=0上,则该圆的方程为 .答案:(x-1) 2+(y-3)2=25或(x+1) 2+(y+1)2=253.(椭圆的方程)若椭圆 + =1(ab0)过点(3,-2),离心率为 ,则 a= ,b= .2222答案: 4.(双曲线的性质)已知双曲线的方程为 - =1,过点(a,0),(0,b) 的直线的倾斜角为 150,则2222双曲线的离心率为 . 答案:2335.(抛物线定义的应用)抛物线 y2=4x上一点到焦点的距离为
27、5,则该点的坐标为 . 答案:(4,4)或(4,-4)6.(双曲线的方程)双曲线的离心率等于 ,且与椭圆 + =1有公共焦点,则双曲线的方程为 . 答案: -y2=1十四、直线与圆锥曲线的位置关系知识方法1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法将直线方程与圆锥曲线方程联立,由方程组解的组数确定直线与圆锥曲线的位置关系,特别地,当直线与双曲线的渐近线平行时,该直线与双曲线只有一个交点;当直线与抛物线的对称轴平行时,该直线与抛物线只有一个交点.2.有关弦长问题有关弦长问题应注意运用弦长公式及根与系数的关系,“设而不求”;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算.(1)斜率为 k的直线与
28、圆锥曲线交于两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P 1P2|=或|P 1P2|= .(1+2)(1+2)2412(2)当斜率 k不存在时,可求出交点坐标,直接计算弦长.3.弦的中点问题有关弦的中点问题应灵活运用“点差法” “设而不求法”来简化运算.【温馨提示】 (1)若涉及直线过抛物线焦点的弦问题,一般可利用抛物线的定义去解决.(2)在直线与圆锥曲线的问题中,要充分重视根与系数的关系和判别式的运用.(3)涉及直线与抛物线相切问题时,可以借助导数求解.19易忘提醒1.代数法判断直线和圆锥曲线位置关系,利用判别式时要注意前提:二次项系数不为 0.2.解决过定点的直线与圆锥曲线
29、的位置关系时,不能遗漏斜率不存在的情况.3.解决中点弦问题时,要注意前提是直线和圆锥曲线相交,故利用点差法求出直线方程后要验证.习题回扣(命题人推荐)1.(求轨迹方程)点 M(x,y)与定点 F(4,0)的距离和它到直线 l:x= 的距离的比是常数 ,则45点 M的轨迹方程为 . 答案: + =12252.(求弦长)斜率为 1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点,且与抛物线相交于 A,B两点,则线段AB的长为 . 答案:83.(由直线与圆锥曲线位置关系求参数)已知直线 y=x+b与抛物线 x2=2y交于 A,B两点,且OAOB(O 为坐标原点),则 b= . 答案:2十五、圆锥曲线的综合问题知识
30、方法1.定点问题(1)解析几何中直线过定点或曲线过定点是指不论直线或曲线中的参数如何变化,直线或曲线都经过某一个定点.(2)求解直线或曲线过定点问题的基本思路是把直线或曲线方程中的变量 x,y当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于 x,y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.(3)对于直线过定点问题,若得到了直线方程的点斜式:y-y 0=k(x-x0),则直线必过定点(x 0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m).2.定值问题(1)解析几何中的定值
31、是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值.(2)求证某几何量为定值首先要求出这个几何量的代数表达式,然后对表达式进行化简、整理,根据已知条件列出必要的方程(或不等式),消去参数,最后推出定值.(3)求解定值问题时,如果事先定值不知道,可以先对参数取特殊值,通过特殊值求出这个定值,然后再对一般情况进行证明.3.最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是几何方法,即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是代数方法,即把要求
32、最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、20不等式方法等进行求解.(1)常用的几何方法有.直线外一定点 P到直线上各点距离的最小值为该点 P到直线的垂线段的长度.圆 C外一定点 P到圆上各点距离的最大值为|PC|+R,最小值为|PC|-R(R 为圆 C半径).过圆 C内一定点 P的圆的最长的弦即为经过 P点的直径,最短的弦为过 P点且与经过 P点的直径垂直的弦.圆锥曲线上本身存在最值问题,如 a.椭圆上两点间最大距离为 2a(长轴长);b.双曲线上两点间最小距离为 2a(实轴长);c.椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为a-c,a+c,a-c 与a+c分别
33、表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离;d.抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近.(2)常用的代数方法有利用二次函数求最值.利用基本不等式求最值.利用导数法求最值.利用函数单调性求最值.易忘提醒解决圆锥曲线中的定点、定值问题,其关键点是信息解读,注意条件信息与设问信息的联系,从中寻找解题思路,一般是直线方程与圆锥曲线方程联立,再应用已知条件,进行推理、求解,注意圆锥曲线中变量的取值范围.习题回扣(命题人推荐)1.(定点问题)当 k取不同的数值时,直线 y-3=k(x-2)都经过点 . 答案:(2,3)2.(定值问题)双曲线 - =1的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1的直线交双曲线的左
34、支于216A,B两点,且|AB|=6,则ABF 2的周长为定值 . 答案:283.(直线与圆锥曲线的关系)已知过抛物线 y2=2px(p0)焦点 F的直线交抛物线于 A,B两点,A,B在抛物线准线上的射影分别为 A1,B1,则A 1FB1= . 答案:904.(直线与圆锥曲线的关系)已知抛物线的方程为 y2=4x,直线 l过定点 P(-2,1),斜率为 k,则:(1)若直线 l和抛物线只有一个公共点,则 k ; (2)若直线 l和抛物线有两个公共点,则 k ; (3)若直线 l和抛物线没有公共点,则 k . 答案:(1) -1,0, (2)(-1,0) 0,12(3)(-,-1) ,+12十六
35、、概率21知识方法1.频率与概率(1)在相同的条件 S下重复 n次试验,观察某一事件 A是否出现,称 n次试验中事件 A出现的次数 nA为事件 A出现的频数,称事件 A出现的比例 fn(A)= 为事件 A出现的频率.(2)对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A),称为事件 A的概率,简称为 A的概率.2.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:0P(A)1.(2)必然事件的概率 P(E)= 1 . (3)不可能事件的概率 P(F)= 0 . (4)互斥事件概率的加法公式如果事件 A与事件 B互斥,则 P(AB)=P
36、(A)+P(B).若事件 B与事件 A互为对立事件,则 P(A)=1-P(B).3.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.4.古典概型(1)特点(2)古典概型的概率公式P(A)= .5.几何概型(1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.(2)特点:无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;等可能性:每个结果的发生具有等可能性.(3)公式:P(A)= .构成事件 的区域 长 度 (面 积 或体 积 )试验 的全部 结 果所构成的区域 长 度
37、 (面 积 或体 积 )【温馨提示】 (1)基本事件的发生具有等可能性,一般可以抽象转化为古典概型问题,解决古典概型问题的关键是分清基本事件个数 n与事件 A中包含的基本事件个数 m;(2)与图形的长度、面积或体积有关的概率应用问题,一般可以应用几何概型求解,即随机事件 A的概率可用“事件 A包含的基本事件所占图形的度量(长度、面积或体积)”与“试验的基本事件所占图形的度量(长度、面积或体积)”之比表示;(3)两个事件或几个事件不能同时发生的应用问题,可转化为互斥事件来解决,解决这类问题的关键是分清事件是否互斥.22易忘提醒1.混淆互斥事件与对立事件,对立事件是互斥事件的特殊情况,互斥事件不一
38、定是对立事件.2.不能准确理解“至多” “至少” “不少于”等词语的含义.3.几何概型中,线段的端点、图形的边框等是否包含在事件之内不影响所求结果.4.在几何概型中,构成事件区域的是长度、面积还是体积,判断不明确,不能正确区分几何概型与古典概型.习题回扣(命题人推荐)1.(古典概型)某数学兴趣小组有男生 3名,记为 a1,a2,a3;有女生 2名,记为 b1,b2,现从中任选 2名学生去参加学校数学竞赛,则(1)参赛学生中恰好有 1名男生的概率为 . (2)参赛学生中至少有 1名男生的概率为 . 答案:(1) (2)9102.(几何概型)某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,则
39、他等待的时间不多于 10分钟的概率为 . 答案:163.(随机模拟试验)假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:307:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家的时间在早上 7:008:00之间,则你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率为 . 答案:十七、统计及统计案例知识方法1.抽样方法抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种,这三种抽样方法各自适用于不同特点的总体,但无论哪种抽样方法,每一个个体被抽到的概率都是相等的,都等于样本容量和总体容量的比值,并且都是不放回地抽样.2.频率分布直方图(1)小长方形的高= ,小长方形的面积=组距 =频率;(2)各小长方形的面积之和等于
40、 1.3.用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数、中位数、平均数数字特征 样本数据 频率分布直方图众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标中位数将数据按大小依次排列,处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与横轴交点的横坐标平均 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中23数 点的横坐标之和(2)方差:s 2= (x1- )2+(x2- )2+(xn- )2.标准差:s= .4.对 n个样本数据(x 1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其线性回归方程为 = x+ ,其中= , = - , ,
41、分别是x i,yi的平均数.5.独立性检验利用独立性检验来考查两个分量是否有关系,并且能较为准确地给出这种判断的可靠程度,具体的做法是根据观测数据及公式 K2= 计算,所得出检验随机变量 K2的观测值 k0,并且 k0的值越大,说明“X 与 Y有关系”成立的可能性就越大.【温馨提示】 (1)随机抽样的方法有三种,其中简单随机抽样适用于总体中的个体数量不多的情况,当总体中的个体数量较多且差别不大时要使用系统抽样,当总体中的个体具有明显的层次时使用分层抽样.系统抽样最重要的特征是“等距”,分层抽样最重要的特征是总体中个体有明显的“层次”,且各层抽样比相等.(2)线性回归方程 = x+ 经过样本点的
42、中心( , ).易忘提醒1.混淆简单随机抽样、系统抽样、分层抽样,不能正确地选择抽样方法.2.不能正确地从频率分布直方图中提取相关信息,混淆了频数与频率.3.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法,只有在散点图大致呈线性时,求出的回归直线方程才有实际意义.习题回扣(命题人推荐)1.(回归直线方程)某设备的使用年限 x(单位:年)与所支出的维修费用 y(单位:万元)如表所示.已知 y与 x具有线性相关关系,且线性回归方程为 =mx+1,那么实数 m的值为( D )(A)6 (B)4 (C)2 (D)1x 2 3 4 5 6y 2 4 6 6 72.(分层抽样)某工厂生产 A,B,C
43、 3种不同型号的产品,产量之比为 235.现用分层抽样24的方法抽取 1个容量为 n的样本,若样本中 A种型号的产品有 16种,则样本容量 n= .答案:803.(频率分布直方图)若 200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示,则时速在区间40,50)内的汽车大约有 辆. 答案:204.(独立性检验)某组织对男女青年是否喜爱古典音乐进行了一个调查,调查者随机调查了146名青年,表中给出了调查的结果(单位:人):喜爱古典音乐情况青年 喜爱 不喜爱男青年 46 30女青年 20 50有 以上的把握认为男女青年喜爱古典音乐的程度有差异. 答案:99.9%十八、选修 4系列知识方法1.坐
44、标系与参数方程(1)直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,并在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,),则(2)圆的极坐标方程若圆心为 M( 0, 0),半径为 r,则圆的方程为 2-2 0cos(- 0)+ -r2=0.几个特殊位置的圆的极坐标方程:当圆心位于极点,半径为 r:=r;25当圆心位于 M(a,0),半径为 a:=2acos ; 当圆心位于 M a, ,半径为 a:=2asin .(3)直线的极坐标方程若直线过点 M( 0, 0),且与极轴所成的角为 ,则它的方程为 sin(-)= 0sin( 0
45、-).几个特殊位置的直线的极坐标方程:直线过极点:= 0和 =- 0;直线过点 M(a,0)且垂直于极轴:cos =a; 直线过 M b, 且平行于极轴:sin =b.(4)几种常见曲线的参数方程直线经过点 P0(x0,y0),倾斜角为 的直线的参数方程是 其中 t是参数.圆以 O(a,b)为圆心,r 为半径的圆的参数方程是 其中 是参数.当圆心为(0,0)时,方程为 其中 是参数.=,=,椭圆椭圆 + =1(ab0)的参数方程是 其中 是参数.2222 =,=,椭圆 + =1(ab0)的参数方程是 其中 是参数 .2222 =,=,2.不等式选讲(1)绝对值不等式定理 1:如果 a,b是实数
46、,则|a+b|a|+|b|,当且仅当 ab0 时,等号成立.定理 2:如果 a,b,c是实数,那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0 时,等号成立.(2)|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c(c0)-cax+bc.|ax+b|c(c0)ax+bc 或 ax+b-c.(3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式几何意义求解,体现数形结合思想.利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想.通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想.(4)证明不等式的基本方法比较法;综合法
47、;分析法;反证法;放缩法.(5)二维形式的柯西不等式26若 a,b,c,dR,则(a 2+b2)(c2+d2)(ac+bd) 2,当且仅当 ad=bc时等号成立.易忘提醒(1)将曲线的参数方程化为普通方程主要消去参数,简称为“消参”.把参数方程化为普通方程后,很容易改变变量的取值范围,从而使得两种方程所表示的曲线不一致,因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.(2)“零点分段法”是解绝对值不等式的最基本方法,一般步骤是:令每个绝对值符号里的代数式等于零,求出相应的根;把这些根按由小到大进行排序,n 个根把数轴分为 n+1个区间;在各个区间上,去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式,求出它们的解集;这些不等式解集的并集就是原不等式的解集.
