1、1.4 两条直线的交点,两条直线的交点 (1)设两条不重合的直线方程为 l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0. 要判断它们是否平行,即看它们的斜率是否相等,如果不等,则两条直线相交. (2)两条直线相交,交点一定同时在这两条直线上,交点坐标是这两个方程组成的方程组的唯一解;反之,如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解,那么以这个解为坐标的点,必是两条直线的交点,因此求两条直线的交点,就是求这两个直线方程的公共解.,【做一做】直线x+2y-4=0与直线2x-y+2=0的交点坐标是( ) A.(2,0) B.(2,1) C.(0,2) D.(1,2),故两条直线的交
2、点坐标为(0,2). 答案:C,归纳总结用两个直线方程组成的方程组的解的个数判断两条直线的位置关系: 一般地,将直线l1:A1x+B1y+C1=0和直线l2:A2x+B2y+C2=0的方程联立,得到方程组 当方程组有唯一解时,l1与l2相交,方程组的解就是交点坐标. 当方程组无解时,l1与l2平行. 当方程组有无数组解时,l1与l2重合.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)若两直线方程组成的方程组无解,则这两直线平行. ( ) (2)直线x=2与直线y=3没有交点. ( ) (3)两条直线的交点坐标就是两直线方程组成的方程组的解. ( ) (4)
3、过直线l1:x-y+1=0与直线l2:3x+y-7=0的交点的所有直线可写为参数形式x-y+1+(3x+y-7)=0(其中R). ( ),探究一,探究二,探究三,探究四,探究一判断两条直线的位置关系 【例1】 判断下列给出的两条直线的位置关系: (1)l1:x-y-1=0,l2:2x+y+4=0; (2)l1:3x-y+2=0,l2:6x-2y-1=0;,分析:将两个直线的方程联立解方程组,通过方程组解的情况确定位置关系.,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟判断两条直线的位置关系,可以利用斜率之间的关系,也可以通过两个直线方程组成的方程组的解的个数进行判断.,探究一,探究二,探究三,探究
4、四,变式训练1下列直线与直线x+y=0相交的是 ( ) A.y=-x+3 B.-x-y+ =0 C.x-y+2=0 D.2x+2y-5=0 解析:A,B,D选项中的直线均与x+y=0平行,只有C选项中的直线与x+y=0相交. 答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,探究二求两条直线的交点坐标,【例2】已知两条直线2x+3y-m=0和x-my+12=0的交点在y轴上,求m的值.,分析:两条直线的交点在y轴上,故交点的横坐标为0,从而可以求解m的值.,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟1.已知两条直线的方程,求它们的交点坐标,就是解两个直线方程组成的方程组,方程组的解就是交点的坐标. 2.
5、解二元一次方程组时,可以利用加减消元法,也可以利用代入消元法.,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练2若直线5x+4y-2m-1=0与2x+3y-m=0的交点在第四象限,求m的取值范围.,探究一,探究二,探究三,探究四,【例3】 已知三条直线l1:x+y-1=0,l2:ax-2y+3=0,l3:x-(a+1)y-5=0.若这三条直线相交于同一点,求实数a的值. 分析:先求出直线l1与l2的交点坐标.令该点在直线l3上即得a的值.,探究三三线共点问题,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟证三线共点或由三线共点求系数值,一般是先求两条直线的交点,再将该点的坐标代入第三条直线的方程,最后证明
6、或求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练3若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b的值为( ),答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,【例4】求经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程. 分析:思路一(直接法),首先解方程组得点P的坐标,又直线l与l3垂直,可得直线l的斜率,然后按点斜式写出方程;思路二(待定系数法),根据直线l与l3垂直,先设出直线方程,再由点P的坐标解得;思路三(待定系数法),先由过两条直线交点的直线系设出直线方程,再根据直线l与l3垂直来求解.,探究
7、四过两直线交点的直线系方程问题,探究一,探究二,探究三,探究四,解:方法一(直接法),即4x+3y-6=0.,探究一,探究二,探究三,探究四,方法二(待定系数法) 设直线l的方程为4x+3y+m=0. 因为它过两条直线l1与l2的交点P,所以40+32+m=0,解得m=-6. 所以直线l的方程为4x+3y-6=0. 方法三(待定系数法) 设直线l的方程为x-2y+4+(x+y-2)=0,即(1+)x+(-2)y+4-2=0,由题意,知3(1+)+(-4)(-2)=0,解得=11,则直线l的方程为4x+3y-6=0.,探究一,探究二,探究三,探究四,m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y
8、+C2)=0(其中m,n为参数,m2+n20),上面的直线系方程也可以写成A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(其中为实数).,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练4已知mR,求证:(m+2)x+(m-3)y+4=0所表示的直线恒过定点P.,证明:(方法一)当m=-2时,方程变为-5y+4=0; 当m=3时,方程变为5x+4=0,故得证.,探究一,探究二,探究三,探究四,(方法二)原方程可化为mx+2x+my-3y+4=0, 即2x-3y+4+m(x+y)=0,它表示过直线2x-3y+4=0与直线x+y=0的交点的直线.无论m取何值,它都过这两条直线的交点,1,2,3,4,1
9、.直线kx-y+1=3k恒过定点( ) A.(3,1) B.(2,1) C.(1,1) D.(0,1) 答案:A,1,2,3,4,2.过直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点,且垂直于直线x-2y=0的直线的方程是( ) A.2x+y-8=0 B.2x-y-8=0 C.2x+y+8=0 D.2x-y+8=0,则所求直线过点(1,6),且斜率为-2,故所求直线的方程为y-6=-2(x-1), 即2x+y-8=0. 答案:A,1,2,3,4,3.若两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在直线y=-x上,则k的值是( ) A.-4 B.3 C.3或-4 D.4,解得k=3或k=-4. 答案:C,1,2,3,4,4.经过两条直线2x-3y+3=0,x-y+2=0的交点,且与直线x-3y-1=0平行的直线的一般式方程为 .,解析:两条直线2x-3y+3=0,x-y+2=0的交点为(-3,-1),所以所求直线为y+1= (x+3),即x-3y=0. 答案:x-3y=0,
