1、1.3 两条直线的位置关系,1.两条直线平行 (1)两条不重合直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2(b1b2),若l1l2,则k1=k2;反之,若k1=k2,则l1l2. (2)如果l1,l2的斜率都不存在,那么它们的倾斜角都是90,从而它们互相平行或重合. 【做一做1】 已知过A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m的值是( ) A.-8 B.0 C.2 D.10,答案:A,2.两条直线垂直 一般地,设直线l1:y=k1x+b1,直线l2:y=k2x+b2. 若 l1l2,则k1k2=-1;反之,若k1k2=-1,则l1l2. 特别地,对于直线l1:x=a
2、,直线l2:y=b,由于l1x轴,l2y轴,所以l1l2. 【做一做2】 直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k等于( ) A.-3或-1 B.3或1 C.-3或1 D.3或-1 解析:l1l2k(k-1)+(1-k)(2k+3)=0(1-k)(k+3)=0k=1或k=-3.故选C. 答案:C,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)若直线l1与l2的斜率相等,则l1l2. ( ) (2)若直线l1l2,则直线l1与l2的斜率相等. ( ) (3)若直线l1直线l2,则它们的斜率之间一定有 1 2
3、 =-1成立. ( ) (4)若两条直线l1,l2的斜率不相等,则这两条直线不平行. ( ),探究一,探究二,探究三,探究一两条直线平行或垂直的判定 【例1】 判断下列各组直线平行还是垂直,并说明理由. (1)l1:3x+5y-6=0,l2:6x+10y+3=0; (2)l1:3x-6y+14=0,l2:2x+y-2=0; (3)l1:x=2,l2:x=4; (4)l1:y=-3,l2:x=1.,k1=k2,b1b2,l1l2.,探究一,探究二,探究三,k1k2=-1,l1l2. (3)由方程知l1x轴,l2x轴,且两条直线在x轴上的截距不相等,l1l2. (4)由方程知l1y轴,l2x轴,l
4、1l2.,反思感悟1.若两条直线的斜率均不存在,且在x轴上的截距不相等,则它们平行;若有一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在,则它们垂直; 2.若两条直线l1与l2的斜率均存在,设l1,l2的斜率分别为k1,k2,当k1k2=-1时,l1l2;当k1=k2,且它们在y轴上的截距不相等时,l1l2.,探究一,探究二,探究三,变式训练1已知点A(2,2+2 ),B(-2,2)和C(0,2-2 )可组成三角形. 求证:ABC为直角三角形.,则kABkBC=-1,ABBC. ABC为直角三角形.,探究一,探究二,探究三,探究二根据两直线的位置关系确定参数,【例2】 (1)当m为何值时,直线l1:
5、2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行? (2)已知直线l1:ax-y+2a=0与l2:(2a-1)x+ay+a=0互相垂直,求a的值.,解:(1)(方法一)l1:2x+(m+1)y+4=0,l2:mx+3y-2=0,当m=0时,显然l1不平行于l2;,当m=-3或m=2时,直线l1l2. (方法二)若l1l2,则23-m(m+1)=0, 解得m=-3或m=2.经检验,满足题意. 当m=-3或m=2时,直线l1l2.,探究一,探究二,探究三,当a=0时,直线l1的斜率为0,l2的斜率不存在,两条直线垂直. 综上所述,a=0或a=1. (方法二)A1=a,B1=-1,A2=
6、2a-1,B2=a, 由A1A2+B1B2=0, 得a(2a-1)-a=0,即a=0或a=1.,探究一,探究二,探究三,反思感悟由两条直线的位置关系求参数 1.已知两条直线平行,求方程中的参数时,通常有两种方法:(1)讨论两条直线的斜率是否存在,分斜率存在和不存在两种情况,并结合截距是否相等进行分析求解;(2)直接将直线方程化为一般式,根据条件A1B2=A2B1,且B1C2B2C1建立关于参数的方程(组)进行求解. 2.由两条直线垂直求直线方程中的参数时通常有两种方法:一是根据k1k2=-1建立方程求解,但应讨论斜率不存在的情况;二是直接利用条件A1A2+B1B2=0求解.,探究一,探究二,探
7、究三,变式训练2(1)若直线x+a2y+6=0和直线(a-2)x+3ay+2a=0没有公共点,则a的值是( ) A.1 B.0 C.-1 D.0或-1 (2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,-3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2).若l1l2,则a= .,解析:(1)两直线无公共点,即两直线平行, 则13a-a2(a-2)=0, 解得a=0或a=-1或a=3,经检验知,当a=3时两直线重合.,探究一,探究二,探究三,答案:(1)D (2)-6或5,探究一,探究二,探究三,探究三两直线位置关系的综合应用,【例3】 已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0,求:
8、(1)过点A且与直线l平行的直线的方程; (2)过点A且与直线l垂直的直线的方程.,解:(1)设所求直线的方程为3x+4y+C=0(C-20), 点(2,2)在直线上,32+42+C=0,C=-14. 所求直线的方程为3x+4y-14=0. (2)设所求直线的方程为4x-3y+=0, 点(2,2)在直线上,42-32+=0, =-2,即所求直线的方程为4x-3y-2=0.,探究一,探究二,探究三,反思感悟1.与已知直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0(mC),根据所求直线过定点求得m的值,写出所求直线方程. 2.与已知直线y=kx+b平行的直线可设为y=kx+m(mb),再
9、根据所求直线过定点求得m的值,写出所求直线方程. 3.求与直线y=kx+b(k0)垂直的直线方程时,根据两条直线垂直的条件可巧设为y=- x+m,然后通过待定系数法,求参数m的值. 4.求与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)垂直的直线时,可巧设为Bx-Ay+m=0,然后用待定系数法,求出m.,探究一,探究二,探究三,变式训练3(1)直线l与直线3x-2y=6平行,且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,则直线l的方程为 . (2)垂直于直线3x-4y-7=0,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l在x轴上的截距是 .,探究一,探究二,探究三,(2)由题意,设直线l的方程为4x+
10、3y+d=0.,答案:(1)15x-10y-6=0 (2)3或-3,1,2,3,4,5,1.若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,则m的值为( ) A.7 B.0或7 C.0 D.4 答案:B,1,2,3,4,5,2.若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则a的值为( ) A.0 B.1 C.0或1 D.-1 解析:因为两条直线垂直,所以(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,解得a=0或a=1. 答案:C,1,2,3,4,5,3.与直线x-2y-3=0平行,且在y轴上的截距等于-3的直线的方程为 .,答案:x-2y-6=0,1,2,3,4,5,4.经过点B(3,0),且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为 .,答案:x-2y-3=0,1,2,3,4,5,5.已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0,求满足下列条件的a的值. (1)l1l2;(2)l1l2.,
