1、第1课时 常用逻辑用语,答案:逆命题 逆否命题 充要 pq pq 全称命题 特称命题,知识网络,要点梳理,思考辨析,知识网络,要点梳理,思考辨析,1.命题的概念 能够判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的命题叫真命题,判断为假的命题叫假命题. 2.命题的四种形式及真假关系,互为逆否的两个命题等价(同真或同假);互逆或互否的两个命题真假性没有关系.,知识网络,要点梳理,思考辨析,3.充分条件、必要条件与充要条件,4.含逻辑联结词“且”“或”“非”的命题真假性判断(真值表):,知识网络,要点梳理,思考辨析,5.全称量词与全称命题 (1)全称量词:短语“对所有的”“对任意一个”在陈述中表示所述事物
2、的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示. (2)全称命题:含有全称量词的命题. (3)全称命题的符号表示: 形如“对M中的任意一个x,有p(x)成立”的命题,可用符号简记为“xM,p(x)”,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.,知识网络,要点梳理,思考辨析,6.存在量词与存在性命题 (1)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示. (2)特称命题:含有存在量词的命题. (3)特称命题的符号表示: 形如“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”的命题,可用符号简记为x0M,p(x0),读作“存在一个x0属于M
3、,使p(x0)成立”. (4)全称命题与特称命题的否定,知识网络,要点梳理,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)“x2+2x-30”是命题. ( ) (2)“sin 45=1”是真命题. ( ) (3)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则 q”. ( ) (4)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真. ( ) (5)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件. ( ) (6)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立. ( ) (7)命题p和 p不可能都是真命题. ( ) (8)若pq为真,则p为真或q为真. (
4、) (9)pq为假的充要条件是p,q至少有一个为假. ( ) (10)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词. ( ) (11)x0M,p(x0)与xM, p(x)的真假性相反. ( ),知识网络,要点梳理,思考辨析,答案:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11),专题归纳,高考体验,专题一 四种命题及其真假判定 【例1】 已知下面四个命题: 对于x,若x-3=0,则x-30; 命题“已知非零向量a,b,若ab=0,则ab”的逆命题; “mn0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分而不必要条件; 已知p,q为两个命题,若“
5、pq”为假命题,则“( p)( q)”为真命题. 其中所有真命题的序号是 . 思路点拨:对于注意四种命题及其关系,对于涉及含逻辑联结词的命题,要根据真值表与逻辑联结词的含义判断.,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,反思感悟1.写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题的步骤 (1)对条件、结论不明显的命题,可以先将命题改写成“若p,则q”的形式; (2)然后对命题的条件和结论进行互换和否定,即可得到原命题的逆命题、否命题和逆否命题. 2.四种命题真假的判断方法 因为互为逆否命题的真假等价,所以判断四个命题的真假,只需判断原命题与逆命题(或否命题)的真假即可.,专题归纳,高考体验,跟踪训练1写
6、出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假: (1)相等的两个角的正弦值相等; (2)若x2-2x-3=0,则x=3. 解:(1)逆命题:若两个角的正弦值相等,则这两个角相等.假命题. 否命题:若两个角不相等,则这两个角的正弦值也不相等.假命题. 逆否命题:若两个角的正弦值不相等,则这两个角不相等.真命题. (2)逆命题:若x=3,则x2-2x-3=0.真命题. 否命题:若x2-2x-30,则x3.真命题. 逆否命题:若x3,则x2-2x-30.假命题.,专题归纳,高考体验,专题二 充分、必要条件的判断及应用 【例2】 (1)设a,b是非零向量,“ab=|a|b|”是“ab”的(
7、) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则ab的充要条件是( ),专题归纳,高考体验,自主解答:(1)若ab=|a|b|,则a与b的方向相同,所以ab.若ab,则ab=|a|b|或ab=-|a|b|,所以“ab=|a|b|”是“ab”的充分不必要条件,故选A. (2)由ab知ab=0,即2(x-1)+2=0,所以x=0; 而当x=0时,a=(-1,2),b=(2,1),必有ab,所以ab的充要条件是x=0. (3)要使不等式x2-2ax+a0的解集为R,应有=(-2a)2-4a0的解集为R”的充要条件
8、,因此一个必要不充分条件是0a1. 答案:(1)A (2)D (3)C,专题归纳,高考体验,反思感悟1.充分条件与必要条件的判断方法 (1)直接利用定义判断:即若pq成立,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(条件与结论是相对的) (2)利用等价命题的关系判断:pq的等价命题是 q p,即若q p成立,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. 2.充分条件、必要条件和充要条件的应用 此类问题是指属于已知条件是结论的充分不必要条件、必要不充分条件或者充要条件,来求某个字母的值或范围,涉及的数学知识主要是不等式问题,根据相应知识列不等式(组)求解.,专题归纳,高考体验,跟踪训练2已知p:x2-8x
9、-200,q:x2-2x+1-a20,若p是q的充分而不必要条件,则正实数a的取值范围是 . 解析:设A=x|x2-8x-200=x|x10, B=x|x2-2x+1-a20=x|x1+a. 由于p是q的充分而不必要条件,可知AB,故所求正实数a的取值范围为(0,3. 答案:(0,3,专题归纳,高考体验,专题三 全称命题与特称命题 【例3】 判断下列命题是全称命题还是特称命题,用符号写出其否定并判断命题的否定的真假性. (1)有一个实数,sin2+cos21; (2)任何一条直线都存在斜率; (3)存在实数x,使得 思路点拨:首先找准量词判断是全称命题还是特称命题,写它们的否定时要注意量词的变
10、化,真假判断可从原命题和原命题的否定两个角度择易处理. 自主解答:(1)特称命题,否定:R,sin2+cos2=1,真命题. (2)全称命题,否定:直线l,l没有斜率,真命题. (3)特称命题,否定:xR, 真命题.,专题归纳,高考体验,反思感悟1.全称命题与特称命题真假的判断方法 (1)判断全称命题为真命题,需严格的逻辑推理证明,判断全称命题为假命题,只需举出反例. (2)判断特称命题为真命题,需要举出正例,而判断特称命题为假命题时,要有严格的逻辑证明. 2.含有一个量词的命题的否定 全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.否定时既要改写量词,又要否定结论.,专题归纳,高考体验,
11、跟踪训练3下列命题中的假命题是( ) A.x0R,lg x0=0 B.x0R,tan x0=1 C.xR,x33 D.xR,2x0 解析:当x=1时,lg 1=0,A是真命题; 当 ,B是真命题; 当x0成立,D是真命题. 答案:C,专题归纳,高考体验,专题四 转化与化归思想,思路点拨:由于“p或q”为真,“p且q”为假,可以得到p与q一真一假,再转化为集合间的关系求解即可.,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,反思感悟所谓转化与化归思想是指在研究和解决问题时,采用某种手段将问题通过变换、转化,进而使问题得到解决的一种解题策略.一般是将复杂的问题进行变换,转化为简单的问题,将较难的问题通过
12、变换,转化为容易求解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题. 本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等.通过转化,使复杂问题简单化,抽象问题具体化.,专题归纳,高考体验,跟踪训练4已知命题r(x):sin x+cos xm,s(x):x2+mx+10,如果对xR,r(x)为假命题且s(x)为真命题,求实数m的取值范围.,专题归纳,高考体验,考点一:四种命题及其关系 1.(2015山东高考)设mR,命题“若m0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m0 C.若方程x2+x
13、-m=0没有实根,则m0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m0 解析:原命题的逆否命题是将条件和结论分别否定,作为新命题的结论和条件,所以其逆否命题为“若方程x2+x-m=0没有实根,则m0”. 答案:D,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,考点二:充分条件、必要条件的判断 3.(2016山东高考)已知直线a,b分别在两个不同的平面,内.则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若直线a,b相交,设交点为P,则Pa,Pb. 又因为a,b, 所以P,P. 故,相交. 反之,若,相交,设交线
14、为l,当a,b都与直线l不相交时,则有ab. 显然a,b可能相交,也可能异面或平行. 综上,“直线a,b相交”是“平面,相交”的充分不必要条件. 答案:A,专题归纳,高考体验,4.(2017天津高考)设xR,则“2-x0”是“|x-1|1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:x=-3满足2-x0,但不满足|x-1|1, “2-x0”不是“|x-1|1”的充分条件. 若|x-1|1,则-1x-11,即0x2,可得2-x0, 即“2-x0”是“|x-1|1”的必要条件, 故“2-x0”是“|x-1|1”的必要而不充分条件.故选B. 答
15、案:B,专题归纳,高考体验,5.(2017北京高考)设m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=n”是“mn0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:m,n为非零向量,若存在0,使m=n,即两向量反向,夹角是180,则mn=|m|n|cos 180=-|m|n|0.反过来,若mn0,则两向量的夹角为(90,180,并不一定反向,即不一定存在负数,使得m=n,所以“存在负数,使得m=n”是“mn0”的充分而不必要条件.故选A. 答案:A,专题归纳,高考体验,考点三:逻辑联结词及其应用 6.(2017山东高考)已知命题p:xR,x2-
16、x+10;命题q:若a2b2,则ab.下列命题为真命题的是( ),解析:当x=0时,x2-x+1=10,故命题p为真命题. 取a=1,b=-2,则a2b,故命题q为假命题,所以p q为真命题. 答案:B,专题归纳,高考体验,7.(2014重庆高考)已知命题 p:对任意xR,总有2x0; q:“x1”是“x2”的充分不必要条件, 则下列命题为真命题的是( ).,解析:根据指数函数值域为(0,+),得p为真命题;而“x1”是“x2”的必要不充分条件,故q为假命题.根据复合命题的真假规律,可得p q为真命题,故选D. 答案:D,专题归纳,高考体验,考点四:全称命题与特称命题 8.(2016浙江高考)
17、命题“xR,nN*,使得nx2”的否定形式是( ) A.xR,nN*,使得nx2 B.xR,nN*,使得nx2 C.xR,nN*,使得nx2 D.xR,nN*,使得nx2 解析:由含量词命题的否定格式,可知首先改写量词, 而nx2的否定为nx2. 故选D. 答案:D,专题归纳,高考体验,9.(2014全国高考)不等式组 的解集记为D,有下面四个命题: p1:(x,y)D,x+2y-2, p2:(x,y)D,x+2y2, p3:(x,y)D,x+2y3, p4:(x,y)D,x+2y-1, 其中的真命题是( ). A.p2,p3 B.p1,p2 C.p1,p4 D.p1,p3 解析:画出可行域如图阴影部分所示. 作直线l0: ,平移l0,当直线经过A(2,-1)时,x+2y取最小值,此时(x+2y)min=0.故p1:(x,y)D,x+2y-2为真.p2:(x,y)D,x+2y2为真.故选B. 答案:B,
