1、辽宁师大附中 2015 届高三上学期 10 月模块考试数学（理）试题（解析版）【试卷综析】本次试卷考查的范围是三角函数和数列。试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。第卷 选择题（共 50 分）一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。 1.若 a、 b 为实数，则“ ”是“ ”的（ ）1ab10abA. 充分而不必要条件
2、 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断L4 【答案解析】B 解析：若 a、b 为实数， ，令 a=1，b=1，ab=1 1，ab推不出 ，若 ，可得 b0，0 ， ，10a10ab ”是“ 必要不充分条件，故选 Bbb【思路点拨】令 a=1，b=1 特殊值法代入再根据必要条件和充分条件的定义进行判断.【题文】2.已知实数 满足 ，则下列关系式恒成立的是（ ）,xy(01)xyaA B. 3xsinxyC. D. 22ln(1)l()y221【知识点】指数函数的图像与性质L4 【答案解析】A 解析：实数 满足 ， xy，,x
3、y(0)xyaA当 xy 时， ，恒成立，3B当 x=，y= 时，满足 xy ，但 不成立sinxyC若 ，则等价为 x2y 2 成立，当 x=1，y= 1 时，满足 xy，但22ln(1)l()xx2y 2 不成立D若 ，则等价为 x2+1y 2+1，即 x2y 2，当 x=1，y= 1 时，满足 xy，但221xyx2y 2 不成立故选：A【思路点拨】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键【题文】3下列四个图中,函数 的图象可能是（ ） 10lnxy【知识点】函数的图象L4 【答案解析】C 解析：当 x0 时，y0，排除 A、B 两项；当 2x1 时，y0，排
4、除 D项故选：C【思路点拨】根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项【题文】4.已知函数 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间 单调递增. 若实数 满()fx 0,)a足 , 则 的最小值是（ ）212(log)lfafaA B1 C D2 31【知识点】奇偶性与单调性的综合L4 【答案解析】C 解析：函数 f（x ）是定义在 R 上的偶函数， ，等价为 f（log 2a）+f （log 2a） =2f（log 2a）2f（1），即 f（ log2a）f（1 ）函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，+ ）单调递增，f（log 2a）f（1）等价为 f（|log 2a|）f（
5、1）即|log 2a|1，1log2a1，解得 ，故 a 的最小值是 ，故选：C【思路点拨】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行化简，即可得到结论【题文】5.已知向量 ，其中 ， ，且 ，则向量 和 的夹b、 2bab)（ b角是 （ ）A B C D4243【知识点】数量积表示两个向量的夹角L4 【答案解析】A 解析：设两个向量的夹角为 ， ， ，即 ab)（ ， 0， ， ，故选 A【思路点拨】利用向量垂直的数量积为 0 列出方程；利用向量的平方等于向量模的平方及向量的数量积公式将方程用模与夹角表示求出夹角【题文】6.把函数 的图象适当变化就可以得 的图象，sin3yx2(sin
6、3co)yx这个变化可以是（ ）A沿 轴方向向右平移 4 B沿 轴方向向左平移 4xxC沿 轴方向向右平移 12 D沿 轴方向向左平移 12【知识点】函数 y=Asin（x+）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用L4 【答案解析】C 解析：函数 =sin（3x ）=sin3（x ），(sin3co)yx把函数 的图象沿 x 轴方向向右平移 12个单位，可得sin3y的图象，故选：C2(ico)x【思路点拨】由条件根据函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论【题文】7.已知等差数列 的前 n 项和为 ，又知 ，且anS(l)ln1x， ，则 为（ ）10lneSxd2017S30A33
7、 B46 C48 D50 【知识点】等差数列的性质；定积分的简单应用L4 【答案解析】C 解析： =（xlnx x） =ee（ 1）=110lned等差数列中，S 10，S 20S10，S 30S20 为等差数列，即 1，171，S 3017 为等差数列，32=1+S 3017，S 30=48，故选 C。【思路点拨】先利用微积分基本定理求定积分的值，得 S10=1，再利用等差数列的性质，即S10，S 20S10，S 30S20 为等差数列，即可列方程得所求值.【题文】8 .已知 ，则 的值是 （ ）243sin()sin357sin()6A B C D23553245【知识点】两角和与差的正弦
8、函数L4 【答案解析】C 解析：sin（ ）+sin=sin coscos sin+sin= cos+ sin+sin= cos+ sin= （ cos+ sin）= （sin cos+cos sin）= sin（ ）=sin（ ）= ， =sin（ ）= sin（ ）=故答案选：C【思路点拨】先用正弦两角和公式把 sin（ ）+sin 展开求的 sin（ ）的值，然后通过诱导公式展开则 ，把 sin（ ）的值代入即可【题文】9已知函数 f（x）lnxtan （ （0， 2） ）的导函数为 ()fx，若使得0()fx 0f成立的 01，则实数 的取值范围为（ ）A （ 4， 2） B （0，
9、3） C （ 6， 4） D （0， 4）【知识点】导数的运算L4 【答案解析】A 解析：f（x）= ，f（x 0）= ，f（x 0）=f （x 0）， =ln x0+tan ， tan = ln x0，又 0x 01，可得 ln x01，即 tan 1， （ ， ）故选：A 【思路点拨】由于 f（x）= ，f（x 0）= ，f（x 0）=f （x 0），可得 =ln x0+tan ，即 tan = ln x0，由 0x 01 ，可得 ln x01 ，即 tan 1，即可得出【题文】10已知函数 f(x) xlog 2x，实数 a、 b、 c 满足 f(a)f(b)f(c)b Cx 0c【知识
10、点】函数零点的判定定理L4 【答案解析】D 解析：因为 f（x）=（ ） xlog2x，在定义域上是减函数，所以 0abc时，f（ a）f（b）f （c）又因为 f（a）f （b）f（c）0，所以一种情况是 f（a），f（b），f（c）都为负值，另一种情况是 f（a）0，f（ b）0，f（c）0在同一坐标系内画函数 y=（ ） x 与 y=log2x 的图象如下，对于要求 a，b，c 都大于 x0，对于要求 a，b 都小于 x0 是，c 大于 x0两种情况综合可得 x0c 不可能成立故选 D【思路点拨】有 f（a）f（b）f（c）0 可得f（a） ，f（b） ，f（c）都为负值；（a）0 ，
11、f（b）0，f（c）0，对这两种情况利用图象分别研究可得结论.第卷 （共 70 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将正确答案填在相应位置上。11函数 的定义域为 R， ，对任意 R， 3，则 3x+4 的解集()fx(1)fx()f()f为 .【知识点】函数的单调性与导数的关系L4 【答案解析】 解析：设 F（x）=f（x ）（3x+4），1,则 F（ 1）=f（1 ）（3+4）=11=0，又对任意 xR，f（x）3，F（x）=f（x ）30 ，F（x）在 R 上是增函数，F（x）0 的解集是（ 1，+），即 f（x）3x+4 的解集为（1，+）故答案为：（1
12、，+）【思路点拨】构造函数 F（x ） =f（x） （3x+4），由 f（1）=1 得 F（1）的值，求 F（x）的导函数，根据 f（x）3，得 F（x）在 R 上为增函数，根据函数的单调性得 F（x）大于0 的解集，从而得所求不等式的解集【题文】12已知 为奇函数,且 满足不等式 ,则mxxfcostan 0192m实数 的值为 .m【知识点】函数奇偶性的性质L4 【答案解析】 解析：不等式 0等价于 或2，解得， 或 ，即有3m0 或 1m3，f（x）=tanx+cos（x+m ）为奇函数，f（ x）= f（x），即 tan（ x）+cos （x+m）=tanx cos（m+x），cos（
13、x+m ）=cos （x+m ），cosmcosx+sinmsinx=cosmcosx+sinmsinx，cosm=0，m=k ，k 为整数， 由得，m= 故答案为： 【思路点拨】首先解不等式 0，得到3m0 或 1m3，再根据 f（x）=tanx+cos（x+m）为奇函数，由奇函数的定义，以及应用三角恒等变换公式，求出 m=k，k 为整数， ，然后由 得，m= 【题文】13已知 x0，y0，且 =1，若 x+2ym2+2m 恒成立，则实数 m 的取值范围 . 21xy【知识点】函数恒成立问题L4 【答案解析】-4M2 解析 ，x+2y= （x+2y ） =4+ + 4+2 =8x+2y m2
14、+2m 恒成立，m 2+2m8 ，求得4m 2，故答案为： 4m2【思路点拨】先把 x+2y 转化为（ x+2y） 展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据 x+2ym 2+2m 求得 m2+2m8 ，进而求得 m 的范围【题文】14. 已知点 是 的外接圆圆心，且 若存在非零实数OABC3,4ABC，使得 ，且 ，则 .,xyAxy1xycos【知识点】平面向量的基本定理及其意义L4 【答案解析】 解析：如图所示， =x +y ，且 x+2y=1，32 =y（ 2 ）， =y（ + ），取 AC 的中点 D，则 + =2 ， =2y ，又点 O 是ABC 的外心， BDAC在 RtBAD
15、中，cosBAC= 故答案为： ，【思路点拨】由 =x +y ，且 x+2y=1，可得 =y（ 2 ） ，利用向量的运算法则，取 AC 的中点 D，则 =2y ，再利用点 O 是ABC 的外心，可得 BDAC即可得出三、解答题：本大题共 5 小题，共 50 分.15已知命题 ：任意 ，有 ，命题 ：存在 ，使得p1,2x20xaq0Rx.若“ 或 为真” ， “ 且 为假” ，求实数 的取值范围200(1)xaqpa【知识点】复合命题的真假L4 【答案解析】-1a1或a3 解析：p 真 ， 任意 ，有 ，即 在 恒成立， ，1,2x20xa2x1,21,4x则 a 1 （ 2分 ）q真 ， 则
16、 =（ a-1） 2-4 0,即 a 3或 a -1 （ 4分 ） “p或 q”为 真 ,“p且 q”为 假 , p,q中 必 有 一 个 为 真 ,另 一 个 为 假 当 p真 q假 时 ，有 得 -1 a 1 （ 8分 ）3-当 p假 q真 时 ， 有 得 a 3 - 或 实数 a 的取值范围为-1a1 或 a3 （12 分）【思路点拨】先求出命题 p，q 为真命题时，a 的范围，据复合函数的真假得到 p，q 中必有一个为真，另一个为假，分两类求出 a 的范围【题文】16已知 3cos2in()si(),xfxxxR(1)最小正周期及对称轴方程；(2)已知锐角 的内角 的对边分别为 ,且
17、, ,求ABC,abc3fAa边上的高的最大值.【知识点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法L4 【答案解析】(1) , ；(2)p5,21kxZ=+32解析：(1) 3cosinsif xx, fx的 最 小 正 周 期 为 52,3212kkZ令 得(2)由 得 3fAsin,0=3AA又 ， ，由余弦定理得 222cos9=abbcb得9bc即 （ 当 且 仅 当 =c时 取 等 号 ） 设 边上的高为 ,由三角形等面积法知 BCh139sin,22ahbcAhbc得,即 的最大值为 . 32h3【思路点拨】(1) 利用二倍角公式，诱导公式和两角和公式对函数解析式进行化简
18、，利用三角函数图象和性质求得其最小正周期 T，及对称轴; (2) 利用三角形面积公式得到 h 和bc 的关系式，进而利用余弦定理得到 b 和 c 的关系式，利用基本不等式的性质求得 bc 的最大值，进而求得 h 的最大值【题文】17已知首项都是 1 的两个数列 an， bn(bn0， nN *)满足 anbn1 an1 bn2 bn1 bn0.(1)令 cn ，求数列 cn的通项公式；anbn(2)若 bn3 n1 ，求数列 an的前 n 项和 Sn.【知识点】数列递推式；数列的求和L4 【答案解析】(1) cn2 n1 (2) Sn( n1)3 n1.解析：(1)因为 anbn1 an1 b
19、n2 bn1 bn0， bn0( nN *)，所以 2，an 1bn 1 anbn即 cn1 cn2，所以数列 cn是以 c11 为首项， d2 为公差的等差数列，故 cn2 n1.(2)由 bn3 n1 ，知 an(2 n1)3 n1 ，于是数列 an的前 n 项和Sn13 033 153 2(2 n1)3 n1 ，3Sn13 133 2(2 n3)3 n1 (2 n1)3 n，将两式相减得2 Sn12(3 13 23 n1 )(2 n1)3 n2(2 n2)3 n，所以 Sn( n1)3 n1.【思路点拨】（1）由 anbn+1an+1bn+2bn+1bn=0，e n= ，可得数列 cn是
20、以 1 为首项，2 为公差的等差数列，即可求数列c n的通项公式；（2）用错位相减法求和【题文】18已知向量3(si,)(cos,1)4xx(1)当 /ab时，求 2co的值；(2)设函数 ()fxab，已知在 ABC 中，内角 A、 B、 C 的对边分别为、 、，若 36sin,3B,求 62cos4xf （0,3x）的取值范围【知识点】解三角形；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数的恒等变换及化简求值L4 【答案解析】(1) ； (2)2162cos4123Axf85解析：（1） 3/,cosin0,ta4ab22 22s1n8cosinit5xxxx（2） ()i()4fab+ 3由
21、正弦定理得 2sin,siniAAB可 得 所 以 或 43A 因为 ab，所以 4 62cos4xfsin(2)x1, 0,3x12,42x,所以 13Af 【思路点拨】（1）由 /ab可得 ，从而可求 tanx，再代入即可人；（2 ）由正弦定理得 2sin,sini 4AAB可 得 所 以 代入可得 ，结合已()fx知 x 可求函数的值域【题文】19已知函数 . 22()lnfxxa(1)当 时，求 在 处的切线方程；1a1,(f(2)设函数 ，()2gxfx（）若函数 有且仅有一个零点时，求 的值；a（）在（）的条件下，若 ， ，求 的取值范围。2ex()gm【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值L4 【答案解析】(1) ；(2) （） ； （）340xy1a23e-解析：（1）当 时， 定义域 ，1a22()lnfxx0,()2lnfx，又3()f在 处的切线方程 ()fx1,f 40xy（2） （）令 2gf则 2lnxax即 1()a令 ， (2)ln()xh则 2221l1ln()xxx令 lnt，2()1xtx， 在 上是减函数0t()t,)
