1、甘肃省民乐一中 2015 届高三第一次诊断考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1已知全集 ，则集合 （ ）,|2,|1URAxBx()UCABA B|21x|C D|x【答案】A【解析】试题分析：因为 = ，所以 ；故选 AB|21x或 ()UCAB|21x考点：集合的交、并、补集运算2函数 的定义域是（ ）)3lg(1)(2xxfA B C D,31, )31,()31,(【答案】B【解析】试题分析：由题意 1-x0 且 3x+10，解得 x ，故选 B)1,3(考点：函数的定义域3 “ 或 是假命题”是“非 为真命题”的（ ）pqpA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充
2、分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：p 或 q 是假命题，意味着 p,q 均为假命题，所以，非 p 为真命题；反之，非 p为真命题，意味着 p 为假命题，而 q 的真假不确定，所以，无法确定 p 或 q 是真假命题，即“p 或 q 是假命题” 是 “非 p 为真命题”的充分而不必要条件，故选 A考点：充分条件与必要条件4下列函数中,既是偶函数又在区间（0,+ ）上单调递减的是（ ）A B C D1yxxye21yxlg|yx【答案】C【解析】试题分析： 在（0，+ ）上是减函数，但在定义域内是奇函数，故排除 A；yx在（0，+ ）上是减函数，但不具备奇偶性，故排除 B； 是偶函数，且xe
3、 21yx在（0，+）上为减函数，故选 C； 在定义域（-，0 ）（0，+）上是偶函lg|yx数，但在（0，+ ）上为增函数，故排除 D考点：奇偶性与单调性的综合5函数 xxf1log)(2的一个零点落在下列哪个区间（ ）A （0 ，1 ） B （1，2） C （2 ，3） D （3，4）【答案】B【解析】试题分析： ,f （1 ）f（2）0根据函数的实根存在0ff（, 定理得到函数 xx1log)(2的一个零点落在（1，2 ）上故选 B考点：函数零点的判定定理6设函数 ，则满足 的 的取值范围是（ ）)1(,log1)(2fx 2)(xfA-1 ，2 B0，2 C0 ，+ D1 ，+ 【答案
4、】C【解析】试题分析：当 x1 时， 的可变形为 1-x1，x0，0x1 当 x1 时，1-21xlog2x2 的可变形为 x ， x1，故答案为0，+）故选 C考点：对数函数的单调性与特殊点7函数 在区间 上的值域为 ，则 的最小值为（ ）xf3log)(ba,1,0abA2 B1 C D332【答案】D【解析】试题分析：函数 f（x）=|log 3x|在区间a ，b上的值域为0，1 ，x=1 时，f（x ）=0， x=3 或 时，f （x ）=1，故 1a ，b，3 和 至少有一个在区间 a，b上，b-a 的311最小值为 1- = ，故选 D2考点：对数函数的值域与最值8已知 是 R 上
5、的单调递增函数，则实数 a 的取值范围为 （ ,(1)()42,()xaf x）A （1 ，） B （1,8） C （4,8） D4,8）【答案】D【解析】试题分析：当 x1 时， 为增函数 ，又当42afxx（ 40x1 时， f（x）=a x 为增函数a1 同时，当 x=1 时，函数对应于一次函数的取值要小于指数函数的取值 综上所述，4a8 ，故选 B142考点：函数单调性的判断与证明9设 ()fx是定义在 R 上的偶函数，且在 上是增函数 ， ，0,(7log4fa， ，则 的大小关系是（ ）3log21b)2(fc,abcdA BacC D【答案】B【解析】试题分析：由题意 ， ， ，
6、fxf（42log7l1222log3llog710，+）上是减函数cba故选：B考点：1奇偶性与单调性的综合； 2对数的运算性质10函数 2xy的图象大致是（ ）【答案】A【解析】试题分析：因为当 x=2 或 4 时， ，所以排除 B、C；当 x=-2 时，20x，故排除 D，所以选 A2104x考点：函数的图象与图象变化11已知 是定义在 上的函数，且 则 的解集是（ )(xfyR,1)(,)1(ff xf)(）A B C D)1,0()1,0(,),1(),【答案】C【解析】试题分析：设 g（x）=f （x）-x，因为 f（1 ）=1 ，f （x） 1，所以 g（1 ）=f（1）-1=0
7、，所以 g（x）在 R 上是增函数，且 g（1）=0 所以 f（x）x 的解集即10f（是 g（x ）0 的解集（1 ，+）故选 C考点：1函数的单调性与导数的关系； 2其他不等式的解法12函数 的图像与函数 的图像所有交点的横坐标之和yxysin)4(等于（ ）A2 B4 C6 D8【答案】D【解析】试题分析：函数 ， 的图象有公共的对称中心（1，0 ），作出两个1xy2sinyx函数的图象如图当 1x4 时， 而函数 y2 在（1，4）上出现 15 个周期的图象，在 和10y 3(1)2（上是减函数；在 和 上是增函数函数 y1 在（1，4 ）上函数值为负数，57()2（35()（7(（且
8、与 的图象有四个交点 E、F、G、Hy相应地， 在（-2，1）上函数值为正数，且与 的图象有四个交点 A、B、C、D 且：2y，故所求的横坐标之和为 8 故选 DAHBGCFDExxx=考点：1奇偶函数图象的对称性； 2三角函数的周期性及其求法； 3正弦函数的图象二、填空题13已知直线 与曲线 切于点 ，则 的值为 1ykx3yxab(1,3)b。【答案】3【解析】试题分析：把（1，3）代入直线 中，得到 k=2，求导得： ，所以1ykx23yxa，解得 a=-1，把（1，3 ）及 a=-1 代入曲线方程得：1-1+b=3，则 b 的值为|2xya3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程14已知
9、幂函数 在 上是增函数，则 352)()mxxf ),0(m。【答案】-1【解析】试题分析：根据幂函数的定义和性质，得； ，解得 m=-1故答案为：-121530m（考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域15若函数 2log()ayx在区间 ,上为减函数，则 a 的取值范围是 。【答案】2，3）【解析】试题分析：若 0a1 ，则函数 2log()ayx在区间（-，1上为增函数，不符合题意；若 a1，则 在区间（-，1 上为减函数，且 t02tx即 a 的取值范围是2 ，3 ）230， 考点：对数函数的图象与性质16当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ,1x3240xa。【答案】 6
10、,2【解析】试题分析：不等式 变形为 当 时， ，3240ax324ax0x3故实数 a 的取值范围是 ；当 时， ，记 ，R(,13234()xf，故函数 递增，则 ，2 4489()1() 0xxf()fxmax()(1)6ff故 ；当 时， ，记 ，令 ，6a,0)23xa234()f()0f得 或 （舍去） ，当 时， ；当 时，1x9(,1)0f(1,0)x，故 ，则 综上所述，实数 的取值范围是()0fmin()2fxfaa6,2考点：利用导数求函数的极值和最值17已知命题 ，命题 。若 是 的 必48:xp )0(12:2mxqpq要 而 不 充 分 条 件 ，求实数 的取值范围
11、m【答案】 ),7【解析】试题分析：先写出命题 ，根据 是 的必要不充分条件可得：pq， pq，这样解出 m 的取值范围即可0814m试题解析：解 ： 记 48|xA由 ， 得 )0(122x mx1记 5 分,| mB 是 的 必 要 不 充 分 条 件 ，pq 是 的 充 分 不 必 要 条 件 ， 即 ，又 ， 则 只 需 BA00814m解 得 ， 故 所 求 实 数 的 取 值 范 围 是 12 分7mm),7考点：复合命题的真假三、解答题18已知 ，设命题 ：函数 为减函数命题 ：当 时，函数0cpxcyq2,1x恒成立如果“p 或 q”为真命题， “p 且 q”为假命题，求 c
12、的取值范围cxf1)(【答案】 | 20 或【解析】试题分析：利用复合指数函数的单调性求命题 P 为真的 c 的范围；先求 f（x）的最小值，分析函数 恒成立的条件，然后解出命题 q 为真命题的 c 的范围；根据 p1xcf（ ）或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，则 P、q 命题一真一假，求解试题解析：解：由命题 p 为真知，0 ， 6 分1c若“p 或 q”为真命题， “p 且 q”为假命题，则 p、q 中必有一真一假，当 p 真 q 假时，c 的取值范围是 0c ；12当 p 假 q 真时，c 的取值范围是 c1综上可知，c 的取值范围是 12 分| 0cc 或考点：1复合命题的真假
13、； 2交、并、补集的混合运算； 3指数函数单调性的应用19已知函数 在区间 上的最大值是 2，求实数 的值14axy, a【答案】 306a或【解析】试题分析：先求对称轴，比较对称轴和区间的关系，利用开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大解题试题解析： 3106a或，对称轴24)2()xf 2ax（1 ） 即 时， 在 上单调递减，0a)(xf1,0 214)0()(maxaff此时可得 4 分6（2 ） 即 时，12a 214)2()(maxff此时可得 或 ，与 矛盾，舍去。 8 分30（3 ） 即 时， 在 上单调递增，a)(f1, 214)()(max aff此时可得 310a综上所
14、述： 12 分6或考点：二次函数在闭区间上的最值20函数 是定义在 上的奇函数，且 21xbaf1,521f（1 ）确定函数 的解析式；f（2 ）用定义法证明函数 在 上是增函数；xf1,（3 ）解不等式 01f【答案】 （1） ；（2 ）详见解析；（3） xf10,2【解析】试题分析：（1）根据奇函数性质有 ，可求出 b，由 可求得 a0f（ ） 5f值（2）根据函数单调性的定义即可证明；（ 3）根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，再考虑到定义域可得一不等式组，解出即可试题解析：解：（1）由已知 是定义在 上的奇函数，21xaf1,，即 0f 0,1b又 ，即 ， 52f52
15、a1a 4 分21xf证明：对于任意的 ，且 ，则1,2121x 2121121 212xxxff ，0,02121 xx01,221xx，即 ff 21xff函数 在 上是增函数 8 分21x,由已知及（2）知， 是奇函数且在 上递增，fx1, 202110xxx xffffxf不等式的解集为 12 分0,考点：奇偶性与单调性的综合21已知 1ln()xf（1 ）求函数 的单调区间；y（2 ）若关于 x的方程 2()fxk有实数解,求实数 k的取值范围；（3 ）当 *nN, 时, 求证： 11()23nfn 【答案】 （1）函数 ()fx在区间（ 0,1）上为增函数；在区间 (,)为减函数；
16、（2 ） 2k；（3 ）详见解析【解析】试题分析：（）先求出 ，从而得函数 f（ x）在区间（0，1）上为增函数；2lnxf（ ）在区间（1，+ ）为减函数（）由（）得 f（x ）的极大值为 f（1 ）=1，令，得函数 g（x ）取得最小值 g（1）=k-1，由 有实数2gxk（ ） 2gxk（ ）解，k-11，进而得实数 k 的取值范围（）由 ()(ffn，得1ln()n，从而 ln2l13l2l(1)n23，即 1ln，问题得以解决试题解析：解：（1） 1ln()xf, 221(ln)l()xxf当 (0,)x时, 0fx；当 (,时, 0f； 函数 f在区间（0,1）上为增函数；在区间
17、(1)为减函数 4 分（2 ）由（1 ）得 ()fx的极大值为 ()f,令 2gxk,所以当 时,函数 g取得最小值 k,又因为方程 2()fxk有实数解,那么 1, 即 2k,所以实数 k的取值范围是： 8 分（3 ） 函数 ()f在区间 (1,)为减函数,而 (*,)nN, 1(ffn 1ln,即 1l)ll2l3l2l(n23n即 11n,而 )1lf, ()23nf结论成立 12 分考点：1利用导数研究函数的单调性； 2导数在最大值、最小值问题中的应用22如图，A，B，C，D 四点在同一圆上， 与 的延长线交于点 ，点 在 的BCADEFBA延长线上FEDCBA（1 ）若 ，求 的值；21,3ABB（2 ）若 ，证明： F2 CDE/【答案】 （1） ；（2）详见解析6
