1、河南省洛阳市 2015 届高三上学期期中考试数学文试题（解析版）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的）1 设集合 A=0，1，B=1，0，m2 ，若 AB，则实数 m=（ ）A 0 B 1 C 2 D 3考点： 集合的包含关系判断及应用专题： 计算题；集合分析： 本题利用集合的包含关系得到元素与元素的关系，从而求出参数的值解答： 解：集合 A=0，1，1A AB，1 BB=1，0，m 2， 1=m2 m=3故选：D 点评： 本题考查的知识点是集合与元素的关系，本题思维量小，过程简单，是容易题2 设复数 z1=1+i，z 2=2
2、+bi，其中 i 为虚数单位，若 z1z2 为实数，则实数 b=（ ）A2 B 1 C 1 D 2考点： 复数的基本概念专题： 数系的扩充和复数分析： 由题意可得 z1z2=2b+（2+b ）i ，由实数的定义可得 2+b=0，解方程可得解答： 解：z 1=1+i，z 2=2+bi，z1z2=（1+i ） （2+bi）=2 b+（2+b）i，z1z2 为实数，2+b=0，解得 b=2 故选：A点评： 本题考查复数的基本概念，属基础题3 设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S8=32，则 a2+a7=（ ）A 1 B 4 C 8 D 9考点： 等差数列的前 n 项和专题： 等差数列与等比
3、数列分析： 利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解解答： 解：等差数列a n的前 n 项和为 Sn，S 8=32， ， a2+a7=8故选：C点评： 本题考查等差数列的两项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用4 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=3，AD= ，AA 1=h，则异面直线 BD 与 B1C1 所成的角为（ ）A 30 B 60C 90 D 不能确定，与 h 有关考点： 异面直线及其所成的角专题： 空间角分析： 由 B1C1BC，知 DBC 是异面直线 BD 与 B1C1 所成的角（或所成的角的平面角） ，由此能求出异面直线 BD 与 B1C1
4、所成的角为 60解答： 解：B 1C1BC，DBC 是异面直线 BD 与 B1C1 所成的角（或所成的角的平面角） ，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=3 ，AD= ，AA 1=h，tanDBC= = = ，异面直线 BD 与 B1C1 所成的角为 60故选：B点评： 本题考查异面直线所成的角的大小的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养5某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的 x=0.1，则运行后输出的 y 值是（ ）A1 B 0.5 C 2 D 10考点： 程序框图专题： 算法和程序框图分析： 按照程序框图的流程，判断输入的值是否满足判断框中的条件， “是” 按 y
5、=lgx 求出 y解答： 解：当 x=0.1 时，满足第一个判断框中的条件，执行“是” ，也满足第二个判断框中的条件，执行“是”，将 x=0.1 代入 y=lgx 得 y=1故选 A点评： 本题考查解决程序框图的选择结构时，关键是判断出输入的值是否满足判断框中的条件6抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是（ ）AB C 1 D考点： 抛物线的简单性质；双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点 F（1，0） 由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为 y= x，化成一般式得： ，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离解答：
6、 解：抛物线方程为 y2=4x2p=4，可得 =1，抛物线的焦点 F（1，0）又 双曲线的方程为a2=1 且 b2=3，可得 a=1 且 b= ，双曲线的渐近线方程为 y= ，即 y= x，化成一般式得： 因此，抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线渐近线的距离为 d= =故选：B点评： 本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题7 已知 f（x）在 R 上是奇函数，且满足 f（x+4 ）=f（x） ，当 x（0，2）时，f（x）=2x 2，则f（2015）= （ ）A 2 B 2 C 8 D 8考点：
7、函数解析式的求解及常用方法专题： 计算题；函数的性质及应用分析： 由题意知函数的周期为 4，故 f（2015）=f（1） ，又由奇函数可求 f（1）= f（1）= 2解答： 解：f（x+4）=f（x） ，f（2015）=f（50441）=f（1） ，又 f（x）在 R 上是奇函数，f （ 1）= f（1）=2故选 B点评： 本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题8已知向量 =（cos，sin） ， （ ，） ， =（0，1 ） ，则 与 的夹角等于（ ）A B + C D 考点： 平面向量数量积的运算专题： 计算题；平面向量及应用分析： 由向量夹角公式可得 cos ， = =sin=
8、cos（ ） ，再由（ ，） ， ， 0， ，y=cox 在0， 上单调递减，可得结论解答： 解： =cos0+sin（1）=sin ，| |=1，| |=1，cos ， = =sin=cos（ ） ，（ ，） ， （ ，） ，又 ， 0， ，y=cox 在0 ， 上单调递减， ， = ，故选 C点评： 本题考查向量的数量积运算、夹角公式及诱导公式等知识，属基础题9直线 l：y=kx+1 与圆 O：x 2+y2=1 相交于 A，B 两点，则“ k=1”是“OAB 的面积为 ”的（ ）A充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C充分必要条件 D 既不充分又不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要
9、条件的判断专题： 直线与圆；简易逻辑分析： 根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论解答： 解：若直线 l：y=kx+1 与圆 O：x 2+y2=1 相交于 A，B 两点，则圆心到直线距离 d= ，|AB|=2 ，若 k=1，则|AB|= ，d= ，则OAB 的面积为 = 成立，即充分性成立若OAB 的面积为 ，则 S= = 2 = = ，解得 k=1，则 k=1 不成立，即必要性不成立故“k=1 ”是“OAB 的面积为 ”的充分不必要条件故选：A点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键10 x、
10、y 满足约束条件 ，若目标函数 z=ax+by（a0，b0）的最大值为 7，则的最小值为（ ）A 14 B 7 C 18 D 13考点： 基本不等式；简单线性规划专题： 计算题分析： 作出可行域，得到目标函数 z=ax+by（a0，b0）的最优解，从而得到 3a+4b=7，利用基本不等式即可解答： 解：x、y 满足约束条件 ，目标函数 z=ax+by（a 0，b0） ，作出可行域：由图可得，可行域为ABC 区域，目标函数 z=ax+by（a 0，b0）经过可行域内的点 C 时，取得最大值（最优解） 由 解得 x=3，y=4，即 C（3，4） ，目标函数 z=ax+by（a0，b0）的最大值为
11、7，3a+4b=7（a0，b0） ， = （3a+4b）（ ）= （9+ +16+ ） （25+2 ）= 49=7（当且仅当 a=b=1 时取“ =”） 故选 B点评： 本题考查线性规划，作出线性约束条件下的可行域，求得其最优解是关键，也是难点，属于中档题11 若函数 f（x）= x2ax+lnx 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，22，+） B （ ，2）（2，+）C 2，+） D （2，+）考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 导数的综合应用分析： 求出原函数的导函数，由导函数等于 0 得到 a=x+ ，利用基本不等式求得 x+ 的范围得答案解答： 解
12、：f（x）= x2ax+lnx，f（x） =xa+ ，由题意可知存在实数 x0，使得 f（x）=xa+ =0，即 a=x+ 成立，a=x+ 2（当且仅当 x= ，即 x=1 时等号取到） ，实数 a 的取值范围是2，+） 故选：C点评： 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题12 已知定义在实数集 R 上的函数 f（x）满足 f（1）=2，且 f（x）的导数 f（x）在 R 上恒有f（x）1（xR） ，则不等式 f（x）x+1 的解集为（ ）A（1，+） B （，1） C （1 ，1 ） D （，1）（1，+ ）考点： 利
13、用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质；导数的加法与减法法则专题： 计算题分析： 构造函数 g（x）=f（x）x 1，g （x）=f （x）10，从而可得 g（x）的单调性，结合f（1）=2，可求得 g（1）=1，然后求出不等式的解集即可解答： 解：令 g（x）=f（x）x 1，f（x）1（xR） ， g（x ）=f（x） 10，g（ x） =f（x） x1 为减函数，又 f（1）=2 ， g（1）=f（1） 11=0，不等式 f（x）x+1 的解集g（x）=f（x） x10=g（1）的解集，即 g（x）g（1） ，又 g（x）=f（x）x 1 为减函数，x 1，即 x（ 1，+ ） 故选
14、A点评： 本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13 等比数列a n的各项都是正数，若 a3a15=64，则 log2a9 等于 3 考点： 等比数列的通项公式专题： 等差数列与等比数列分析： 由题意和等比数列的性质可得 a9=8，代入要求的式子化简即可解答： 解：等比数列a n的各项都是正数，且 a3a15=64，a9= = =8，log2a9=log28=3故答案为：3点评： 本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，属基础题14 在面积为 S 的 ABC 内任取一点 P，则PAB 的面积大
15、于 的概率为 考点： 几何概型；诱导公式的作用；二倍角的正弦；二倍角的余弦专题： 概率与统计分析： 设 DE 是ABC 平行于 BC 的中位线，可得当 P 点位于 ABC 内部的线段 DE 上方时，能使PAB 的面积大于 ，因此所求的概率等于 ADE 的面积与 ABC 的面积比值，根据相似三角形的性质求出这个面积比即可解答： 解：分别取 AB、AC 中点 D、E，连接 DEDE 是ABC 的中位线，DE 上一点到 BC 的距离等于 A 到 BC 距离的一半设 A 到 BC 的距离为 h，则当动点 P 位于线段 DE 上时，PAB 的面积 S= BC h= SABC= S因此，当点 P 位于 A
16、BC 内部，且位于线段 DE 上方时，PAB 的面积大于 ADEABC，且相似比 =SADE：S ABC=由此可得PAB 的面积大于 的概率为 P= = 故答案为： 点评： 本题给出三角形 ABC 内部一点 P，求三角形 PBC 面积大于或等于三角形 ABC 面积的一半的概率，着重考查了相似三角形的性质和几何概型的计算等知识，属于基础题15 如图，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为 考点： 由三视图求面积、体积专题： 计算题分析： 三视图复原的几何体是四棱锥，利用几何体的数据求解几何体的体积即可解答： 解：由题意可知三视图复原的几何体是底面为
17、边长为 2 的正方形，一条侧棱垂直底面正方形的顶点的四棱锥，并且棱锥的高为 2，所以几何体的体积为： = 故答案为： 点评： 本题考查三视图与几何体的直观图的关系，考查空间想象能力与计算能力16 已知函数 f（x）=1 axx2，若对于 xa，a+1，都有 f（x）0 成立，则实数 a 的取值范围是 （ ， ） 考点： 二次函数在闭区间上的最值专题： 函数的性质及应用分析： 根据二次函数的性质结合函数的图象得到不等式组，解出即可解答： 解：令 f（x）=1 axx2=0，x1= ，x 2= ，若 f（x）0 成立， ，解得： a 故答案为：（ ， ） 点评： 本题考查了二次函数的性质，函数的最
18、值问题，是一道中档题三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c ，已知 c=2，C= （1）若ABC 的面积等于 ，求 a，b；（2）若 cosA= ，求 b考点： 余弦定理专题： 解三角形分析： （1）由三角形的面积公式表示出三角形 ABC 的面积，将 sinC 的值代入求出 ab 的值，再由余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，将 ab 的值代入即可求出 a+b 的值，由此求得a、b 的值（2）由 cosA= ，求得 sinA= ，由正弦定理求得 a 的值再求得 sinB=sin（A+C
19、） 的值，由= ，求得 b 的值解答： 解：（1）S ABC= absinC= = ，ab=4 由余弦定理 c2=a2+b22abcosC=a2+b2ab=（a+b） 23ab，即 4=（a+b） 212，则 a+b=4 由求得 a=b=2（2）cosA= ， sinA= ，由正弦定理可得 = ，即 = ，求得 a= 又 sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= + = ，故由 = ，即 = ，求得 b= 点评： 此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式，以及完全平方公式的运用，属于基础题18 （12 分）年龄在 60 岁（含 60 岁）以上的人称为老龄人，
20、某小区的老龄人有 350 人，他们的健康状况如下表：健康指数 2 1 0 160 岁至 79 岁的人数 120 133 34 1380 岁及以上的人数 9 18 14 9其中健康指数的含义是：2 代表“健康”，1 代表“ 基本健康” ，0 代表“不健康，但生活能够自理”，1代表“ 生活不能自理” （）随机访问该小区一位 80 岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少？（）按健康指数大于 0 和不大于 0 进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取 5 位，并随机地访问其中的 3 位求被访问的 3 位老龄人中恰有 1 位老龄人的健康指数不大于 0 的概率考点： 古典概型及其概率计算公式专题： 概
21、率与统计分析： （）根据 80 岁以下老龄人的人数，即可估计该地区 80 岁以下老龄人生活能够自理的概率（）由分层抽样方法可得被抽取的 5 位老龄人中有 4 位健康指数大于 0，有 1 位健康指数不大于0，设被抽取的 4 位健康指数大于 0 的老龄人为 1，2，3，4，健康指数不大于 0 的老龄人为 B；列举从这五人中抽取 3 人的结果，由古典概型公式计算可得答案解答： 解：（）该小区 80 岁以下老龄人生活能够自理的频率为 ，所以该小区 80 岁以下老龄人生活能够自理的概率约为 （）该小区健康指数大于 0 的老龄人共有 280 人，健康指数不大于 0 的老龄人共有 70 人，由分层抽样可知，
22、被抽取的 5 位老龄人中有 4 位健康指数大于 0，有 1 位健康指数不大于 0设被抽取的 4 位健康指数大于 0 的老龄人为 1，2，3，4，健康指数不大于 0 的老龄人为 B从这五人中抽取 3 人，结果有 10 种：（1，2，3） ， （1，2，4） ， （1，2，B） ， （1，3，4） ， （1，3，B ） ， （1，4，B） ， （2，3，4） ，（2，3，B） ， （2，4，B） ， （3，4，B， ） ，其中恰有一位老龄人健康指数不大于 0 的有 6 种：（1，2，B） ， （1，3，B） ， （1，4，B） ， （2，3，B ） ， （2，4，B ） ， （3，4，B， ） ，被访问的 3 位老龄人中恰有 1 位老龄人的健康指数不大于 0 的概率为
