1、图 1河南省安阳一中 2015 届高三上学期摸底考试数学试卷 理 说明：本试卷分第卷（选择填空题）和第卷（解答题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟。第 I 卷 （选择、填空题 满分 70 分）一选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 已知集合 ， ，则21|xA31|xBBAA B C D)3,( ),( , 2,1若复数 是纯虚数（ 是虚数单位） ，则实数imm36522i mA B C D 或03已知平面向量 ， ，若 ，则实数),(a),4(bbaA B C D232366已知点 ， ，则线段 的垂直
2、平分线的方程是),1()1,(AA B C D0yx0yx0yx0yx设 、 ，若 ，则下列不等式中正确的是aRb|baA B C D32baba如图 1， 、 分别是正方体 中 、 上的动点（不含端点） ，EF1DAB1则四边形 的俯视图可能是DA B C D已知函数 ，则该函数是, 0 ,12)(xxfxA偶函数，且单调递增 B偶函数，且单调递减C奇函数，且单调递增 D奇函数，且单调递减如右图， 矩形 内的阴影部分由曲线OB()sin(0,)fx及直线 与 轴围成， 向矩形 内随机投掷一点，(0,)xaxOAC若落在阴影部分的概率为 ，则 的值163a为（ ）A B C D31324365
3、二填空题（本大题 共 7 小题，考生作答 6 小题，满分 30 分） (一)必做题（913 题） （填“ ”或“ ” ） 3log22log3在 中， ， ， ，则 ABCc045A07Ba设 是 R 上的奇函数， 。 当 时，有 ，则()fx()(fxf1x()2fx8.5若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是 xy430yxyxz已知抛物线 :C2yp的焦点与双曲线213y的右焦点重合，则抛物线 C上的动点 M到直线 1l： 4360x和 2:lx距离之和的最小值为 (二)选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题 ）（坐标系与参数方程选做题）直线 与曲线 相交，截得的弦长为_ 1xty
4、2cos（几何证明选讲选做题）如图所示，过O 外一点 A 作一条直线与O 交于 C，D 两点，AB 切O 于 B，弦 MN 过 CD 的中点 P已知 AC=4，AB=6，则 MPNP= 第卷（解答题 满分 80 分）三解答题（本大题共 6 题，满分 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （本小题满分 12 分）已知函数 .()2sincos2,fxxxRCDMBN O BAP高三数学（理科）摸底考试试卷 第 1 页（共 4 页）ABCMN1A1B1C2图(1)求 的最大值和最小正周期；(2) 若 ， 是第二象限的角，求()fx 328f.sin2（本小题满分 12 分）2014
5、年巴西世界杯的周边商品有 80%左右为“中国制造” ，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣。甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取 14 件和 5 件，测量产品中的微量元素 x,y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的 5 件产品的测量数据：编号 1 2 3 4 5x 169 178 166 175 180y 75 80 77 70 81（1）已知甲厂生产的产品共有 98 件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素 x,y 满足 x175，且 y75 时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂
6、生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望） （本小题满分 14 分）如图 2，直三棱柱 中，1CBA， ，棱 ， 、 分别是 、 的中点CBA11MN1 求证： 平面 ； 求直线 与平面 所成角 的正弦N1BC1值（本小题满分 14 分）如图 3，已知两点 及 ，点 在以 为焦点的1 ,0F（ ） 2 1,（ ） P12F、椭圆 上，且 、 、 构成等差数列C1PF22P（1）求椭圆 的方程；（2）动直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，点 是直线 上的两点，:lykxmC,MNl且 求四边形 面积 的最
7、大值12, FMlNl12FMNS（本小题满分 14 分）已知正项等比数列 （ ） ，首项 ，前 项和为 ，naN31annS且 、 、 成等差数列3aS54aS 求数列 的通项公式； 求数列 的前 项和 n nS nT图 3M yO Nl xF1 F221.（本小题满分 14 分）已知函数 ，曲线 经过点 ，)()baxef)(xfy)2 ,0(P且在点 处的切线为 ： Pl 24y 求常数 ， 的值；ab 求证：曲线 和直线 只有一个公共点；)(xf l 是否存在常数 ，使得 ， 恒成立？若存在，求常数k1,2)24()xkf的取值范围；若不存在，简要说明理由k河南省安阳一中 2015 届
8、高三上学期摸底考试数学试卷 理参考答案及评分标准一、选择题 BAAC DBCB二、填空题 145 210254三、解答题解：(1) ()sin2coscsinsico2fxxxxx4 分 2si4 的最大值为 2,5 分，最小正周期为 6 分()fx 2T(2)由(1)知, 2sin4fx所以 ,即 8 分3i8f3sin4又 是第二象限的角,所以 10 分2231co1i14所以 12 分39sin2is248解：（1）乙厂生产的产品总数为 1598；.2 分（2）样品中优等品的频率为 2，乙厂生产的优等品的数量为 23514；4 分（3） 0,12， .5 分 235()iCP(0,1)，
9、.8 分的分布列为0 1 2350.11 分均值 314()250E.12 分证明与求解： ， 底面，11CANCA1 分， ， 2 分，41N2NC1 ， ， ，B11 平面 3 分， 4 分，B又 ， 平面 6 分（方法一）以 C 为原点，CA、CB、CC 1在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角xyz坐标系，则 、 、 7 分， 、)0 ,()2 ,(1 )2 ,0( )2 ,1(M8 分，1 ,N、 、 10 分，) ,2(M)1 ,(1N) ,0(1CB设平面 的一个法向为 ，则 11 分，C1 , cban 1Nn即 ，取 12 分，0cab)1 ,( 所以 13 分， 14 分
10、。| | ,os|in11CBn 15（方法二） ， ， 721ANM21MNAMNAB1分， ， ， 8 分，B1由知 ， ， 平面 9 分。CBC1延长 到 ，延长 到 ，使 ，连接 、 10 分，1212222BN在 中， ， ， 11 分，N350N 12 分，22cosBCB15 是平面 的法向量，由所作知 ，从而 ，BNMC1 CB12/ 2NBC 14 分。5cossin2解：（1）依题意，设椭圆 的方程为 构成等差数21xyab12PF、 、列， ， 又 ， 112224aPFFc3b椭圆 的方程为 4 分 C3xy(2) 将直线 的方程 代入椭圆 的方程 中，得lkmC234
11、1xy 5 分01248)34(2xk由直线 与椭圆 仅有一个公共点知， ，lC2226()0km化简得： 2mk， ， 9 分121dFM221kmdFM（法一）当 时，设直线 的倾斜角为 ，0kl则 ， ， 12tandN12k，11212112()mddSkm18432分， 当 时， ， ，243mk0k3m3413S当 时，四边形 是矩形， 130k12FMN23S分所以四边形 面积 的最大值为 1412MyONlxF1F2H分（法二） ， 222221 ()(53)()()11kmkmkd 221223kk 1212()MNFd211224()ddk四边形 的面积 ， 111212(
12、)SMN)(212k分 221212 )(6)(kddkS 12)(412k当且仅当 时， ，故 02,3Smax3S所以四边形 的面积 的最大值为 14 分12FMN2解：依题意，设 1 分， 、 、 成等差数列，13nqa3aS54aS 2 分，即)()()(245S，)2(2232115431化简得 4 分，从而 ，解得 5 分，5 q （ ）是单调数列， ， 6 分naN2na6由知 7 分，)21(6nS8 分，)(6)3()( nnT 9 分，2(1332n设 ，则 11 分，nnR23 1231nR两式相减得 13 分，nn23 14 分。12)(3)1(36)1(3nnnRT2
13、1.解： 1 分，/ baxef依题意， 即 3 分，解得 5 分。4)0(2/f4)0( 2ba记 ，则)12(2xexexgx6 分，2)(/当 时， ；当 时， ；当 时， 8 分，)(/ 0)/g0)(/xg ，等号当且仅当 时成立，即 ，等号当且仅当0)(gxx24)(xf时成立， 曲线 和直线 只有一个公共点9 分。)(fy l 时， ，1,224x所以 恒成立当且仅当 10 分，)()kxf 12)(4)(xefk记 ， ， 11 分，12(eh1 ,x/ )(3xh由 得 （舍去） ， 12 分0)/x23当 时， ；当 时， 13 分，230)(/xh1x0)(/xh所以 在区间 上的最大值为1)(exh ,2341e常数 的取值范围为 14 分k) ,4(23e
